高中数学 第二章2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式目标导学 北师大版必修2

1.5 平面直角坐标系中的距离公式学习目标重点难点
1.掌握直角坐标系中两点间的距离公式，用坐标法证明简单的几何问题．
2．理解点到直线的距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式．
3．能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离.
重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式．
难点：用坐标法证明简单的几何问题时坐标系的建立．
疑点：在用点到直线的距离公式时直线方程必须化为一般式.
1．两点间的距离公式
若两点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝x 2－x 12
＋y 2－y 1
2
.
预习交流1
(1)已知A (3,7)，B (2,5)，则A ，B 两点间的距离为__________；
(2)已知点A (－1,3)，B (2，a )之间的距离是13，则实数a 的值为__________． 提示：(1) 5 (2)1或5 2．点到直线的距离公式
点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋B
2
. 预习交流2
(1)使用点到直线的距离公式对直线的方程有何要求？
提示：要求直线的方程为一般式，若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(2)点(6，－3)到x 轴的距离为________；到y 轴的距离为________；到直线y ＝－x 的距离为________；到直线x ＋2y －5＝0的距离为________．
提示：3 6
32
2
5
3．两条平行线间的距离公式
两条平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离为d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
.
预习交流3
(1)使用两条平行线间的距离公式的前提条件是什么？ 提示：①把直线方程化为直线的一般式方程； ②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．
(2)直线3x －y ＋2＝0与3x －y ＋3＝0之间的距离是______． 提示：
1010
1．两点间的距离公式及应用
已知A(－7,0)，B(－3，－2)，C(1,6)．
(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的外心的坐标．
思路分析：要判断△ABC 的形状，可从两点间的距离公式入手求出|AB |，|BC |，|AC |的长，再加以判断．解：(1)因为|AB |＝－7＋3
2
＋22
＝20，
|BC |＝1＋32＋6＋22
＝80，
|AC |＝1＋72＋62
＝100，
所以|AB |2＋|BC |2＝|AC |2
.
所以△ABC 是以角B 为直角的直角三角形． (2)因为△ABC 为直角三角形， 所以其外心为斜边AC 的中点，
其坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫1－72，6＋02，即(－3,3)．
已知点A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)，
(1)试判断△ABC 的形状；
(2)求AB 边上的中线CM 的长．
解：(1)|AB |＝1－52
＋4－52
＝17，
|AC |＝4－52＋1－52
＝17，
|BC |＝4－12＋1－42
＝18，
∵|AB |＝|AC |≠|BC |，∴△ABC 为等腰三角形．
(2)M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，92，|CM |＝4－3
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－922
＝532.
1.对于任意两点，只要给出两点的坐
标，就可利用公式求出两点间的距离．
2．探讨三角形的形状时，可以利用边长的关系，有时也可以利用角的关系，对于特殊的图形，其一些特殊性质也应加强记忆与应用．
2．点到直线的距离公式及应用
求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
思路分析：先将直线方程化成一般式，再利用点到直线的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合．
解：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝|1－2－3|
12＋－12
＝2 2.
(2)方法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式得
d2＝|2＋1|
02＋12
＝3.
方法二：如图，∵y ＝－1平行于x 轴， ∴d 2＝|－1－2|＝3.
(3)方法一：y 轴的方程为x ＝0，由点到直线的距离公式得d 3＝|1＋0＋0|
12＋0
2
＝1. 方法二：如图可知，d 3＝|1－0|＝1.
1．点A (a,6)到直线3x －4y ＝2的距离等于4，求a 的值．
解：由点到直线的距离公式，可得关于a 的方程：|3a －4×6－2|
32＋－42
＝4， |3a －26|＝20，解得a ＝2或a ＝46
3
.
2．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，求P 点的坐标． 解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|
2＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2，
y 0＝－1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝1，
y 0＝2.
所以点P 的坐标为(2，－1)或(1,2)．
求点到直线的距离，要注意公式的条
件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．
3．两条平行直线间的距离公式及应用
(1)求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离； (2)直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．
解：(1)直线l 1，l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0，
则两平行线间的距离d ＝|－10－－15|32＋4
2
＝5
5＝1. (2)由中点在x ＋y －3＝0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x －y ＝0上，
解方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －3＝0，x －y ＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝32
，
y ＝3
2，
∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 由直线l 过点(2,4)和点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32， 易得直线l 的方程为5x －y －6＝0.
求下列直线方程：
(1)与两条平行线l 1：3x ＋2y －6＝0，l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线； (2)与直线l 1：3x －4y －20＝0平行且距离为3的直线．
解：(1)设所求直线为3x ＋2y ＋C ＝0，由题意得|C ＋6|32＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪C ＋3232＋22，得C ＝－15
4.∴3x ＋
2y －15
4
＝0，即12x ＋8y －15＝0为所求方程．
(2)设所求直线为3x －4y ＋C ＝0，由|C ＋20|32
＋－4
2
＝3得C ＝－5或－35.故所求直线方
程为3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0.
在应用两平行线间的距离公式d ＝
|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
时要注意：(1)两直线的方程必须是一般式；(2)两直线的方程中x ，y 的系数必须要对应相等，不相等的一定要化为相等．
1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )． A ．1 B. 3 C ．2
D. 5 解析：d ＝|0＋2×0－5|12＋22
＝5
5
＝ 5. 答案：D
2．直线x 4－y 6＝1与y ＝3
2
x ＋1之间的距离为( )．
A.41313
B.141313
C.
132
D ．24
解析：两直线方程可化为：3x －2y －12＝0与3x －2y ＋2＝0，∴d ＝|－12－2|32
＋－2
2
＝
1413
13
. 答案：B
3．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( )． A. 3
B ．－ 3
C ．－
3
3
D.3或－
33
解析：由
|3＋3m －4|12
＋
3
2
＝1，
即
|3m －1|2＝1得m ＝3或－3
3
. 答案：D
4．已知点A (－3，a )，B (0,1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是_____．
解析：|AB |＝3＋a －12
，当a ＝1时，|AB |min ＝ 3. 答案： 3
5．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.
(1)求直线l 的方程；
11 (2)若直线m 与直线l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，
得y －5＝－3
4(x ＋2)，
整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.
(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式，
得|3×－2＋4×5＋C |
32＋42＝3，
即|14＋C |
5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，
故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.。