华北电力大学 崔翔教授 工程电磁场ppt课件

dR dr
1 Q
d 2Q
d 2
n2
其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程
2
d2R
d 2
dR
d
n2R
0
和
当n＝0时, R()=A10+A20ln；
d2Q n2Q 0
d 2
Q()=B10+B20
当n 0时, R()=A1nn+A2n-n； Q()=B1ncosn+ B2nsinn 27
❖ 极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即
P lim p
V 0 V
8
❖ 大多数介质在电场作用下 产生极化时，其电极化强 度P与介质中的合成电场强 度E成正比，即
P = e0E
❖ 体积元dV内的等效电偶极子 的电偶极矩∑p = P(r)dV，它 在远区P点处产生的电位应为
d
P R 4 0 R 2
(r ' )dS '
(r) S'
4 0R
体电荷的电位：
(r')dV '
(r) V'
4 0R
4
4. 电场线和等位面
E 线的定义:线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向 一致。
E Exex Eyey Ezez dl exdx eydy ezdz
E dl 0
dx dy dz Ex Ey Ez
σ p P en
p P
10
❖ 在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的
电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位 和场强E表示为
r
1
4 0
V
P rdV
r r
S
P rdS
r r
Er
1
4 0
P r
V
r r r r3
dV
P r
S
r r r r3
匀外电场 E0= E0i 相应的电位函数可表示为：0= -E0x = E0cos 。由于 时介质圆柱体产生的极化电场影响应当 消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位0相
A
B
角形电极系统的场图
平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 2U x, y 2U 2U 0
x 2 y 2
设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入
方程得
22
1 d2 X 1 d2Y X dx 2 Y dy 2
在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现 记该常数为 (称为分离常数) ：
E1 sin 1 E2 sin 2
1E1 cos 1 2E2 cos 2
•两式相除，即得
tg1 1 tg2 2
❖ 介质分界面上的极化电荷
p 1P 2P P1 en P2 en P1n P2n
结合 Dn ε 0En Pn
p ε 0 (E2n E1n )
16
(2) 导体和介质分界面上的边界条件
mn2 0 时，
X (x) A1n cos(mn x) A2n sin(mn x)
Y ( y) B1n cosh(mn y) B2n sinh(mn y)
23
位函数U的一般解可记作：
U x, y A1nchmn x A2nshmn xB1ncosmn y B2nsinmn y
n 1
A1ncosmn x A2nsinmn xB1nchmn y B2nshmn y
n 1
A10 A20 xB10 B20 y
y
例：一长直接地金属槽的
横截面如图所示，其侧壁
与底面电位均为零，而顶
盖电位 =0，求槽内电位
= 0
分布。
o
=0
0.80
0.60
= 0
b
0.40
= 0
0.20
dS
11
§2.3 电介质中的电场
1. 电介质中的高斯定律
❖ 电介质中高斯定理的微分形式为
E
P
1
( P)
0
0
❖ 上式可以转化为 0E P
❖ 由此定义电位移矢量
D 0E P
❖ 电介质中高斯定理的积分形式为
D • dS dV q
S
V
12
2. 介电常数 • 击穿场强 ❖ 对于均匀且各向同性的线性电介质
2
U PQ
P
Q
W q
如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：
Q
P E dl
P
如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：
P E dl
P
3. 电场的分布
点电荷的电场为：
多个点电荷的电场为：
线电荷的电场为：
E(r)
பைடு நூலகம்l'
(r ' )er 4 0R2
dl'
面电荷的电场为：
E(r)
S'
D 0 E P 0 (1 e )E
❖ 令 0 (1 e ) 则有， D 0r E E 其中， r 1 e 为相对介电常数，为介电常数。
❖ 某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场 强，或称为该材料的电介质强度。
13
3. 不同媒质分界面上的边界条件 (1)两种不同介质分界面上的边界条件
第2章 静电场
1
§2.1 自由空间中场的基本方程和特性
1. 静电场的基本方程
可见，静电场是有散场、无旋场。
2. 电场强度与电位
由
，电场可以用一个标量场的梯度表示:
电场力将点电荷q 沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为
Q
Q
Q
W
q E dl
P
q dl
P
q
P
l
dl
q(P
Q )
由此定义PQ两点间的电位差（电压）为：
❖ E 的切向分量满足的边界条件
E dl E1t l1 E2t l1 0
l
❖或
E1t E2t
n (E1 E2 ) 0
14
❖ D 的法向分量满足的边界条件
D dS D2n D1n S S
S
D2n D1n ❖或
n (D2 D1)
15
❖ 折射率
• 若两种介质均为线性且各向同性，即D1=1E1，D2=2E2，应 有1=1，2=2。两种介质分界面上通常不可能存在面分 布形式的自由电荷( = 0),
等位面: (x,y,z) C
5
5. 电偶极子
相距很小距离l 的一对等值异 号的电荷，称为电偶极子.
偶极子的电矩，简称电偶极矩:
远离电偶极子的一点P(r,,)的 电位:
其中:
6
因为r>>l，将r1、 r2用二项式定理展开，略去高阶项，得
故得 :
偶极子的电场
E r 1 θ r r
(r ' )er 4 0R2
dS '
体电荷的 电场为：
E(r)
V'
(r ' )er 4 0R2
dV
'
3
点电荷的电位为：
(r )
r
E
dl
r
q 4 0r 2
er
dl
q 4
0r
多个点电荷的电位为：
(r)
1 4 0
n
k 1
r
qk rk'
1
n
qk
4 0 k1 Rk
线电荷的电位： 面电荷的电位：
(r) (r')dl' l' 4 0R
dV
1 4 0
P (
1 )dV R
9
❖ 体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为
r
d
1 40
P V
1 R
dV
❖ 根据矢量恒等式 上式可表示为
P 1 P 1 1 P R R R
r
1 40
P ndS S R
1 40
P V R
dV
❖ 由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为
d2 X dx 2
X
0
d2Y Y 0
dy 2
取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：
=0 时， X (x) A10 A20x
mn2 0 时，
Y ( y) B10 B20 y
X (x) A1n cosh(mn x) A2n sinh(mn x)
Y ( y) B1n cos(mn y) B2n sin(mn y)
条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值
问题。
r
f
3
r
r
n
S
f4 rb
如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条
件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问
题的本质，在无限远处(r→)应有
lim rr 有限值
r
这表明r 在无限远处是有界的，即电位 在无限远处为零
x, y
40
K0
2K 1
1 sh
2K 1
a
b
sin
2K 1
a
x
sh
2K 1
a
y
26
(2)圆柱坐标系中的平行平面场问题
设位函数与z坐标无关，U(r) = U(，)，满足拉普拉斯方程
2U,
1
U
1
2
2U
2
0
令试探解U(，) = R()Q()，代入方程，经整理得
r R
d dr
r
((r)| r→= 0)。
19
2. 静电场解的唯一性
设V 中存在两个电位函数 1和2 ，在给
定第一类或第二类边值时，均满足泊松方
程，即
2 1
2 2
令 1-2 = d，显然 2d 0
对已知的任意两个连续可导的标量函数 和 ，应有
V
2 dV
S
n
dS
令 = = d ，代入上式得
V
下的第一类边值问题：
2
d 2 d 2
0
0
0
U0
, D
将泛定方程直接积分二次，即得通解为
C1 C2
由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数
C2为，
C1和21
C1
U0
C2 0
因此，电位的解为： U0
电场强度的解为：
E
1
e
U0
e
4. 分离变量法
(1)直角坐标系中的平行平面场问题
d 2 dV
d
S
d
n
dS
无论对于第一类边界还是第二类边界，均有 d 2 dV 0
V
在整个场域内必有 d = 0。由此得证 1 = 2 ，即只有唯一
可能的解答。
20
3. 直接积分法
例： 二块半无限大的导电平板构成夹角为 的电极系统，设 板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。
[解] 可以判定，(r)=()仅为一个 坐标变量 的函数，因而可以写出如
sin
Kx a
，其中K为整数，
上式左边结果为 ： 上式右边结果为 ：
a
0
0
sin
Kx a
dx
2a 0
K 0
a
0
Ensin
n x a
sin
Kx a
dx
0 a 2
En
(K 为 奇 数 ) (K为偶数)
(n≠K) (n = K)
因此：
En
4 0
n
0
(n为奇数) (n为偶数)
最终得待求电位 (x，y)的解答是
放入后，场中的电位和电场强
度。
[解]圆柱体内外的介质不同，
故应分别以1和2表示圆柱体
内外的电位函数，它们都满足
拉普拉斯方程，即
均匀外电场中的介质圆柱体
28
21 ,
1
1
1
2
21 2
0
(0 <a)
22 ,
1
2
1
2
2 2 2
0
( > a)
在圆柱坐标系中x=cos，取坐标原点为电位参考点，则与均
位函数U的一般解可记作：
U, A10
A20 ln B10
B20
A1nn
A2nn
B1ncosn B2nsinn
n1
例：一横截面半径为a，介电常 数为 1的长直介质圆柱体放置 在均匀的外电场E0中(场强值为 E0，方向与介质圆柱的轴线相
垂直)，均匀场中介质的介电常
数为2，如图所示。求圆柱体
设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体
中，E1=D1= 0；分界面上的边界条件
E1t E2t 0
D2t 0
D2n
E2
E2n /
(3) 由电位表示的边界条件
对应
E1t E2t
有
1 2 ；
对应 D2n D1n 有
2
2
n
1
1
n
对应导体和介质分界面上的边界条件
1 2 C
2
2
x
a
24
解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为
2x,
y
2 x 2
2 y 2
0
0
0
0
0
0 x a, 0 y b
x 0, 0 y b 0 x a, y 0 x a, 0 y b 0 x a, y b
在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数
2 z 2
❖ 定解条件
(1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界
条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。
r S
f1rb
18
(2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第
二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。
r
n S
f2 rb
(3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界
n
17
§2.4 边值问题
1. 边值问题的分类 ❖ 泊松方程和拉普拉斯方程
把 D E 代入 D 得
D ε E ε E E ε
对于均匀介质， 为常数。再代入 E 得 2 /
对于场中无自由电荷分布( = 0)的区域， 2 0
在直角坐标系中
2
2 x 2
2 y 2
且：
mn
n, a
x,
y
Dn sinmn
xshmn
y
n1
n 1,2,3,
因此：
x,
y
n 1
Dn s in
nx sh a
n y a
带入最后一个边界条件，得
0
n 1
n b Dnsh a sin
n x a
n 1
Ensin
n x a
25
为确定En的值，可对上式两边同乘以 然后从x = 0到x = a 进行积分，得
p
4 0r3
2 cosr sinθ
7
§2.2 导体和电介质
1. 静电场中的导体
❖ 静电场中的导体处于静电 平衡状态；
❖ 导体内部电场处处为零； ❖ 所有电荷分布在导体表面
上；
❖ 导体内部是等位体，导 体表面是等位面；
❖ 导体表面的电场垂直于 导体表面。
2. 静电场中的介质
❖ 介质极化现象(演示）