2021-2022学年江苏省镇江市市区部分学校八年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年江苏省镇江市市区部分学校八年级（上）
月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下面有4个标志图案，其中不是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.下列图形对称轴最多的是()
A. 正方形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 线段
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门
框ABCD，使其不变形，这样做的根据是()
A. 两点之间，线段最短
B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 三角形三个内角和等于180°
D. 三角形具有稳定性
4.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为()
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
5.如图，AC，BD相交于点O，OB=OD.要使△AOB≌△
COD，则下列添加的条件中错误的是()
A. ∠A=∠C
B. ∠B=∠D
C. OA=OC
D. AB=CD
6.用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等
三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法
是()
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
7.在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形()
A. 三条角平分线的交点
B. 三条高线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条边垂直平分线的交点
8.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适
当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接
AC、BC.若∠ABC=54°，则∠1的度数为()
A. 36°
B. 54°
C. 60°
D. 72°
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.如果△ABC≌△DEF，BC=6，那么EF=______．
10.已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有______对全等
三角形．
11.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且
CE=3cm，CD=6cm，则BD的长为______．
12.小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电
子表的实际时刻是______．
13.如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE.若BC=7，
AC=4，则△ACE的周长为______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若
AB=6，CD=2，则△ABD的面积是______ ．
15.如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任
意一个涂黑，使得整个图形(包括网格)构成一个轴对称图形，那么涂法共有______种．
16.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF
的度数等于______ ．
17.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD，
AB边上存在点P，使PC+PD的值最小，此时∠BCP的度数是
______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若
P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）
19.(1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，请画出△ABC关于直线l对称
的△A1B1C1并求△A1B1C1的面积；
(2)如图2，两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某公司要
修建一处避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离相等，到CD和CE的距离也相等，且在∠DCE的内部，请用尺规作出该山庄的位置P(保留作图痕迹，不写作法)．
20.如图，已在AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：∠B=∠C．
21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于
E．
(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
22.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的
平分线，BD的延长线垂直过C点的直线于E，直线CE交
BA的延长线于F.求证：
(1)Rt△BEF≌Rt△BEC；
(2)BD=2CE．
23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点
E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB．
(2)若AB=12，AF=8，求CF的长．
24.如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，
BE=6cm．
(1)如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，
同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，
设运动的时间为t秒，
①BP=______厘米，CP=______厘米．(用含t的代数式表示)
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，
都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称图形的概念．
2.【答案】A
【解析】解：A、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线；
B、有3条对称轴，即各边的垂直平分线；
C、有1条对称轴，即底边的垂直平分线；
D、有2条对称轴．
故选：A．
根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称图形的对称轴．
此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
3.【答案】D
【解析】解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．故选：D．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠A=50°，∠B=75°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=55°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C，
即：∠F=55°．
故选：B．
由∠A=50°，∠B=75°，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，根据已知△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质得到∠F=∠C，即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解此题的关键是能求出∠C的度数．题型较好，难度适中．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴当添加∠A=∠C时，可根据“AAS”判断△AOB≌△COD；
当添加∠B=∠D时，可根据“ASA”判断△AOB≌△COD；
当添加OA=OC时，可根据“SAS”判断△AOB≌△COD．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6.【答案】D
【解析】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为
半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选：D．
根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
7.【答案】D
【解析】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，
∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
据线段的垂直平分线的性质解答．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵直线l1//l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=54°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=54°，
∴∠1=72°，
故选：D．
根据题意和平行线的性质，可以得到∠1+∠ACB+∠ABC=180°，再根据AC=BC，∠ABC=54°，即可求得∠1的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和数形结合的
思想解答．
9.【答案】6
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC，
∵BC=6，
∴EF=6，
故答案为：6．
根据全等三角形的性质得出EF=BC，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10.【答案】3
【解析】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为：3．
由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11.【答案】9cm
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE=3cm，
∴BC=CE=3cm，
∵CD=6cm，
∴BD=BC+CD=3+6=9(cm)，
故答案为：9cm．
根据全等三角形的性质得出BC=CE，再代入BD=BC+CD求出即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12.【答案】10：21
【解析】解：电子表的实际时刻是10：21．
故答案为：10：21．
镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5．此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．
13.【答案】11
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴△ACE的周长=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=11，
故答案为：11．
根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，AB=6，CD=2，
∴DE=CD=2，
∴S△ABD=1
2AB⋅DE=1
2
×6×2=6．
故答案为：6．
AB⋅DE即过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可知DE=CD=2，再根据S△ABD=1
2
可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．
故答案为：5．
直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
16.【答案】115°
【解析】
【分析】
(180°−∠1)，此题考查了折叠的性质和平行线的性质．根据折叠的性质，得∠BFE=1
2
再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数．
【解答】
解：根据长方形ABCD沿EF对折，∠1=50°，得
(180°−∠1)=65°．
∠BFE=1
2
∵AD//BC，
∴∠AEF=180°−∠BFE=115°．
故答案为115°．
17.【答案】30°
【解析】解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P，连接CP，过点D作DM⊥BC 交于点M，
∴CP=C′P，
∴CP+PD=C′P+PD=C′D，此时PD+PC的值最小，
∵∠C=60°，
CD，
∴CM=1
2
∵CD=2AD，
∴CM=AD=BM，
∴BC=CD，
设AD=x，则BC=2x，CM=x，
在Rt△CDM中，DM=√3x，
在Rt△C′MD中，C′M=3x，DM=√3x，
∴C′D=2√3x，
∴∠DC′M=30°，
∵∠PCB=∠C′，
∴∠PCB=30°，
故答案为：30°．
另解：作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点P，连接DP，
∴DA=AD′
∴DD′=2AD，
∵CD=2AD，
∴DD′=CD，
∴△CDD′是等腰三角形，
∵∠A=∠B=90°，
∴AD//BC，
∵∠C=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DD′C=∠DCP=30°，
∴∠PCB=30°，
故答案为：30°．
作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P，连接CP，过点D作DM⊥BC交于点M，当C′、P、D三点共线时，PD+PC的值最小，由题意可知设AD=x，则BC=2x，CM=x，在Rt△C′MD中，C′M=3x，DM=√3x，C′D=2√3x，则有∠DC′M=30°，又由∠PCB=∠C′，即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】24
5
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
∵S△ABC=1
2AB⋅CM=1
2
AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BC
AB =6×8
10
=24
5
．
故答案为：24
5
．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，
再运用S△ABC=1
2AB⋅CM=1
2
AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，
S△A
1B1C1=2×3−1
2
×1×2−1
2
×1×3−1
2
×1×2
=5
2
；
(2)如图，作∠DCE的平分线和线段AB的垂直平分线，交点为P，点P即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可，用割补法求△A1B1C1的面积；(2)作∠DCE的平分线和线段AB的垂直平分线，交点即为P．
本题主要考查了作图−轴对称变换，割补法求三角形的面积，尺规作图等知识，熟练掌握基本作图是解题的关键．
20.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAB和△EAC中
{DA=EA
∠DAB=∠EAC AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴∠B=∠C．
【解析】求出∠DAB=∠CAE，根据SAS推出△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21.【答案】(1)解：∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=1
2
∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠EDA=90°−25°=65°．
(2)证明∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解析】(1)在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
(2)只要证明AE=AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
22.【答案】证明：(1)∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在Rt△BEF和Rt△BEC中，
{∠FBE=∠CBE BE=BE
∠BEF=∠BEC
，
∴Rt△BEF≌Rt△BEC(ASA)．(2)∵Rt△BEF≌Rt△BEC，
∴BF=BC，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
在△ABD和△ACF中，
{∠F=∠ADB
∠FAC=∠BAD AB=AC
，
∴△ABD≌△ACF(AAS)，
∴BD=CF，
∵CF=2CE，
∴BD=2CE．
【解析】(1)求出∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，根据ASA推出两三角形全等即可．
(2)根据全等三角形性质求出CF=2CE，证△ABD≌△ACF，推出BD=CF即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
23.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在△CDF与△EDB中，
∵{DF=DB
DC=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=EB．
(2)解：设CF=x，则AE=12−x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在△ACD与△AED中，
∵{AD=AD
CD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，即8+x=12−x，
解得x=2，即CF=2．
【解析】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF=EB；
(2)设CF=x，则AE=12−x，再根据题意得出△ACD≌△AED，进而可得出结论．本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
24.【答案】4t(10−4t)
【解析】解：(1)①BP=4t cm，CP=(10−4t)cm；
故答案为：4t，(10−4t)；
②当△BPE≌△CPQ时，
BP=PC，BE=CQ，
即4t=10−4t，at=6，
解得a=4.8；
当△BPE≌△CQP时，
BP=CQ，BE=PC，
即4t=at，10−4t=6，
解得a=4．
综上所述，满足条件的a的值为4.8或4；
(2)①当a=4.8时，
由题意得，4.8t−4t=30，
解得t=37.5，
∴点P共运动了37.5×4=150cm，
∴点P与点Q在点A相遇．
②当a=4时，点P与点Q的速度相等，
∴点P与点Q不会相遇．(不符，舍去)
答：经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．
(1)①根据路程与速度的关系求解即可；
②分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可；
(2)分两种情形：构建方程求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。