高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》难题汇编及答案

新数学《矩阵与变换》期末复习知识要点
一、15
1．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21
mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在
有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】
一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即
23233x m
m y m ⎧
=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
2．计算：12131201221122120-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】91559124-⎛⎫
⎪--⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】
121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
3．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260
x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
0x y D >>⎧⎨≠⎩
列出关于k 的不
等式组，解出即可. 【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408
k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．解关于x ，y 的方程组21
22ax y a ax ay a
+=+⎧⎨-=-⎩.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1
22a D a a a a
=
=-+-，()2211=212x a D a a
a
+=
-+--，
221522y a a D a a
a
+=
=--.
所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()
()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩
； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】
本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题
5．不等式2
1101
x x
b
a x
a
->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】1
2
a =-，1
b =-或1a =-，2b =- . 【解析】
【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x
b a x
a
-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
6．已知方程组()()()11
,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨
+++=⎪⎩
（1）求证：方程组恰有一解；
（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值1
3
，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用二阶行列式证明
（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）
22
111123230,3,4,
23232234,33
y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a a
x y --==+---=-≠==-+==-++++--∴=
=，
即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33
a a
x y --=
=，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；
（3）1||||(|3|3x y a +=
-1
|4|)3
a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值1
3
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题
7．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m +=+⎧⎨
+=⎩
244(2)(2)1
m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
8．已知(2,1)OA =u u u v ，(1,7)OB =u u u v ，(5,1)OC =u u u v
，若OD xOA =u u u v u u u v
，()f x DB DC =⋅u u u v u u u v
（,x y ∈R ）.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求函数()4
()15
f x
g x x
-=在12x ≤≤条件下的最小值；
（3）把()y f x =的图像按向量(2,8)a =-v
平移得到曲线C ，过坐标原点O 作OM 、ON
分别交曲线C 于点M 、N ，直线MN 交y 轴于点0(0,)Q y ，当MON ∠为锐角时，求0y 的取值范围.
【答案】（1）2()52012f x x x =-+；（2
）3）1(,0)(,)5
-∞+∞U . 【解析】 【分析】
（1）根据向量数量积的坐标公式即可求()y f x =的解析式；
（2）通过矩阵的计算公式，求出()g x 的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C 的解析式，设(
)()2
2
,5,,5M m m
N n n ，根据
MON ∠为锐角时，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】
解：（1）(2,),(2,)OD x OA x x D x x =⋅=∴u u u r u u u r
Q ， (1,7),(5,1)OB OC ==u u u r u u u r
Q ，
(1,7),(5,1)B C ∴=， (12,7),(52,1)DB x x DC x x ∴=--=--u u u r u u u r
，
则2(12,7)(52,1)52012y DB DC x x x x x x =⋅=--⋅--=-+u u u r u u u r
，
即2()52012f x x x =-+； （2）由已知得：
()4
()1212()205202051
5
f x f x
g x x x x x x x
-==+=-++=+≥= 当且仅当125x x =
，即[]1,2x =时取到最小值， 函数()4
()15
f x
g x x
-=在12x ≤≤
条件下的最小值为；
（3）22
()520125(2)8y f x x x x ==-+=--Q ，
()y f x ∴=的图象按向量(2,8)a =-r
平移后得到曲线C 为25y x =；
设(
)()2
2
,5,,5M m m
N n n ，
则直线MN 的方程为222
555y n x n
m n m n
--=--， 令0x =，则0y 5mn =-，
若MON ∠为锐角，因为,,M O N 不可能共线，则22250OM ON mn m n ⋅=+>u u u u r u u u r
，
1
25
mn ∴<-或0mn >， 01
525y ∴-
<-或005
y ->， 即0y 0<或01
5
y >
， 故0y 的取值范围是1(,0),5
⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A A c
B
B B -=-求角
C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=⇒++=-
sin sin 22A B C +⎛⎫
⇒+= ⎪
⎝⎭
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫
+=⇔+= ⎪
⎝⎭
，
sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又Q 3,
2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，242C ππ
+=∴， 解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.
【答案】2
π
θ=
【解析】 【分析】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)
cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故cos sin sin cos x x y y x y θθ
θθ
=-'=+'⎧⎨
⎩，
又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-
即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故
sin 2cos 1
=cos 02sin cos 2
θθθθθ-⇒=+
又(0,)θπ∈，故2
π
θ=.
【点睛】
本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.
13．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v
分别是基本单位向量.
（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u u
v u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足12
41
2
6101
x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v
，λ，μ是否存在自然数
解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.
【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，
0μ=
【解析】 【分析】
(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.
(2)利用12
41
2
6101
x
y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r
求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.
【详解】
(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j
BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,
故()()()()
0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r
,
即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4
(2)由12
41
2
6101
x
y -=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.
又OP OA OB λμ=-u u u r
u u u r
u u u r
,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ
λμ
=+⎧⎨
=-⎩.
故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】
本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.
14．
已知函数2sin ()1
x x
f x x -=
．
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域； （2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．
【答案】（1
）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；（2
【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1
）
21()sin cos cos 2)sin 2sin 223f x x x x x x x π⎛
⎫=+=
++=+ ⎪⎝
⎭Q ， 又02
x π
≤≤
，得
4
23
33
x π
π
π≤+
≤，
所以sin 21,0sin 2133x x ππ⎛⎫⎛
⎫≤+≤≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；
（2）∵2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
sin 32A π⎛
⎫∴+=
⎪⎝⎭
， 由(0,)A π∈，知4
3
33
A π
π
π<+
<， 解得：2
33A π
π+
=，所以3
A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，
216( c)3b bc ∴=+-．
因为5b c +=，所以3bc =，
1
sin 2ABC S bc A ∆∴==
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．
15．已知函数cos 2()sin 2m x f x n
x
=
的图象过点(
12
π
和点2(
,2)3
π
-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数
()y g x =图象的对称中心.
【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【解析】 【分析】
（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；
（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在
()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．
【详解】
（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-
，则由条件，得sin cos 66
44sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得 1.m n =
=-
故()2cos22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
.
故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-
（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6
g x f x x π
ϕϕ=+=++
.
于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.
(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6
π
ϕ=
故()2sin(2)2cos 22
g x x x π
=+
=. 由22
x k =+
π
π，得().24
k x k Z ππ
=
+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【点睛】
本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
16．变换T 1是逆时针旋转
2
π
角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】
试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.
试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， M 121⎡⎤
⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2).
(2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,
则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00
{y y x x y =-=
所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换
17．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r
， 故2343x y x x y y +=⎧⎨
-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
18．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和
相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向
量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1
2
14
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦u u r ；
当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r .
【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
19．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点()1,3Q .
（1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r ，求4
A βu r .
【答案】（1）2
0a b =⎧⎨
=⎩
；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；
（3）先计算出126βαα=-+u r u u r
u u r ，再利用()
4444
121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即
可得到答案. 【详解】
（1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2
0a b =⎧⎨
=⎩
. （2）由（1）知2130A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=.
将11λ=-代入方程组()20
30
x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，
所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦u u r .
再将13λ=代入方程组()20
30
x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，
所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r .
综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （3）设12m n βαα=+u r
u u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得1
6m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，
所以()
4444
121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r
()4
41148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.
20．用行列式方法解关于x y 、的方程组：(
)()1
R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨
--=⎩，并对解的情况进
行讨论.
【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x a
a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】
Q 关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，(
)()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩
∴21
|
|1(1)(1)1a D a a a a
==-=+-，21
|
|(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a
-==-+=-++=--+-
211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121
x D a a a a a
==-+=+-- 21|
|21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21
||41(21)(21)14y a D a a a a
==-=+-.
（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1a =时，无解； （3）当1
2
a =-，时无穷解． 【点睛】
本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．。