2015年北京市中考考试说明-——数学

1 •考试范围
数学学科考试以教育部颁布的《义务教育数7课程标准（2011 年版）》为依据•以其规定的“课程目标”与“课程內容”为考试
n.考试内容和要求
1.数学学科的考试内容楚指《义务敦厅数学课程标准（2011年版）》中所规定的课程内容.关干考试内容的要求由低到高划分为 A. B. C三个层次.n岛一级的层次耍求包含低一级的层次耍求.
A：对所学知识有丛本的认识，知道或举狈说明对彖的有关符征，从具体悄境中辨认或举例说明对象；描述对象的持征和山*,阐述此对象勺相关对彖之间的区别和联系.
B：在理解的卑础上.把对象用于新的悄境，解决有关的教学问题或简单的实际何題.
C：通过观察、实矗、陆测、计算、推理、脸lit等思维活动，理解或提出问物，寻求解决问題的思路；综合使用已学挥的对象，选择或创造适当的方仏.实现对数学问题或实际问題的分析9解决.
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注：在尺规作图中.J：解作图的遭理.保的痕迹.不嬰求写出作法.
2.数学学科考试按照“注贡荃础.能力立童”的原则，考直初中数学的也础
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知训、乩本技能、从本思想和埜木活动经脸，考传抽象概拆能力、运算能力、推理能力、分析和解决何题的能力、空间观念、儿何直观、数据分析观念、模型思想、应用宜识和创新总识等.
(1)注虫对联础知识的爭俊.全面号仮卑础知识，突出对支撐学科体系的重点知识的考直.注重知识的整体性和知识之间的内在联系.
注重对基本技能的考査.考査技能操作的程序与步骤及其中细含的匝理.
注重对基本思恵的考合.以畢础知识为载体.考传对知识本质及规律的理性认倶.
注朮对M本活动经脸的考査.考賁在观察、实验、计算、推理、验证等活动过程屮所积累的学习与应用基础知识.基本技陡、基本思想方法的经验和思堆的经验.
(2)对数学能力的考查包括对数学知识、数学知识形成与发展过程、数学知UU活应用的占査，反映学生的思维水¥•对数学能力的考査，注竜全面.突出重点.强调综介.体现应用.将对抽象概括能力、运算能力、推理能力、分析和解决问题的能力的考隹贯穿于全卷.
抽象概括能力匸要是指在不同问题的悄境卜•.通过对具体対彖的抽象概括.发现所研究对彖的本质特征；从给定信息中概活出结论. 将具应用于所研究的问題中.
运算能力主要是指理解运算的算理；根据法则和运算律正确的进行运算；根据持定的问題.分析运算条件.探究、设计和选择合理、简洁的运算途径.解决问题；根据耍求进行佔算.
推理能力包括合悄推理能力和演绎推理能力.合悄推理能力是描恨据何题的已知，结合已有的弔实，凭借所积累的经验，利用归纳与类比等方法.推断出问题的某一特定结论；演绎推理能力是指根据问題的已知和已有的爭实，进行逻辑性思考，推导出术知命題的正确性.-•般地.运用合情推理进行探索.运用演绎推理进行证明.
分析和解决问题的能力主芟址指阅读、理解问题，根据问题背尿.运用所学的知识、思想方法及积累的活动经验，获取有效信息. 选择恰当方法，形成解决问題的思路，并用数学i吾言衣述解决问题的过程.
空间观念主嘤足指根据物体持征抽象出几何图形，根据几何图形想象出实物；74
判断物体的方位和物体间的位胃关系；描述图形的运动与变化；依据语言的描述冏
岀图形.
几何直观卞要是指利用图形描述、分析问题.探索、发现解决问题的思路，并预测结果.佶助几何卫观可以使复杂问題简明、形線.
数据分析观念主耍足指整理、分析数据；从丈量数据中提取有效信息.并作岀判断；根据问题的实际背昂.选杼存适的统计方法•解决实际问题.
模型思想与应用意识主要足指右意识的利川效学概念、原理和方法解决实际问题；根据J1体问题.抽線出数学问题，将问题中的数址关系、位置关系和变化观律用方程（组）、不等式、函数、儿何图形、统讣图衣等进行农示，求岀并检脸结果，验证模型的合理性.
创新意识主耍是指从数学角度发现、提岀何题.综合、灵活运用所学的知识、思想方法及枳累的活动经验，进行独立思考，分析问题.选择有效方法，创造性地解
决问题.
in.试卷结构
一、试卷分数、考试时间
试卷满分为120分
考试时间为120分钟
二、试卷的内容及分数分配
数与代数约60分
图形与几何约46分
统计与槪率约14分
三、试卷的试题难易程度
试卷市较易试题、中等难度试题和较难成題组成，总体难度适中.
四、试卷的题型及分数分配
选择题约32分
填空题约16分
解答题约72分
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IV ・参考样题
为让考生对中考试题获取一定的认识・找们精选了部分试题编制 成参考样题.参考样题与2015年北京山中考试卷的结构、題莹、題 序、测试内容和题I 」堆度等方血均没有对应关系.
A
-1
3.如图，Kt A4BC 中.LACH =90% DE 过 点car-行于
心若乙BCE =35。

,则厶4 的度数为
A. 35。

B. 45°
C. 55°
D. 65°
一.选择题
I •右图是某个几何体的二视图，该几何体是
A. 长方体
正方体
凰柱
C ・
K « R1
C. D ・i
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6・10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身髙（单•位，cm ） 如下表所示: 队员1
队员2 从员3 队员4 从员5 甲队
177 176 175 172 175 乙队
170 175 173 174 183
设炖队队员身高的半均数依次为珀.孑乙.身高的方差依次为蔬.
$2,则下列关系中完全正确的是
A ・ =*乙・兔 B. =x 乙、斤 vs ：
4.小东到商店购买2支单价相同的圆珠笔和10支单价相同的铅笔. 与老板的对话如下：
小东：我要买2支圆珠笔和10支铅笔.
老板：这是你妥的2支刃珠笔和10支铅笔，总共20元.
老板：同学.我把钱算错了 •多算了 2支铅笔的钱.退还你2乞
由丄述对话可知，圆珠笔和铅笔的单价相差的价钱址
A. 2元
B. 3元
C. 4元 5. 园林队布某公园进行绿化.中间休息了 •段时 凤 已知
绿化面积S （单位:平方米）与工作 时间/ （单位：小
时）的函数关系的图象如图 所示，则休息后园林队毎小
时绿化面枳为
A. 40平方米
B. 50平方米
C. 80平方*
D. 100平方米 D.5元
C・筹甲＞力乙♦&甲＞$：D•力甲＜%乙・78
7.下列图形中.址中心对称图形但不址轴对称图形的址
&如图.的应径站垂虫于弦CD.垂足是氏rA=22.5% 0C=4, CD 的长为
K.1J2 B.4
C.4 72
D. 8
9.美术课匕.老师宴求同学们将右•图所示的白纸只沿
虐线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴形部分国成一
个立体模型，然后放在桌面上.下面四个示意图中.只
有-个
• • • •符合上述婆求.那么这个示意图是
B
A
C D
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10.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步•他从点A岀发，沿箭头所示方向经过点
B跑到点C,共用时30秒.他的救练选择了-•个固定的位程观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为/ （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米）.
表示y与C 的函数关系的图彖犬致如图2所示，则这个固定位笛可能是图1
Q
中的
A.点M
B.点N C•点P D.点Q
->填空题
II-恋•段时间内.眼装店店长对已销售的某种服装的尺寸进行了统计.在“平均数S '•众数J "中位数”、“力差”这些统计量中.
店K最关心的统il虽是_________ .
12.若把代数式 <・2一3化为（x-m）2+fc的形式，其中叽R为常数.则—.
13.如图.O是矩形力“C〃的对角线AC的中点，.W
尼肋的中点，若AB =5, ND = 12.则四边形ABOM
的周氏为,
14.请写出」个开ri向上，并且与）軸交于点（0.
1）的抛物线的
解析式.y- __________ .
80
15.在某一时刻.测得一根高为1.8m的竹竿的影氏3m,同时测得一
根旗杆的影长为25m.那么这根旗杆的高度为_______________ m.
16.在平面左角坐标系尤0•中，我们把横、纵坐杯都足整数的点叫做整点.已知
点A（0, 4）,点B R x轴E半轴上的整点，记
内部（不包括边界）的整点个数为叽当zn=3时.点B的横坐标的所有可能值是______________________ ;当点〃的横坐标为％（"为正韬数）
时.m = _______ （用含"的代数式丧示）.
17.在平面宜角坐标系讽为中，对于点F（x, y）,我们把
点P f{ -y + 1, x + I）叫做点P的伴隨点.已知点A,的伴随点为儿•点的伴随点为仏，点心的伴随点为人，・・・，这样依次得到点4,. 4a. —•・・・・.
若点儿的*标为（3. 1）.则点爲的坐标为__________ ，点4鋼4的坐标为；
若点儿的坐标
为（sb）,对于任意的正整数“点人均在％轴上方，则6 应满足的条件为.
三、解答题
18.解不等式并把它的解集在数轴上衣示出*.
—1 -- 1 __ I ---- 1 ---- 1--- 1 --- 1■….・」■■…」・・■»
-4-3-2-10 12 3 4
19・如图.点〃在线段上.BC//DE9 AB^ED. BC = DU. 求证：ZA =乙E・
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20.已知y = y^O,求代效式訂誥・(—26)的值.
21・已知关丁•”的一元二次方程『+2’ +2R・4-0有两个不相等的实数根.
(1)求*的取值范国；
(2)若&为正整数• IL该方桎的根都圧整数，求*的值.
4
22.如图，在半面直角坐标系"，中•函数y = -(x>0)的图象与一
x
次函数心■&的图象的交点为A(m, 2). .*
(1)求-次函数的解析式；\ /
(2)设一次函数y^kx・k的图象与y轴交］：点〃，2 •決*
若P > x轴上一点.且满足初的而积---------------------------- X
是4.立接写出点户的坐标. 穿
23.列方程或方程组解应用题：
小可白铭私家车从/!地到〃地，铭驶原来的燃油汽车所需油费108元•铭驶新购买的纯电动汽车所需电费27元.已知毎行驶I千*.原来的燃油汽乍所需的汕费比新购买的纯电动汽乍所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽乍毎行驶1千米所需的电费.
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24. 如图，在口4〃C 〃中•舷平分W 交比于点/ 平分
3C,交弘于点八A£与必交于点儿连接E 八PD.
(1) 求证：四边形ABEF 是菱形；
(2) 若 4D=6t Z./1«C = 60\
求tan^ADP 的值.
25.根据某研究院公布的2(X)9 -2013年我国成年国民阅读调査报告 的部分相关数
据.绘制的统计图农如卜•：
根据以匕信息解答卜•列问题：
(1) 直按写出扇形统什图中加的值；
(2) 从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数星每年堵
长的榊度近似相等•估算2014年成年国尺年人均阅读图书
的数量约为 _______ 本；
(3) 2013年某小区倾向图彭阅读的成年国民有990人，若该小
区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014
年该小区成年国民阅读图书的总数就约为 _____________ 本・
2013年成年国民
倾向的阅读方式人數分布统计图 下域
井打印 干机阅进 15.6% 年份 年人均阅渎图书数量(本)
2009
3.88 2010
4.12
2011 4.35
2012 4.56
2013
4.78 电子阅谅卷
阅谀2.4凭 网络在线 阅读
15.0%
2000 2013年成年国民 年人均阅读图书数盘统计表
26.如图•佃是O0的宜径■ C是皿的中点.00的切线刊)交
的延长线于点〃.EXB的中点.CE的延长线交切线〃〃于点
AF交00于点连接创/・
(1)求证：ACYD.
(2)若0—2.求胎的长.
27.小芸在6。

"的柄边上分别取点N.便得0M = 0.N•并把两
个完全相同的含有30。

角的肓角二角板按如图所示的位理进行放
置.这两个直角三角板的斜边交于点化小芸说: 射线()P足小芸的说法是否正确？若正确.诸
证明；若不正确.请说明理由.
2&阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1,在zM叱中•点D在线段BC X,乙审〃=75。

・乙CAD = 30°. AD=2. BI22JX：.求“；的长.
小腾发现，过点C作CE//AH,交人〃的适长线于点氏通过构遼经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)・
请回答：乙的度数为_______________ t AC的氏为_________ .
参考小腾思考问题的方法，解决问题:
如图3,在四边形ABCD中.
ZK4C = 9O°t ZCW=3O% 厶ADCT5。

,
AC HD交于点E. 4E=2t BE=2ED. 求BC的长.
29•在¥面宜角坐标系xOy中.牠物线y二mx2 - 2nix - 2 ( m #0)
与J轴交J：点1 •其対称轴与x轴交丁•点B.
(1)求点儿〃的坐标；
(2)设直线/与直线刖关于该抛物线的
对称轴对称, 求直线2的解析式；
(3)若该抛物线在・2 <x<・1 这一段
位干恵线/的上方，并忖在2<工<3这--
段位于宜线片〃的卜•方.求该抛物线
的解析式.
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30. 在止方形朋C 〃外侧作直线刖，点B 关于立线刖的对称点为 连接BE. DE,其
中OE 交左线AP 于点F.
(1) 依题意补全图1;
(2) 若ZP4»=2O°.求Z.4DF 的度数；
(3) 如图2,若45° < LP\B <90\用等云表示线段佃.FE 、
FD 之间的数宦关系.并证明•
31. 在平面貢角坐标系舫 中，对于任意曲点 y
耳(心，X)与Pi (%力)的“非常距离5 .............................. ］厲 给出如卜•定义：
卩 I 若 I -x 2 I I >•» -n I, WO 点 p t 与点坨 2 ": f
的“非常距离”为|x,-x 2|；
--1_L 若 \x t -x 2\ < I /| - y 2 I,则点 P ］与点 P 2
的“非亦距离”为ln-y 2|. 图| 例如：点片(1, 2),点5(3, 5),因为|1-3| < |2-5| ,所以 点气与点P 2的“非常距离”为|2-5| =3,也就是图丨中 线段P&与线段P 卫长度的较人值(点Q 为垂育于y 轴的 主线件Q 与垂左于x 轴的直线P 2Q 的交点)•
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(1) 已知点4( -y, 0), 〃为y 轴上的一个动点.
① 若点人与点〃的“非常距离”为2,写出一个満足条件 的点B 的坐
标；
② 直按写出点巾与点〃的“非常距离”的晟小值；
(2) 已知C 是肓线厂》+3上的一个动点，
① 如图2,点I)的坐标是(0, 1),求点G 与点I)的 “非常距离”的垠小
值及相应的点C 的坐标；
② 如图3, E 是以原点O 为圆心，1为半径的岡上的 一个动点，求点C
与点E 的“非祥距离”的最小值 及相应的点E 和点C 的坐标.
32. 对某一个函数给出如卜定义：若存住实数W>0.对于任意的 函数值y,都満足-
MwywM,则称这个换数足构界网数. 在所有满足条件的M 中.英城小值称为这个西数的边界值. 例如•下图中的函数是右界甬数.英边界值是】•
(1) 分别判断函数厂丄(x>0)和+
-4<x^2)是不是
x
右界臥数？若足有界函数，求其边界值； (2) 若函数r= -x + l (aWKb, b>a)的边界值是2, II 这个
甫数的最大值也是
2.求6的取值范围；
(3)将曲数y = x2(・1 ・m^O)的對象向下平移m个
单位，得到的函数的边界他是*,当加在什么范別时, 満足扌W*W1?
V.参考样题答案及说明
一、选择题
1.（2012年第4題，堆度0.99）
【答案】D.
【说明】本题主要考査三视图.
2.（2014年第3题，难度0.97）
【答案】【）•
【说明】本题卞要考査简单随机爭件发生的概华.
3.（2007 年第3 0,难度0.95）
【答案】C.
【说明】本题主婴考査平行线的性质及三角形内角利定理.
4.（调研题）
【答案】B.
【说明】术题主要考査应川意识.
5.（2014年第6题，难度0.84）
【答案】B.
【说明】本题卞要考农利用函数图彖解决简单的实际问题.
6.（2010年第7題，难度0.83）
【答案】B.
【说明】本题卞要考査半均数和方差的统计意义.
7.（2013年第6题，难度0.80）
【答案】A・
［说明】本题主要考传图形的中心对称性和軸对称性.
8.（2014 年第7 0,难度0.89）
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【答案】C.
【说明】本题主要考査园周角定理、垂径定理和解直角二角形.
9.（2010年第8題,难度0.60）
【答案】B.
【说明】本题卞要考在空间观念.
10.（2012年第8题，难度0.60）
【答案】D.
【说明】本題卞要考杳运用函数的相关知识，探索冇关问題中的数星关系和变化规徉，对变窒之间的对应关系和变化情况进行研究.
二、填空题
11.（调研题）
【答案】众数.
【说明】木題主婆考杳根据实际冋题选择恰当的统计址对数据进行描述.
12.（2009 年第11 題,难度0.68）
【答案】-3.
【说明】木题主要考含配方法.
13.（2013 年第11 题，难度0.80）
【答案】20.
【说明】本题主要粵査直角-=：角形和矩形的性质、二角形屮位线和勾股定理.
14.（2013 年第10 题.难度0.81）
【答案】答案不唯一，如：＜+1 •
【说明】本题是一逍开放性试题，主要考査根据已知条件确运二次函数的表达式.
15.（2014 年第10 题，难度0.91）
【答案】15.
【说明】木题主要考杳利用图形的相似解决简单的实际问题.
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16. （2012 年第 12 题.难度 0.47）
【答案】3, 4； 6—3・
【说明】本題在新疋义的背杲下.创设一个数学探究环境.通过 观察、实粽、猜
测、计算、推理、验证等活动过程，发 现问題的规律，形成问題的解
决方法，得到相应的结论, 主耍考査分类讨论、从待殊到-•般和归纳
的数学思想方 法.考責合情推理能力、抽象概括能力、分析和解决问
题的能力.
17. （2014 年第 12 题，难度 0.45）
【答案】（・3, 1）； （0, 4）； -1 <a <l, O<6<2.
【说明】本题利用代数式的特征推断代数式反映的规律，通过探 究活动.发现
特定对象的有关符征及与相关对線的区别 和联系，主要考査归纳的
数学思想方法，考査抽象槪括 能力、推理能力和创造性解决问题他能
力•
三、解答题
18. （2014 年第 15 題.难度 0.91）
【答案】
解：去分母，得3*-6w4—3.
移项.得 3一 4%w6-3・
合并•得 W3・
系数化为1•得*M-3・
不等式的解集在数轴上表示如卜•：
【说明】本题主耍考査•元•次不等式的解法
.
【答案】
19. （2014 年第 13 题.难度 0.96） 【答案】
证明：
•••乙 ABC 二 Z.D.
在△肋C 和〃中，
[AB=ED 、
.乙ABC 二乙〃.
BC 二DB.
••• WRCqMDR.
•••乙 A = LE.
【说明】本题主要考査全等三角形的性质勺尹.定.
20. （2012 年第 15 題.难度 0.89）
【答案】
解:疥2
【说朋】本题卞要考杳代数式的化简和求值. 21. (2013年第18题.难度0・79)
解:(1)由题意•得 1=4-4(24-4) >0.5a-26
0 425)(a-26) (a-2b) _5n -2b
=a + 2b' •••原式= 5a -3a
n +3a
(2) •••&为正整数.
A = 1, 2.
当k = I时，方程x2 +2x・2=0的tH x =・1 土疗不足整数；
半幺=2时，方程x + 2x = 0的根*| = - 2, x2 = 0 都是整数.
综上所述・"2.
【说明】本題卞要考査一元二次方程的解法和根的刿别式.考査分类讨论的数学思想.
22.（2012 年第17 題，难度0. 75）
【答案】
解：（1）•.・点4（叫2）在用数y = y（^ >0）的劲象上，
2ni = 4.
解得m =2.
.••点A的坐标为（2, 2）.
V A4（2, 2）在一次函瓶皿-k的
图彖匕
•・・2k-k = 2・
解得"2. /
.••一次函数的解析式为y = 亠
（2）点P的坐标为（3,0）或（・1,0）.
【说明】本题卞要考査一次函数与反比例函数的概念、图象与性质. 考査数形结合和分类讨论的数学思想.
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23.（2014 年第18 题,难度0.85）
【答案】
解：设新购买的纯电动汽车毎行驶1 T米所需的屯费为％元. 由砒.得牛嵌•
解得X =0. 18・
经检験.x=0. 18是原方程的解，且符合題意.
答：新购买的纯电动汽午每行驶1千米所需的电费为0. 18元.
【说明】本题上要再査将实际问題转化为数宁问题，构建恰当的方程模用.求解并
进•步解决实际问题，考査模电思患与应用意识.
24. （2014 年第19 题.难#0.69）
【答案】
⑴证明:/ BF是厶ABC的平分线.
乙ABF =厶EBF.
・•・ AD//BC,
.・.乙AFB =厶ERF.
Z.AFH =乙ABF.
・•・ AB-AF.
同理AB = BE.
•・•四边形ABEF是屮行四边形.
v AB =/4A t
/.四边形ABEF是菱形.
（2）解：过点"作％丄仞于点G,如图•
•••曲边形ABEF疋菱形.乙ABC =60°,
94
・・・^ABE足等边三角形.
V .45 =4,
.-..4£=A£?=4.
•・•・4P =斗AE = 2.
在RtZUGP 中，可求乙/<46 = 60°.
/. AC = AP• cos60° = 19
GP^AP• siii60°=A.
•.・.4〃=6,
DC =5.
Inn Z_ADP =^.
【说明】本题卞要考査特殊半行四边形的判足、锐角二角更数和解直角二角形的有关知识，考査儿何玄观、推理能力和运算能力.
25・(2014 年笫20 题.难JJE 0.60)
【答案】
(1) 66.0.
(2) 5.00±0.02.
(3)7500 ±30.
【说明】本题主要考査根据实际问题所提供能统计图衣进行阅读、分析，提取有效信息.并根据问题的背母选择恰当的统II 51对数据进行处理，
进一步运用有关数据对问题作出预测•考査数据分析观念.
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26. (2014 年第21 题.难度0.60)
【答案】
(1)证明：连接BC.
•••人〃是的宜径，
•••乙ACB = 90°.
•••C是店的中点，
•・• AC = BC.
:.AC = BC.
・•・乙CAB = MBA =45°.
••• HD^QO的切线，
・••乙ABD二90。

・
可证乙CBD二乙1)=45。

.
・•・ BC = CD.
••• AC = CD.
(2)解：连接OC.
••• OA = OC9
••・ ZJ)CA 二乙CAB=45°・
•・• r COE =90°.
•・•£是08的中点.
・•・ OE^UE.
•••厶CEO 二"EB.
•・• RibCOEqRi^FBE.
・•・ BF = OC.
••• 08=2.
••• BF =2.
96
由勾股定理.得A"2怎
97
AB • BF
【说明】本题卞箜考杳圆的有关性质、切线的性质、全等二角形的性质与判定和勾股定理•若査儿何直观、推理能力和运算能力.
27・（调研题）
【答案】
小芸的说祛正确.
证明：过点O作0C丄PM.交PM的延长线于点C.
过点O作0D丄P他交PV的延长线于点乩如图.
•・• ZC=乙0=903
•••乙PM4 =乙PA7?=60°,
・・・乙PMO二乙PNO = \22.
••• OM = ON.
:.△COWMDOV.
・・• OC = OD.
••• PO平分^CPD.
:.厶CPO= LDPO.
••• LMOP =乙NUP.
.・.m OP足"os的平分线
【说明】本題索材来源于人教版八年级卜•“角¥分线性质”的课后习题•主要考
査对全等三角形判逹方法的理解和角平分线的判定. 兀他证法：
证明：连接眦如图.
•・• OM = ()N9••• L OMN = L ONM.
98
依題可知乙/IMP二乙〃AP=60。

.
••• Z.OA/P= Z05P = 120°.
••• L PMN = Z PNM.
・•• PM = PN.
••• △POMMPOV.
・•• LPOM- LPON.
:.射线OP是"08的平分线.
28.（2014 年第22 题.难度0. 49）
【答案】
解：乙.4CE的度数为75。

，AC^K为3 •
解决冋題: 过点D作DF//AB交AC于点八如图.
AB
：Ff) ••・仙=2 71
・••乙DFE 二厶BAC =90。

.小BEs^FDE.
BE AE AB
・•• FD弋、\D = 2尽
••・ Z.4DC =75°,
・・•厶ACD=75H
AC = AD = 2 >/3.
在RtZMBC中.由勾股定理可得BC = 2風
99
【说明】本魅主婴彩査相似三角形的性质,j判定、勾股定理和等稷三角形的有关知识，考隹学习和运用新方広解决问题的过程，考資类比迁移的
能力.
29.(2013 年第23 题，难度0.46)
【答案】
解：(1)当"0时•尸-2.
•••点A的坐标为(0・・2). 将y =加-
2mx - 2配方，得y-m(x - 1 )2 -m -2.
•••抛物线的对称轴为玄线"1.
・••点B的坐标为(1, 0). ~
(2)由题意.点4关于应线的对称点的坐标为
(2,・2). 设虫线Z的解析式为y*+b.
•.•点(1. 0)和(2,・2)在宜线2上，
『0 =上 + 6, rA = -2.
••・解得
1-2=216. 16=2.
/.宜线 < 的解析式为-2x+2.
(3)由题意可知.抛物线关干左线工“对称.山线4B和立线/也关于玄
线力=1对称.
•・•抛物线tH2<x<3这•段位于直线.仞的下方.
•••抛物线在-1 <x<0这段位于恵线/的下方. 又•••抛物线
在・2<x<这一段位于左线2的上方，
.•・抛物线与立线I的-•个交点的横坐标为-1.
・•・由比线/的解析式y =・2x f 2可得这个点的坐标为(一1,
4)・
100
•••抛物线-2mx-2 经过点（-1,4）,
••・所朮抛物线的解析式为y=2x2-4.t-2.
【说明】本题主婴考传一次断数与二次函数能概念、图象与性质, 一次圉数与力程、不尊式的关系.考査化归与转化、数形结合的数学思患.考杳灵活运川
西数的图線、性质分析和解决问题的能力.
3(). (2014 年第24 題.难度0.27)
【答案】
(1)补全图形•如图I所示.
(2)解：连接朋・如图2.
•••点E与点"关于直线AP对
称. . . AE^ AB,乙嵐4P=Z_B4P =
2O°・:AB = AD.乙BAD =90。

,
・•• AE=AD.
•••乙AED =乙ADF.
••• 2"〃F 4 40°+90° = 180。

.
・・• Z4DF=25C
.
图1
图2
101
（3）AB"驭H）满足的数量关系：FE2十
证明：连接Bb\ BD、设处交仙于点G,如图3.
•・•点E与点〃关于直线"对称.
・•./»£ = 4^, FE = FR
可证得乙砒M = LFBA.
••• AR^AD.
.*. AE = AD.
・•• LADE =乙AED・
••• LADE = Z/iKE
又•・•厶DG2乙AGB,
•••乙DFB 二厶BAD 二90°・
••• FB2十耐二RD2.
••• BD2 =24fl\
.•・ FE2 +FD2 =2.4^.
【说明】本题是-•道以rt线形中的从本图形为载体的探究题.主耍考査星木几何作图、轴对称变换、iE方形和直角二角形的右关®识.考査运用
图形变换分析图形中基本駅之问的位置关系和数爪关系的探究过程，
考査儿何宜观、推理能力、分析和创逍性解决何越於能力.
31.（2012 年第25 题.难度0. 17）
【答案】
解：（1）①点3的坐标是（0, 2）或（0.・2）；（写出一个答案即可）
②点人与点〃的“非常距离"的星小值是y •
102
(2)①过点C作％轴的垂线，过点0
作)轴的垂线.两条垂线交于点仏连
结G).
如图I.当点C在点D的
左上方且使△CWO是
等按貢角三角形时•点C
与点D的“非常距勇”最小理由如下: 记此时点C所在位置
的坐标为(*°,詁。

・3).
当点Q的横坐标大于％时，线段CM的长度变大. 由J：点C与
点〃的“非常距离”是线段CM与线段MD氏度的较大值，所以
点C与点D的“非常距离“ 变大；卅点C的横坐标小于％时，线
段M〃的长度变人，点C与点〃的“非常距离”变人.所以当点
C的横坐标等于*。

时•点C与点〃的“非常距离” 最小.
CW = yx0+3-l , Ml) = -g CM =
••・ Y X O *3 - 1 二-心
解得*0 =
.••点C的坐标是(-y, y).
Q
••• CM = MD =
・••当点C的坐标是（■养y）时，点C与点/）的
“非谢距离”最小.最小
②如图2,对J9O上的毎一个给定的点E,过点E作y轴的垂线，过点
C作x轴的垂线，两条垂线交F 点N,连结更由①町知，当点C
103
运动到点E的左卜•方且使MNE是等腰宜角三角形时，点C与
点E的“非常距最小•当点E在00上运动时.求这些嚴小“非
常距离”中的虽小值.只需使CE的K度嚴/卜因此•将
li^y=^x+3沿图中所示由点C到点E的方向平移到第一次与OO
有公共点，即与OO住第二象限内相切的位置时，切点即为所求点
E.
图2
作EP丄才轴于点P.设宜线y =扌龙+ 3与x轴.y轴
分别交于点"，C.
可求得"0=4. 60=3. CH = 5.
可证NGH0.
•住二世竺
•GO^HO^GH9
OP EP 1
•3 _ 4 _ 5*
3 4
•OP#，EP岭
•点E的坐标是（--|-,斗）•
设点C的坐标为（牝，yx c+3）.
104
解得牝=--|~.
Q Q
・•.点C的坐标是（-y, y）.
:.CN = NE = \.
・•・当点C的坐标是（・辛・昔），点E的坐标是（■丰・*）时，点C与点E曲“非常距离”嚴小, 最小偵是I.
【说明】本題是一逍在新泄义背景下的综合题.从运动与变化的角度观察图形、分析问题.发现问題间的区别和联系. 创造件地解决问题.主燮考隹数
形鰭合、类比与归纳的数学思想力•法，考隹抽象概拈能力、发现问
题并创造性解决问题的能力.
32.(2014 年第25 题.难度0. 18)
【答案】
解：(1) y = y(x>0)不是有界网数；
y = x + 1( -4<x^2)是有界阪数.边界值是3.
(2)对于函数y = -乂+ l(aWxW6・ 6 >a),
••• y随*的增人而减小，
••・y的最大值是・“丨，y的呆小值是-6 + 1.
•••函数的最大值是2.
/. a = - 1.
乂••・函数的边界値是2,
:、■ 6 * 丨M ■ 2・
・•・bw3・
••■ - 1 <6w3・
105
4
106
(3) 由题意.两数平移后的表达式
为 y = -I W/n. mMO)・
当兀=-1 口寸.)=I - m ；当戈=0 时■ y = -m ； 当 r 匸 m 0寸，y = m 2 - m.
根据二次函数的对称性，
当 0W/nWl 时，1 - m ；
当 /n > 1 时.1 - m < m : - m.
①当0WmW*时• I .
由题意，边界值t = I - m.
7 • i
当FWVI 时.OW/nM*.
4 4。