数学归纳法经典例题及答案(K12教育文档)

数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)
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数学归纳法（2016.4.21）
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1)证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．
综合(1）、(2)，……
注意:数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论。

二、题型归纳:
题型1。

证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明:
()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边3
1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：
()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．
()()()()32121121217
51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()
3212112++++=k k k k ()()()()()()
321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1
121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2。

证明不等式
例2．证明不等式n n 21
31
21
1<++++ （n ∈N)．
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n =k 时，不等式成立,即k k 2131211<++++
．
那么当n =k +1时,
11
1
31
21
1++++++k k 1
1
1211
2+++=++<k k k k k ()()
1211211
1+=++=++++<k k k k k k
这就是说,当n =k +1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．
说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是
121113
1
21
1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后,就是要证明： 1211
2+<++k k k ．
认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型3。

证明数列问题
例3 (x＋1）n＝a0＋a1(x－1)＋a2（x－1)2＋a3(x－1）3＋…＋a n(x－1)n(n≥2,n∈N＊)．
(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
（2）设b n＝错误!，T n＝b2＋b3＋b4＋…＋b n。

试用数学归纳法证明：当n≥2时，T n＝错误!.
解：（1）当n＝5时，
原等式变为（x＋1)5＝a0＋a1(x－1）＋a2(x－1)2＋a3（x－1)3＋a4（x－1)4＋a5(x－1）5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243。

(2）因为（x＋1)n＝［2＋（x－1）]n,所以a2＝C n2·2n－2
b n＝错误!＝2C n2＝n（n－1)（n≥2)
①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，
右边＝错误!＝2，左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*)时,等式成立，
即T k＝错误!成立
那么，当n＝k＋1时，
左边＝T k＋b k＋1＝错误!＋（k＋1）［(k＋1）－1]＝错误!＋k（k＋1)
＝k（k＋1)错误!＝错误!
＝错误!＝右边．
故当n＝k＋1时，等式成立．
综上①②,当n≥2时，T n＝错误!。