2020年初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿精编版

直角三角形边角关系讲义(初稿)
一、 概念部分 1、基本概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，
c
a
A A =∠=
斜边的对边sin 。

余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A
的余弦，记为A cos ，c
b
A A =∠=
斜边的邻边cos 。

正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，
b
a
A A A =∠∠=
的邻边的对边tan 。

余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，
a
b
A A A =∠∠=
的对边的邻边cot 。

2、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。

3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。

4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：
sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。

5、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么c
a A =
sin ， c b A =
cos ， b a A =tan ， a
b
A =cot 可以变形为A c a s in ∙=，A c b cos ∙=，A b a tan ∙=或A a c sin =
，A
b c cos =等等，在解题中可以根据条件正确选用。

6、注意：
①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。

②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。

③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。

例如：tanA ，tan ∠ABC ，tan ∠1 都是正确的。

④、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，所以它是没有单位的，当锐角A 确定后，C
B
这些比值都是固定值。

⑤、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形来解决。

⑥、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数可把3条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值。

例1：在∆ABC 中，︒=∠90C ，AC=12，BC=5，
（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 、tanA 、cotA 的值；（3）求A A 22cos si n +的值；（4）比较sinA 与cosB 的大小，tanA 与cotB 的大小。

变式练习：
1、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a=5,b=2,则sinA= 。

2、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90A ，如果BC=10，sinB=0.6，那么AC= 。

例2、如图，在∆ABC 中，︒=∠90C ，AC=CB ，AB=BD
变式练习：
1、已知∆ABC 中，︒=∠90
C ，
45=∠A ，BD 为AC 边上中线，求
ABD ABD ∠∠tan sin 和的值。

例3、 如图，在中，AD 是BC 边上的高，。

（1）求证：AC ＝BD （2）若，求AD 的长。

分析：由于AD 是BC 边上的高，则有和，这样可以
充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。

解：（1）在中，有 中，有
BD AC AC AD BD AD DAC
B ==∴∠=，故cos tan （2）由
可设 由勾股定理求得
121812==+∴=x DC BD BC 即
例4、如图，已知中︒=∠90C ，，求的面积（用的三角函数及m 表示） 分析：要求的面积，由图只需求出BC 。

C
B
D
解：由
α
αα
α
tan 2
1
tan 2121tan tan 2m m m BC AC S m BC BAC m AC BAC AC BC ABC =⋅=⋅=∴=∴=∠=∠=∴∆， 练习题：
一、填空题：
1、在∆ABC 中，︒=∠90C ，a=4,b=3,则：sinA= cosA= tanA= cotA= sinB= cosB= tanB= cotB= 。

2、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，已知a=4,c=5则sinB= sinA= tanA=
3、在∆ABC 中，︒=∠90C ，若tanB=2，a=1,则b= 。

4、∆ABC 中，︒=∠90C ，cosA=0.8746，则sinB= 。

5、Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，tanA=
5
5
2，则sinB= 。

6、在∆ABC 中，︒=∠90B ，AC 边上中线BD=5，AB+BC=14，则∆ABC 的面积为 .
7、 Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ， tanA=2
1
，AB=5，则AC= ，
BC= 。

8、∆ABC 中，AB=AC ，AB∶BC=2∶1，则sin 、
2
A
= sinB= 。

9、等腰三角形的腰长为10cm ，底边为16cm ，则它底角的正弦值是 .
10、已知，如图，在∆ABC 中，︒=∠30C ，BC=10，则AB 的长为 。

二、选择题
1、在∆ABC 中，︒=∠90C ，c=3,b=2，则cosA 的值为（ ） A 、
32 B 、3
1
C 、37
D 、35
2、在∆ABC 中，︒=∠90C ，AB=13，sinA=
13
12
，则BC=（ ） A 、1 B 、12 C 、5 D 、以上都不对
3、在∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，则（ ）
C
B
A 、A a b tan ∙=
B 、A c b sin ∙=
C 、coB c a ∙=
D 、A a c sin ∙=
4、在∆ABC 中，︒=∠90C ，且cosA=53
，则sinB=（ ）
A 、43
B 、34
C 、54
D 、5
3
5、在∆ABC 中，︒=∠90C ，若c=3b ，则cosA 等于（ ） A 、
32 B 、322 C 、3
1
D 、310 6、在Rt ∆ABC 中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角函数值（ ）。

A 、没有变化
B 、都缩小2倍
C 、都扩大2倍
D 、不能确定如何变化 三、解答题： 1、已知：17
15
cos =
α ，α为锐角，求α的其它三角函数。

2、已知一个三角形的三边的比为7：24：25，求最小角的正弦、正切值。

3、已知：如图43—1，在矩形ABCD 中，BE⊥AC 于E ，AB=3，BC=4，∠CBE=∠α，求∠α的四个三角函数值.
4、已知：如图43—2，在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，D 是BC 中点，DE⊥AB 于E ，
tanB=2
1
，AE=7，求DE 、BC 的长.
二、特殊角的三角函数值
1、初中阶段说的特殊角指的是 90,60,45,30,0五个特殊角度。

2、规定00sin = ，190sin = ，10cos = ，090cos = 。

00tan = ，090cot =
90tan ， 0cot 没有意义（或说不存在）。

3、
4角
α逐渐增大时，sin α、tan α逐渐增大， cos α、cot α逐渐减小。

练习题：
一、 选择题
1、
45
tan 260tan 45tan 60cos --的值等于（ ） A 、
232- B 、232+ C 、223- D 、2
3
2+- 2、∆ABC 中，若0cos 231sin 2
=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-B A ，则∠C 的度数是（ ） A 、︒75 B 、︒60 C 、︒45 D 、︒30 3、∆ABC 中，设2
2sin ,21cos ==
B A ，则此三角形为（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、锐角三角形或钝角三角形 4、∆ABC 中，设2
3
)90cos(sin =
-︒=B A ，则∆ABC 为（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形 5、等腰∆ABC 中，AB=AC ，︒=∠120A ，高AD=3，则AB+BC+AC 等于（ ） A 、18 B 、6312+ C 、318 D 、3612+ 6、已知)1sin 2(31sin 42-=-A A ，则锐角A 为（ ）
A 、︒30
B 、︒90
C 、︒30或︒90
D 、︒60或︒90
二、填空：
1、已知1tan 60tan =∙︒α，且α为锐角，则=+ααcos sin （ ）。

2、若2
3
sin =
α，则锐角α的补角是（ ）。

3、在∆ABC 中，︒=∠90C ，若︒=∠45A ，则B A sin tan +=（ ）。

4、在∆ABC 中，︒=∠90C ，若8,30==∠-∠c B A ，则面积S =（ ）。

5、在∆ABC 中，︒=∠90C ，若2
2
sin =A ，则B A cos tan +=（ ）。

三、计算： 1、(2cos600-︒
+︒︒
45tan 230cos 90sin )×2)130(sin -︒
2、∣– 2∣+ 2sin60° –1
32+
3、3)15(60tan 201-+-+︒--
4、()︒
︒
-︒-
︒-︒⨯-+
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-60cos 30cos 230sin 21tan '1321sin 2
32210
2
5、︒∙︒-︒-︒+︒30tan 60tan 45cot 60cos 30sin
6、1)12()44()90sin 45cos 2(2--+︒-+︒-︒π
7、已知01cos cos 22=-+αα，求锐角α。

8、求适合等式03tan 4tan 32=+-αα的锐角α。

9、在∆ABC 中，设B A ∠∠,均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试判断
∆ABC 的形状。

三、规律与公式： 1、三角函数定义：
正弦：c a A =sin ， 余弦：c b A =cos ， 正切：b a A =tan ，余切：a
b
A =cot 。

2、由锐角α∠的三角函数定义可知：
①、 0 ≤≤αsin 1 ， 0 ≤≤αcos 1 。

②、1cos sin 22=+αα； ③、1cot tan =∙αα， ααcot 1tan =
，α
αtan 1
cot =。

④、αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =。

利用上面的结论计算： （1）、=︒+︒15cos 15sin 22（ ），=︒+︒36c o s
36s
i n 2
2
（ ）。

（2）、若2cos sin =+αα，求ααcos sin -的值。

（3）、若2tan =α，求
ααα
αsin cos 2sin cos 4+-的值。

（4）、已知：31cos =α，则ααα
αtan 2sin 4tan sin 3+-的值。

（5）、︒︒-60cos 60sin 21= 。

（6）、已知1cos 30sin 22=+︒α，且α为锐角，则α=（ ）。

⑤、诱导公式：
)90cos(sin A A -= ；)90sin(cos A A -= ； )90cot(tan A A -=
例、 已知为锐角，下列结论： ；<2>如果，那么； <3>如果cos α>1
2，那么；<4>正确的有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。

解：由于为锐角知<1>不成立；当时，有，即<2>正确 当时，，即<3>成立； 又，即正确。

即<4>成立，故应选C 。

练习题：
1、如果tan α=4
3
, 那么cos α—sin α的值是（ ）
(A)31 (B) 32 (C) 51- (D)32-
2、已知sin α＋cos α=m, 则sin α•cos α=( )
(A) m 2
－1 (B)312-m (C) 2
1
2-m (D) 122-m
3、设a = 36cos ，则= 54cos （ ） A 、a B 、a -1 C 、a -1 D 、21a -
4、已知A ∠为锐角，且2
1
cos ≤
A ，那么（ ） A 、 600≤〈A
B 、 9060〈≤A
C 、 300≤〈A
D 、 9030〈≤A 5、已知4
2
615sin -=
，则= 75cos 。

6、已知∠A +∠B =0
90，若8888.0cos =A ，则=B sin 。

7、若1cot 64tan =∙︒B ，则∠B = 。

8、已知α是锐角，3)20cot(3=︒+α，则α=___________ 度。

9、不查表，比较大小，若3274.0sin ,3276.0sin ==βα，则βα____, 若41.7tan =α，
41.5cot =β，则βα____。

10、
在ABC ∆中︒=∠90C ，∠A ＞∠B ，且A t a n 和B tan 的值是方程
0133
4
2=+-
x x 的两个根，则∠A ＝_______ 11、 在ABC Rt ∆中，===A a A cos ,1,4
1
sin 则 ，b = .
12、 ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，15,8==b a ，则=++C B A s i n s i n s i n 。

13、
已知ααααcos sin ,2
3
cos sin ⋅=
+则=___________. 14、已知：sin α＋cos α=2，求下列各三角函数式的值： ①、ααcos sin ； ②、αα33cos sin +； ③、αα44cos sin +；
四、三角函数的应用
概念：四角一度
1、仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。

2、俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。

3、方向角：目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角城为方向角。

4、坡角：坡面与水平方向所成的锐角，称为坡角。

5、坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。

即为坡角的正切。

三角函数应用题解题主要步骤： 1、 审题标角 2、 酌情擦图
3、 小心分角
4、 仔细标注
5、 巧列方程
6、 破解方程
7、 检验作答
例1、 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。

从AC 上的一点B ，取米，。

要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D
的距离是（ ） A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
分析：在中可用三角函数求得DE 长。

解：A 、C 、E 成一直线 ︒=∠∴︒=∠︒=∠9055145BED D ABD ，， 在BED Rt ∆中，D BD DE BD
DE
D cos cos ⋅=∴=
， 米， ︒=∴55cos 500DE 米，故应选B 。

例2、 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O
点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。

为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）（如图） 参考数据：
3322
.06.70cos 9432.06.70sin 3681.04.68cos 9298.04.68sin 3846.04.67cos 9231.04.67sin 3939.08.66cos 9191.08.66sin ≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒，，，，
分析：（1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。

（2）利用三角函数的概念即求。

解：设需要t 小时才能追上，则
（1）在中，222AB OA OB += ，222)24(10)26(t t +=∴，则（负值舍去）故需要1小时才能追上。

（2）在中
即巡逻艇沿北偏东方向追赶。

例3、 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：<1>测量数据尽可能少；<2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用等表示，测倾器高度不计）。

（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）。

分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。

如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。

但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。

解：如图所标（1）测三个数据。

（2）设 在中，
在中，αcot )(n x DM -=αβcot )(cot n x x -=∴，即
课堂练习： 1、（2004贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时. （1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据：sin32º≈53100 ，cos32º≈106
125 ，tan32º
≈58
） 2、（2004海口）雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C 处 C 与塔底B 在同一水平线上），用高1.4米的测角仪CD 测得塔顶A 的仰角α=43°（如图），求这座“千
年塔”的高度AB （结果精确到0.1米）.（参考数据：tan43°≈0.9325，cot43°≈1.0724） 3、（2004重庆）如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，
问此公路是
否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明. 练习题：
1．（2004深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30º夹角，这棵大树在折断前的高度为
A ．10米
B ．15米
C ．25米
D ．30米 2．（2005徐州）(A 类)如图1，在与旗杆AB 相距20米的C 处，用高1.20米的测角仪测得旗杆顶端B 的仰角α=30°.求旗杆AB 的高(精确到0.1米).
(B 类)如图2，在C 处用高1.20米的测角仪测得塔AB 顶端B 的仰角α=30º，向塔的方向前进20米到E 处，又测得塔顶端B 的仰角β=45°.求塔AB 的高(精确到0.1米).
我选做______________类题，解答如下：
3、（2007浙江杭州）如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C
点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
4、（2004大连）如图，某校自行车棚的人字架棚
顶为等腰三角形，
D 是AB 的中点，中柱CD=1米，∠A=27°，
求跨度AB 的长(精确到0.01米)。

5、（2005深圳）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60º，爬到楼顶D 点测
得塔顶B 点的仰角为30º，求塔BC 的高度。

30
° α
A B C D E (图1)
α β
A B C D E F G
(图
2)
图
1
6、（2005连云港）如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：︒53sin ≈0.8,︒53cos ≈0.6)
7、（2007山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？ （参考数据：sin21.3°≈925，
tan21.3°≈
25
， sin63.5°≈910
，
tan63.5°≈2）
8、(2007年昆明市)如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36
米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD 的高(结果保留根号)． 9、（2007年云南省）已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6． 求BC 的长(结果保留根号).
0.5m
A B C
北
东
(第20题图)
A
B C
D
10、（2005盐城）我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30º，该船沿着AC 方向航行一段时间后到达B 处，又测得该
船的俯角为45º，求该船在这一段时间内的航程（计算结果保留根号） 11、（2005海淀区）如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为（ ）
A. a
B. a 2
C. a 2
3
D. a 2
5
12、（2004青岛）如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为 30°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光？（结果保留四个有效数字） （提示：sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890）
13、（2005福州）同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园（六•一）前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC ＝2m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。

（1）求滑梯AB 的长（精确到0.1m ）；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超过45°属于安全范围。

请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？ 14、（2005南京）21．如图，在两面墙之间有一个底端在A
D
B
点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。

已知∠BAC=60º，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=32m。

求点B到地面的垂直距离BC。

15、在生活中需要测量一些球（如足球、篮球……）的直径，某校研究学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图所示，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=370，请你计算出球的直径（精确到1cm）。