(易错题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(答案解析)(4)

一、选择题
1．已知函数()32
2
213x f x ax bx c ++=+，函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与
()1,2内，则2+a b 的取值范围为 （ ）
A ．()3,1--
B ．()2,1--
C ．()1,-+∞
D ．()3,-+∞
2．若函数()3212
33
f x x x =+-在 区间(),5a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5,0-
B ．()5,0-
C ．[)3,0-
D ．()3,0-
3．函数
tan 22tan y x x =-4
2x π
π⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）
A ．-
B ．3
C ．0
D ．3-
4．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,2020 B ．()2019,+∞
C ．()2020,+∞
D ．()2019,2020
5．已知函数233()32f x x x e ⎛⎫
=-⋅
⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．函数()f x 的极大值点为x
B ．函数()f x 在(,-∞上单调递减
C ．函数()f x 在R 上有3个零点
D ．函数()f x 在原点处的切线方程为33y e x =-
6．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知
()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0
f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()
()2,00,2-
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．()(),20,2-∞-
D ．()
()0,22,+∞
7．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ
-
且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2
x π
∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '
+<则满足()2cos ()3f f π
θθ<⋅的θ的取值范围是（ ）
A ．(,)23
ππ
-
B ．(,)(,)2332
ππππ--⋃
C ．(,)33ππ-
D ．(,)32
ππ
8．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，
令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
9．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．()3x x f x e
=
B ．()x x x
f x e e -=
- C ．()
x
x f x e = D ．()x
f x xe =
10．函数()22
x
x f x e
-=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，f x 为()f x 的导函数，且满足
()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）
A ．0,1
B ．2,
C ．1,2
D ．1,
12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()
()x f x g x e
=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．()()0,1,4,+∞
C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(0,4)
二、填空题
13．若函数()ln a
f x x x
=+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是________.
14．曲线2x y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=，则a =_____________. 15．点(),P x y 是曲线C ：()1
0y x x
=
>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，①PA PB =；②OAB 的面积为定值；
③曲线C 上存在两点,M N 使得OMN 是等边三角形；④曲线C 上存在两点M ，N 使得OMN 是等腰直角三角形，其中真命题的序号是______.
16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1
()ln ,1
x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象上任意两点，
且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最大值为 __________. 17．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①34
43ln ln x x e e x x ->-；
②2
121ln ln x x e
e x x ->-；③3232x x x e x e <；④1
2
21x x
x e x e >；其中正确的有
___________ 18．已知函数
(a ≤0)，函数
，若不存在
，使
，则实数的取值范围为___．
19．若函数2(())x f x e x ax a -=+-在R 上单调递减，则实数a 的值为_______. 20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．
三、解答题
21．已知函数())2f x x x ax =
-.
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在区间[]0,2的最小值为2
3
-，求a . 22．设函数()ln f x x x =． （1）设()()
f x
g x x
'=
，求()g x 的极值点； （2）若210x x >>时，总有()()()22
21212
m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．
23．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为1
3
，且直线PA 、PB 的倾斜角互补． （Ⅰ）求k 的值．
（Ⅱ）求PAB △面积的取值范围． 24．已知函数()3
2
12
f x x x bx c =-
++，且()f x 在1x =处取得极值． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）若当[]1,2x ∈-时，()2
f x c <恒成立，求c 的取值范围； （Ⅲ）对任意的[]12,1,2x x ∈-，()()127
2
f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
25．已知函数2()3(6)ln ()f x x a x a x a R =+--∈ （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）当1a =时，证明：对任意的2
0,()352x x f x e x x >+>++.
26．已知函数()3
ln 42
x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12
y x =. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间.
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一、选择题 1．B 解析：B
【分析】
求得()2
2f x x ax b '=++，根据题意可得出()()()001020f f f '''⎧>⎪<⎨⎪>⎩
，利用不等式的基本性质可求得
2+a b 的取值范围. 【详解】
由()322
213x f x ax bx c ++=+，求导()2
2f x x ax b '=++，
因为函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与()1,2内， 即方程220x ax b ++=的两个根分别在区间()0,1与()1,2内，
即()()()020*********f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>''⎩
'，则0212
b a b a b >⎧⎪
+<-⎨⎪+>-⎩， 所以，()22a b a b b +=++>-. 综上所述，2+a b 的取值范围是()2,1--. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.
2．C
解析：C 【分析】
利用导数求出函数()f x 的极小值为()2
03
f =-
，由题意可知()0,5a a ∈+，再由()()0f x f =求得x 的值，数形结合可得出实数a 的取值范围.
【详解】
解：由题意，()()2
22f x x x x x '=+=+，
当2x <-或0x >时，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<. 故()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上是增函数，在()2,0-上是减函数， 所以，函数()f x 的极小值为()203
f =-
.
作其图象如图，
令
32122
333
x x +-=-得3230x x +=，解得0x =或3x =-， 结合图象可知30
50
a a -≤<⎧⎨+>⎩，解得，[)3,0a ∈-.
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数
()f x 的极小值点在区间(),5a a +内，通过求得()()30f f -=，数形结合得出实数a 所
满足的不等式组，综合性较强.
3．A
解析：A 【分析】
化简可得32
2tan 1tan x
y x
=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】
可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x x
y x x x x x =-=-=
--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3
2
21t y t =-，
则()()
()
()
()
223222
2
2261222311t t t t t t y t t --⨯--'=
=
--，
当(3t ∈时，0y '>，函数单调递增，
当)
3,t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，
所以当t =
时，(
)3
max 2
21y ⨯
=
=--.
故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3
2
21t y t
=-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.
4．D
解析：D 【分析】
构造函数()()
f x h x x =，根据导数可判断函数单调递减，由()()2019120191
f m f m ->-，结合函数定义域可解得. 【详解】
令()()f x h x x =
，()0,x ∈+∞，则()()()
2xf x f x h x x
'-'=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减． 因为()()()201920191f m m f ->-，20190m ->，所以
()()201912019
1
f m f m ->
-，
即()()20191h m h ->，所以20191m -<且20190m ->，解得20192020m <<， 所以实数m 的取值范围为()2019,2020． 故选D ． 【点睛】
易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m ->，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.
5．D
解析：D 【分析】
对函数求导，通过判断函数的单调性求极值点以及零点个数等. 【详解】 A 选项：由233()32f x x x e ⎛⎫
=-⋅
⎪⎝⎭
，得()3()=e 33f x x '-，令()=0f x '， 得1x =，故(),1x ∈-∞，()0f x '＜，233()32f x x x e ⎛⎫
=-⋅
⎪⎝⎭
为减函数， ()1x ∈+∞，，()0f x '＞，233
()32f x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
为增函数，所以1x =
是函数()f x 的极小值点，无极大值点，故A 错； B 选项: 当(),1x ∈-∞，233()32f x x x e ⎛⎫
=-⋅
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错； C 选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C 错；
D 选项：切线斜率3(0)=-3e k f '=，所以切线方程为33y e x =-，D 正确. 故选：D 【点睛】
求切线方程的步骤：①确定切点；②确定斜率；③点斜式写切线方程.
6．B
解析：B 【分析】
由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】
由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，
构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.
又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.
故选：B ． 【点睛】
本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出
{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单
调性解不等式．
7．D
解析：D 【分析】 令()
()cos f x g x x =
，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π-，)2
π上单调递减，由()2cos ()3f f π
θθ<⋅，得()()3g g π
θ<，即可求出．
【详解】 令()()cos f x g x x
=
，(2x π∈-，)2π
，
()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数， ()g x ∴为奇函数．
(2
x π
∀∈-，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，
2()cos ()sin ()0f x x f x x
g x cos x
'+∴'=
<，
()g x ∴在区间(2
π
-，0)上单调递减，又()g x 为奇函数，
()g x ∴在区间(2π
-
，)2
π
上单调递减， 当(2x π
∈-
，)2
π
，cos 0x >，
()2cos ()3
f f π
θθ<⋅，
∴()
()3cos cos 3
f f π
θπ
θ<， ()()3
g g π
θ∴<，
∴
3
2
π
π
θ<<
故选：D 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
8．B
解析：B 【分析】
将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数
()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．
【详解】
将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13
k =-，所以，
()1
33
f k '==-，
由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，
()()()133331303g f f ⎛⎫
''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭
，故选B ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点．
9．A
解析：A 【分析】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =
的定义域为R ，()()x x
x x
f x f x e e
---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()x
x f x e =
，()
1x x
f x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意； 对于B 选项，函数()x x
x
f x e e
-=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意； 对于C 选项，函数()x
x f x e
=
的定义域为R ，()1f e -=-，()1
1f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；
对于D 选项，函数()x
f x xe =的定义域为R ，当0x >时，()x
f x xe =，
()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．D
解析：D
利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】
()f x 的定义域为R ，()()22
x x f x f x e
--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.
当0x >时，()22
x x f x e -=，
()2
'
22x
x x f x e
-++=，令'
0f x 解得1x =，
所以()f x 在()
1递增，在)
1,+∞上递减.
所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.
11．B
解析：B 【分析】
构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】
令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减
(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，
2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，
故选：B 【点睛】
本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.
12．B
解析：B 【分析】
结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出
()g x 的导数，判断其与0的关系即可.
【详解】
结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，
时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0x
f x f x
g x e -=
<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，
【点睛】
本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点
解析：102⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【分析】
首先设切点坐标00
0,ln a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得0002ln a x x x =-，将问题转化为2y a =与ln y x x x =- 存在两个不同的交点，通过导数研究()g x 的图象，从而得到a 的取值范围. 【详解】
由题意得()f x 的定义域为()0+∞，
，且()21a
f x x x
'=-，设切点坐标为0000,ln ,0a x x x x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭，则过原点的切线斜率002
000ln 1a x x a k x x x +==-，整理得0002ln ,a x x x =-存在两条过原点的切线，∴0002ln a x x x =-存在两个不同的解.设
()ln g x x x x =-，则问题等价于2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，又
()1ln 1ln ,g x x x =--=-'∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞ 时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ∴==.又当0x →时，()0g x →；当x →+∞时，()-g x →∞，若2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，
则021a <<.解得10,2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：
直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；
数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；
14．【分析】求得函数的导数根据曲线的一条切线方程为求得切点的坐标将切点坐标代入切线方程即可求解【详解】由题意函数可得因为曲线的一条切线方程为令解得当时即切点为将切点代入可得解得故答案为：【点睛】本题主要 解析：1-
【分析】
求得函数的导数2x
y e '=-，根据曲线的一条切线方程为0x y a ++=，求得切点的坐
标，将切点坐标代入切线方程，即可求解. 【详解】
由题意，函数2x
y e x =-，可得2x y e '=-，
因为曲线2x
y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=， 令21x e -=-，解得0x =，
当0x =时，0
1y e ==，即切点为()0,1，
将切点()0,1代入0x y a ++=，可得010a ++=，解得1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答熟记曲线在某点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
15．①②③④【分析】利用导数的几何意义求得过点的切线方程结合函数性质对每个选项进行逐一分析即可容易判断和选择【详解】设点由得切线方程：即∴∴为中点∴①正确；②正确；过原点作倾斜角等于和的2条射线与曲线的
解析：①②③④ 【分析】
利用导数的几何意义求得过点P 的切线方程，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择. 【详解】
设点()1,0P a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 由21
y x '=-
得切线方程：()211y x a a a -=--，即2
12y x a a
=-+ ∴()2,0A a ，20,
B a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，∴1,P a a ⎛⎫
⎪⎝⎭为AB 中点，
∴PA PB =，①正确；
112
2222AOB S OA OB a a
=
⋅=⨯⨯=△，②正确； 过原点作倾斜角等于15︒和75︒的2条射线与曲线的交点为,M N 由对称性可知OMN 中，=OM ON ，又60MON ∠=︒，
∴
OMN 为等边三角形，③正确；
过原点作2条夹角等于45︒的射线与曲线交于点,M N ，
当直线OM 的倾斜角从90︒减少到45︒的过程中，OM
ON
的值从+∞变化到0， 在此变化过程中必然存在
OM
ON
2和
2
2
的时刻， 此时OMN 为等腰直角三角形，④正确. ∴真命题的个数为4个. 故答案为：①②③④. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，涉及函数性质的应用，属综合中档题.
16．【分析】由题得即得所以设利用导数求函数的最值即可【详解】由导数的几何意义知点处的切线的斜率为点处的切线的斜率为函数的图象在点处的切线互相垂直时有由可得即因为所以所以设可得即在递增可得有最大值故答案为 解析：e
【分析】
由题得12x
x e =，即得21>x ，101x <≤.所以1211x x x x e =，设()(01)x h x xe x =<，利用导
数求函数的最值即可. 【详解】
由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '， 函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有12()()1f x f x ''=-，
由(1)x x e e -'=-，1(
)lnx x
'=
，可得
1211x e x -=-，即12x x e =， 因为21>x ，所以101x <≤. 所以1211x x x x e =，
设()(01)x h x xe x =<，可得()(1)0x h x x e '=+>， 即()h x 在(0，1]递增，可得()h x 有最大值11=e e ⨯， 故答案为：e
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．①④【分析】令求导后求得函数的单调性后即可判断①②；令求导求得函数的单调性后即可判断③④；即可得解【详解】令则易知当时单调递增由则存在使得当时单调递减；当时单调递增；当时即此时故②错误；即故①正确；
解析：①④ 【分析】 令
()()ln 0x f x e x x =->，求导后求得函数()f x 的单调性后，即可判断①、②；
令()()0x
e h x x x
=>，求导求得函数()h x 的单调性后，即可判断③、④；即可得解.
【详解】
令
()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x
'=-
， 易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增， 由
1
31303f e ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭
，()110f e '=->， 则存在01,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
使得()00f x '=，
∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 1
20
1x x ，∴当02x x =时，
()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，
∴此时2
121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；
341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-， ∴34
43ln ln x x e e x x ->-，故①正确；
令()
()0x
e h x x x =>，()()2
1x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；
2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，
故③错误； 1
2
1x x ，∴()()21h x h x <即21
21
x x e e x x <，
∴1221x x x e x e >，故④正确.
故答案为：①④. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了构造新函数的能力和推理能力，属于中档题.
18．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R 使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：
【解析】 【分析】
先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】
∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2
，
∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，
解得-1≤a ≤0，
故答案为．
【点睛】
本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．
19．【分析】由于函数在上递减利用导函数恒小于或等于零由此求得实数的值【详解】依题意在上恒成立则需恒成立有两个相等的实数根故【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性考查除法的导数考查一元二次不等式恒 解析：2-
【分析】
由于函数在R 上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数a 的值. 【详解】 依题意，()()()20x
x a x f x e
+-+'=
≤在
R 上恒成立，则需()()20x a x +-+≤恒成立，
()()20x a x +-+=有两个相等的实数根，故2a =-.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用 解析：210x y -+=
【解析】
分析：求出函数sin x
y x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.
详解：sin x
y x e =+的导数为'
cos x
y x e =+， 在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=， 即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.
点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.
三、解答题
21．（1）单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）53
. 【分析】
（1）由1a =得()53
22f x x x =-，0x ≥，对函数求导，解对应的不等式，即可得出单调区间；
（2）先对函数求导，分别讨论0a ≤，3025a <≤，3
25
a >三种情况，利用导数的方法研
究函数在区间[]0,2上的单调性，求出最值，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】
（1）当1a =时，())53
2
2
2
f x x x x x =-=-，0x ≥，
所以())3122535322f x x x x '=-=-， 由()0f x '>可得35
x >
；由()0f x '<可得3
05x ≤<，
所以函数()f x 的单调递减区间为30,5⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；
（2）因为())5
3
222f x x ax x ax =-=-，[]
0,2x ∈，
所以())3122535322f x x ax x a '=-=-，由()0f x '=得35x a =；
若0a ≤时，())530f x x a '-≥在[]0,2上恒成立，所以()f x 在[]0,2上单调递增， 最小值为()00f =不满足题意；
若3025a <≤，即1003
a <≤时，当30,5x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；
当3,25x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；
所以()222min 393625255253f x f a a a a ⎛⎫
⎫==
-=-=- ⎪⎪⎝⎭
⎭，则29125a ， 即5
2
315a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以53a =，满足1003a <≤； 若3
25a >，即103
a >时，()0f x '<在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，
因此()())min 22423f x f a =-=-，解得2a =，不满足103
a >；
综上，5
3
a =. 【点睛】 方法点睛：
利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'
f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应
的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；
（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'
f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'
f x 的正负，由符号确定()
f x 在子区间上的单调性.
22．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞． 【分析】
（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；
（2）引入新函数()()2
2
m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln x
m x
+≥
在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．
【详解】 解：（1）
()1ln f x x '=+，()1ln x
g x x
+=， ()2
ln x
g x x ∴'=-
， 显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，
∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，
故1x =是函数的极大值点；
（2）对于
()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22
112222
m m f x x f x x ->-， 令()()2
2
m m x f x x =-，
210x x >>，
()m x ∴在()0,∞+上单调递减，
()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln x
m x
+≥
， 又()1ln x
g x x
+=
在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，
1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()2
2
m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围．
23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【分析】
（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =；
（Ⅱ）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】
（Ⅰ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，
则0101220101014
44
PA y y y y k y y x x y y --=
==
-+-
，同理可得021244,PB
AB k k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以
0102
44
0y y y y +=++， 即01220y y y ++=， 又PAB △重心的纵坐标为
1
3
，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以4
22
AB k k ==
=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得
2244(1)0x b x b +-+=，
其判别式2
2
116(1)1602
b b b ∆=-->⇒<
，所以102b <<．
而2
12111,4
b x x b x x +=-=，
因此，
||AB ===
又由（Ⅰ）知，01y =-，所以2
00144
y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=
的距离为1|21|b d ⨯++==
所以113||222PAB S AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△ 令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭恒成立， 故()f b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈， 故30,4PAB S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ②
弦长公式：||AB =能力，属于中档题.
24．（Ⅰ）2b =-；（Ⅱ）c 的取值范围是()
(),12,-∞-+∞．（Ⅲ）成立，证明见解析. 【分析】
（Ⅰ）由题意得f （x ）在x ＝1处取得极值所以f ′（1）＝3﹣1+b ＝0所以b ＝﹣2．
（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g （x ）的最大值，则有c 2＞2+c ，解得：c ＞2或c ＜﹣1．
（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤
恒成立，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72
=
． 【详解】 （Ⅰ）∵f （x ）＝x 312
-
x 2+bx +c ， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．
∵f （x ）在x ＝1处取得极值，
∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0．
∴b ＝﹣2．
经检验，符合题意．
（Ⅱ）f （x ）＝x 312
-x 2﹣2x +c ． ∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），
当x ∈（﹣1，23-
）时，f ′（x ）＞0 当x ∈（23
-，1）时，f ′（x ）＜0 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0
∴当x 23=-时，f （x ）有极大值2227
+c ． 又f （2）＝2+c 2227+＞
c ，f （﹣1）12=+c 2227
+＜c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ．
∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2． （Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤
恒成立． 由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值32-
+c ． 又f （﹣1）12=+c 32
-+＞c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为32-
+c ． ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72
=
，故结论成立． 【点睛】 本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a
25．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得增减区间；
（2）不等式变形为ln 20x e x -->，令()ln 2x h x e x =--，由()h x '的单调确定其有唯
一零点0x ，得出0x 为()h x 极小值点，也是最小值点，证明最小值即得．
【详解】
（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 由已知得26(6)(6)(1)()6(6)a x a x a x a x f x x a x x x
+---+=+--==' 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞
当0a >时，由()0f x '>，得6a x >，由()0f x '<，得06
a x << 所以函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
综上，当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）当1a =时，不等式2()352x f x e x x +>++可变为ln 20x e x -->. 令()ln 2x h x e x =--，则1()x
h x e x '=-，可知函数()h x '在(0,)+∞单调递增，.. 而131303h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭
，(1)10h e '=-> 所以方程()0h x '=在(0,)+∞上存在唯一实根0x ，即00
1x e x = 当()00,x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；
当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；
所以()00min 00000
111()ln 2ln 220x x h x h x e x x x e x ==--=--=+-> 即 ln 20x e x -->在(0,)+∞上恒成立，
所以对任意20,()352x x f x e x x >+>++成立.
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题．把不等式化简后，引入新函数，由导数得出新函数的最值，证明最值符合不等关系即可证原不等式．这里对导函数的零点不能求得具体数，可以得出其存在性，得出其性质（范围），然后利用导数的零点化简原函数的最值，以证结论．
26．（1）54a =
；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】
（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；
（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.
【详解】
（1）对()f x 求导得()2114a f x x x
=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12
y x =，
知()3124f a '=--=-，解得54
a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x
'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，
因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去.
当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.。