数学一真题2007年答案
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x x →0
1 x
又 lim [ + ln(1 + e )] = 0 ，所以 y=0 为水平渐近线；
x x →−∞1 x源自1进一步， lim
x →+∞
y 1 ln(1 + e x ) ln(1 + e x ) ex = lim =1， ] = lim = lim [ 2 + x →+∞ 1 + e x x →+∞ x x →+∞ x x x
∫
x
0
f (t )dt. 则
3 F (3) = − F (−2) . 4 3 F (−3) = F (2) . 4
5 F (2) . 4 5 (D) F (−3) = − F (−2) . 4
(B) F (3) =
【
】
【答案】 应选(C). 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清 楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： F (2) = F(3)是两个半圆面积之差： F (3) =
完全类似例题见《经典讲义》P.28 例 1.63, 例 1.64, 例 1.65 及辅导班讲义例 1.6. (2)曲线 y =
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为 lim[ + ln(1 + e )] = ∞ ，所以 x = 0 为垂直渐近线；
+
1− e x .
(B) ln
1+ x . (C) 1− x
1+ x −1 .
(D) 1 − cos x .
【
】
【答案】 应选(B). 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式， 尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量， 再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当 x → 0 时，有 1 − e
+
x
= − (e
(C) α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3 , α 3 − 2α 1 . (D) α1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3 , α 3 + 2α 1 . 【答案】应选(A) . 【详解 1】直接可看出(A)中 3 个向量组有关系
(α1 − α 2 ) + (α 2 − α 3 ) = − (α 3 − α1 ) ，
故应选(D). 事实上，可举反例： f ( x) = x 在 x=0 处连续，且
lim
x →0
x − −x f ( x) − f (− x) = lim = 0 存在，但 f ( x) = x 在 x=0 处不可导。 x →0 x x
重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见 P.41 例 2.1, P.42 例 2.6 及 P.60 习题 2 及辅导班讲义例 2.5. (5)设函数 f (x)在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0. 令 u n = f (n)(n = 1,2, " , ) , 则下列结论正确的是： (A) 若 u1 > u2 ，则 {un } 必收敛. (C) 若 u1 < u2 ，则 {un } 必收敛. (B) 若 u1 > u2 ，则 {un } 必发散. (D) 若 u1 < u2 ，则 {un } 必发散. 【 】
在区间 [1, 2] 上应用拉格朗日中值定理, 存在 ξ1 ∈ (1, 2) 使得
u2 − u1 f (2) − f (1) = = f ′(ξ1 ) > k > 0 , 2 −1 2 −1
又因为在 (0, +∞) 上 f ′′( x) > 0, 因此 f ′( x) 在 (ξ1 , +∞) 上单调增加， 于是对 ∀x ∈ (ξ1 , +∞ ) 有
于是有斜渐近线：y = x.
故应选(D).
x →∞ x →∞
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即 lim y = c )就不再考虑斜渐近线，但当 lim y 不 存在时， 就要分别讨论 x → −∞ 和 x → +∞ 两种情况， 即左右两侧的渐近线。 本题在 x<0 的 一侧有水平渐近线，而在 x>0 的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数 e 当 x → ∞ 时极限
2007 年数学一试题分析、详解和评注
分析解答所用参考书： 1.黄先开、 曹显兵教授主编的 《2007 考研数学经典讲义 （理工类） 》 ， 简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007 考研数学历年真题题型 解析》 ，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在 2006 强化辅导班上的讲稿. 一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 x → 0 时，与 x 等价的无穷小量是 (A)
∫ ∫
T
f ( x, y )dx = ∫ dx = x2 − x1 > 0 ;
T
∫
T
f ( x, y )dy = ∫ dy = y2 − y1 < 0 ;
T T
T
f ( x, y )ds = ∫ ds = s > 0 ;
T
∫
T
f x′( x, y )dx + f y′( x, y )dy = ∫ df ( x, y ) = 0 .
x
不存在，必须分 x → −∞ 和 x → +∞ 进行讨论。 重点提示见《经典讲义》P.145 页，类似例题见 P.150 例 7.13, 例 7.14 及辅导班讲义 例 7.8. (3)如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆 周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F ( x) = 下列结论正确的是 (A) (C)
3
f ′( x) > f ′(ξ1 ) > k > 0 .
在区间 [ξ1 , x ] 上应用拉格朗日中值定理, 存在 ξ 2 ∈ (ξ1 , x ) 使得
f ( x) − f (ξ1 ) = f ′(ξ 2 ) , x − ξ1
即
f ( x) = f (ξ1 ) + f ′(ξ 2 )( x − ξ1 ) → +∞, ( x → +∞)
lim
1+ x x =t ln(1 + t 2 ) − ln(1 − t ) 1 − x = lim ln(1 + x) − ln(1 − x ) = lim x → 0+ t → 0+ t x x
2t 1 + 2 2 1 + t 1 − t = lim 2t (1 − t ) + 1 + t = 1. = lim 2 t → 0+ t →0+ (1 + t )(1 − t ) 1
F (−2) = ∫
−2
0
f ( x)dx = ∫ − f ( x)dx ，也为半径是 1 的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
−2
0
【评注 2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的 巧妙之处。 完全类似例题见《经典讲义》P.152 例 7.15, 例 7.16，例 7.18 及辅导班讲义例 7.12 (4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是：
1 lim [ y − 1⋅ x] = lim [ + ln(1 + e x ) − x] = lim [ln(1 + e x ) − x] x →+∞ x →+∞ x x →+∞
= lim [ln e (1 + e ) − x] = lim ln(1 + e ) = 0 ，
x x →+∞ x →+∞ −x −x
即(A)中 3 个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解 2】用定义进行判定:令
4
x1 (α1 − α 2 ) + x2 (α 2 − α 3 ) + x3 (α 3 − α1 ) = 0 ，
得
( x1 − x3 )α1 + (− x1 + x2 )α 2 + (− x2 + x3 )α 3 = 0 .
x
− 1) ~ − x ； 1 + x − 1 ~
1 x； 2
1 − cos x ~
1 1 ( x ) 2 = x. 利用排除法知应选(B). 2 2
1+ x 的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小 1− x
【评注】 本题直接找出 ln
很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，
ln
x →0+
(B) 若 lim 【 】
【答案】 应选(D). 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算 等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0， 因此分子的极限也必须为 0， 均可推导出 f(0)=0. 若 lim
x →0
f ( x) f ( x) − f (0) f ( x) 存在，则 f (0) = 0, f ′(0) = lim = 0 ，可见(C)也正确， = lim x →0 x →0 x x−0 x
∫
T
f ( x, y )dx .
T
(B) (D)
∫ ∫
T
f ( x, y )dy . f x′( x, y )dx + f y′( x, y )dy .
【 】
∫
f ( x, y )ds .
T
【答案】 应选(B). 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设 M 、N 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), x1 < x2 , y1 > y2 . 先将曲线方程 代入积分表达式，再计算有：
故正确选项为(B). 【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分. 重要提示见《经典讲义》P.239，完全类似例题见 P.240 例 12.1, 例 12.2,例 12.5 及辅 导班讲义例 12.3. (7) 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1 . (B) α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 . 【 】
2
(A) 若 lim
f ( x) 存在，则 f(0)=0. x →0 x f ( x) (C) 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在. x →0 x
f ( x) + f (− x) 存在，则 f(0)=0. x →0 x f ( x) − f (− x) (D) 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在 x →0 x
1 但 {un } = { } 收敛， 排除(B); 又若设 f ( x) = − ln x ， 则 f(x)在 (0, +∞) 上 f ′′( x) > 0, u1 > u2 ， n
具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0, u1 > u2 ，但 {un } = {− ln n} 发散，排除(A). 故应选(D). 【评注】 也可直接证明(D)为正确选项. 若 u1 < u2 ， 则存在 k > 0 ， 使得 u2 − u1 > k > 0 .
【答案】 应选(D). 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f (x)= x , 则 f (x)在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0, u1 < u2 ，但
2
{un } = {n 2 } 发 散 ， 排 除 (C); 设 f(x)=
1 , 则 f (x) 在 (0, +∞) 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 x
1 π， 2
1 1 3 3 [π ⋅12 − π ⋅ ( ) 2 ] = π = F (2) ， 2 2 8 4
0 3 −3 0
F (−3) = ∫
−3 0
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = F (3)
因此应选(C). 【评注 1】 本题 F(x)由积分所定义，应注意其下限为 0，因此
故应选(D). 重要提示与例题见《经典讲义》P.19 例 1.40, 例 1.41、 《真题（一）P.40 题 3》及辅导 班讲义例 1.12 (6)设曲线 L : f ( x, y ) = 1( f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数)， 过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象 限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) (C)
1 x
又 lim [ + ln(1 + e )] = 0 ，所以 y=0 为水平渐近线；
x x →−∞1 x源自1进一步， lim
x →+∞
y 1 ln(1 + e x ) ln(1 + e x ) ex = lim =1， ] = lim = lim [ 2 + x →+∞ 1 + e x x →+∞ x x →+∞ x x x
∫
x
0
f (t )dt. 则
3 F (3) = − F (−2) . 4 3 F (−3) = F (2) . 4
5 F (2) . 4 5 (D) F (−3) = − F (−2) . 4
(B) F (3) =
【
】
【答案】 应选(C). 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清 楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积： F (2) = F(3)是两个半圆面积之差： F (3) =
完全类似例题见《经典讲义》P.28 例 1.63, 例 1.64, 例 1.65 及辅导班讲义例 1.6. (2)曲线 y =
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为 lim[ + ln(1 + e )] = ∞ ，所以 x = 0 为垂直渐近线；
+
1− e x .
(B) ln
1+ x . (C) 1− x
1+ x −1 .
(D) 1 − cos x .
【
】
【答案】 应选(B). 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式， 尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量， 再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当 x → 0 时，有 1 − e
+
x
= − (e
(C) α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3 , α 3 − 2α 1 . (D) α1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3 , α 3 + 2α 1 . 【答案】应选(A) . 【详解 1】直接可看出(A)中 3 个向量组有关系
(α1 − α 2 ) + (α 2 − α 3 ) = − (α 3 − α1 ) ，
故应选(D). 事实上，可举反例： f ( x) = x 在 x=0 处连续，且
lim
x →0
x − −x f ( x) − f (− x) = lim = 0 存在，但 f ( x) = x 在 x=0 处不可导。 x →0 x x
重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见 P.41 例 2.1, P.42 例 2.6 及 P.60 习题 2 及辅导班讲义例 2.5. (5)设函数 f (x)在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0. 令 u n = f (n)(n = 1,2, " , ) , 则下列结论正确的是： (A) 若 u1 > u2 ，则 {un } 必收敛. (C) 若 u1 < u2 ，则 {un } 必收敛. (B) 若 u1 > u2 ，则 {un } 必发散. (D) 若 u1 < u2 ，则 {un } 必发散. 【 】
在区间 [1, 2] 上应用拉格朗日中值定理, 存在 ξ1 ∈ (1, 2) 使得
u2 − u1 f (2) − f (1) = = f ′(ξ1 ) > k > 0 , 2 −1 2 −1
又因为在 (0, +∞) 上 f ′′( x) > 0, 因此 f ′( x) 在 (ξ1 , +∞) 上单调增加， 于是对 ∀x ∈ (ξ1 , +∞ ) 有
于是有斜渐近线：y = x.
故应选(D).
x →∞ x →∞
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即 lim y = c )就不再考虑斜渐近线，但当 lim y 不 存在时， 就要分别讨论 x → −∞ 和 x → +∞ 两种情况， 即左右两侧的渐近线。 本题在 x<0 的 一侧有水平渐近线，而在 x>0 的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数 e 当 x → ∞ 时极限
2007 年数学一试题分析、详解和评注
分析解答所用参考书： 1.黄先开、 曹显兵教授主编的 《2007 考研数学经典讲义 （理工类） 》 ， 简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007 考研数学历年真题题型 解析》 ，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在 2006 强化辅导班上的讲稿. 一、选择题：(本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 x → 0 时，与 x 等价的无穷小量是 (A)
∫ ∫
T
f ( x, y )dx = ∫ dx = x2 − x1 > 0 ;
T
∫
T
f ( x, y )dy = ∫ dy = y2 − y1 < 0 ;
T T
T
f ( x, y )ds = ∫ ds = s > 0 ;
T
∫
T
f x′( x, y )dx + f y′( x, y )dy = ∫ df ( x, y ) = 0 .
x
不存在，必须分 x → −∞ 和 x → +∞ 进行讨论。 重点提示见《经典讲义》P.145 页，类似例题见 P.150 例 7.13, 例 7.14 及辅导班讲义 例 7.8. (3)如图，连续函数 y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆 周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F ( x) = 下列结论正确的是 (A) (C)
3
f ′( x) > f ′(ξ1 ) > k > 0 .
在区间 [ξ1 , x ] 上应用拉格朗日中值定理, 存在 ξ 2 ∈ (ξ1 , x ) 使得
f ( x) − f (ξ1 ) = f ′(ξ 2 ) , x − ξ1
即
f ( x) = f (ξ1 ) + f ′(ξ 2 )( x − ξ1 ) → +∞, ( x → +∞)
lim
1+ x x =t ln(1 + t 2 ) − ln(1 − t ) 1 − x = lim ln(1 + x) − ln(1 − x ) = lim x → 0+ t → 0+ t x x
2t 1 + 2 2 1 + t 1 − t = lim 2t (1 − t ) + 1 + t = 1. = lim 2 t → 0+ t →0+ (1 + t )(1 − t ) 1
F (−2) = ∫
−2
0
f ( x)dx = ∫ − f ( x)dx ，也为半径是 1 的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
−2
0
【评注 2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的 巧妙之处。 完全类似例题见《经典讲义》P.152 例 7.15, 例 7.16，例 7.18 及辅导班讲义例 7.12 (4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是：
1 lim [ y − 1⋅ x] = lim [ + ln(1 + e x ) − x] = lim [ln(1 + e x ) − x] x →+∞ x →+∞ x x →+∞
= lim [ln e (1 + e ) − x] = lim ln(1 + e ) = 0 ，
x x →+∞ x →+∞ −x −x
即(A)中 3 个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解 2】用定义进行判定:令
4
x1 (α1 − α 2 ) + x2 (α 2 − α 3 ) + x3 (α 3 − α1 ) = 0 ，
得
( x1 − x3 )α1 + (− x1 + x2 )α 2 + (− x2 + x3 )α 3 = 0 .
x
− 1) ~ − x ； 1 + x − 1 ~
1 x； 2
1 − cos x ~
1 1 ( x ) 2 = x. 利用排除法知应选(B). 2 2
1+ x 的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小 1− x
【评注】 本题直接找出 ln
很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，
ln
x →0+
(B) 若 lim 【 】
【答案】 应选(D). 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算 等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0， 因此分子的极限也必须为 0， 均可推导出 f(0)=0. 若 lim
x →0
f ( x) f ( x) − f (0) f ( x) 存在，则 f (0) = 0, f ′(0) = lim = 0 ，可见(C)也正确， = lim x →0 x →0 x x−0 x
∫
T
f ( x, y )dx .
T
(B) (D)
∫ ∫
T
f ( x, y )dy . f x′( x, y )dx + f y′( x, y )dy .
【 】
∫
f ( x, y )ds .
T
【答案】 应选(B). 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设 M 、N 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), x1 < x2 , y1 > y2 . 先将曲线方程 代入积分表达式，再计算有：
故正确选项为(B). 【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分. 重要提示见《经典讲义》P.239，完全类似例题见 P.240 例 12.1, 例 12.2,例 12.5 及辅 导班讲义例 12.3. (7) 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1 . (B) α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 . 【 】
2
(A) 若 lim
f ( x) 存在，则 f(0)=0. x →0 x f ( x) (C) 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在. x →0 x
f ( x) + f (− x) 存在，则 f(0)=0. x →0 x f ( x) − f (− x) (D) 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在 x →0 x
1 但 {un } = { } 收敛， 排除(B); 又若设 f ( x) = − ln x ， 则 f(x)在 (0, +∞) 上 f ′′( x) > 0, u1 > u2 ， n
具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0, u1 > u2 ，但 {un } = {− ln n} 发散，排除(A). 故应选(D). 【评注】 也可直接证明(D)为正确选项. 若 u1 < u2 ， 则存在 k > 0 ， 使得 u2 − u1 > k > 0 .
【答案】 应选(D). 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设 f (x)= x , 则 f (x)在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′( x ) > 0, u1 < u2 ，但
2
{un } = {n 2 } 发 散 ， 排 除 (C); 设 f(x)=
1 , 则 f (x) 在 (0, +∞) 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 x
1 π， 2
1 1 3 3 [π ⋅12 − π ⋅ ( ) 2 ] = π = F (2) ， 2 2 8 4
0 3 −3 0
F (−3) = ∫
−3 0
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = F (3)
因此应选(C). 【评注 1】 本题 F(x)由积分所定义，应注意其下限为 0，因此
故应选(D). 重要提示与例题见《经典讲义》P.19 例 1.40, 例 1.41、 《真题（一）P.40 题 3》及辅导 班讲义例 1.12 (6)设曲线 L : f ( x, y ) = 1( f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数)， 过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象 限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是 (A) (C)