(好题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）
A ．54°
B ．36°
C ．28°
D ．72° 2．正方形具有而矩形没有的性质是（ ） A ．对角线互相平分
B ．每条对角线平分一组对角
C ．对角线相等
D ．对边相等
3．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（ ）
A ．12
B ．53
C ．25
D ．13
4．如图，在矩形ABCD 中，23,4AB BC ==，E 为BC 的中点，连接,,,AE DE P Q 分别是,AE DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ ∆的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）
A ．4
B ．23
C ．2
D ．1
6．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；
③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．30
B ．20
C ．15
D ．12
8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，EF ⊥CD 于点F ，则EF 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．125 9．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，A
E ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
10．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）
A ．2622-
B ．62-
C ．6
D ．2
11．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A ．n
B ．n －1
C ．（14）n －1
D ．14
n 12．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =AF 的长是（ ）
A ．6
B ．7
C ．3
D ．5
二、填空题
13．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．
14．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为______．
15．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，正方形ADOF 的面积为4， CF ＝6，则BD 的长是_______．
16．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 17．如图，四边形ABCD 中，30,120B D ∠=︒∠=︒，且,6AB AC AD CD ⊥+=，则四边形ABCD 周长的最小值是_______________________．
18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF
=_________．
19．如图，在矩形ABCD 纸片中，点E 是BC 边的中点，沿直线AE 折叠，点B 落在矩形内部的点B '处，连接AB '并延长交CD 于点F ．已知4CF =，5DF =，则AD 的长为__________．
20．如图，在正方形ABCD 中，已知2AB =，点,E G 分别是边,AD CD 的中点，点F 是边BC 上的动点，连接EF ，将正方形ABCD 沿EF 折叠，,A B 的对应点分别为,A B ''，则线段GB '的最小值是_____．
三、解答题
21．我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．
（初步思考）
（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；
（深入思考）
（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；
（回顾反思）
（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；
（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．
22．△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D；
（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．
23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．
（1）若点D 在线段BC 上，如图（1），判断：线段BC 与线段CG 的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图（2），
①若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中判断线段BC 与线段CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当G 为CF 中点，BC ＝2时，求线段AD 的长．
24．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE BF =，AC EF ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．
25．如图，ABC ∆在坐标系的网格中，且三点均在格点上．
（1）C 点的坐标为 ；
（2）作ABC ∆关于y 轴的对称三角形111A B C ∆；
（3）取11B C 的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长为 ．
26．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分
∠COB，CF⊥OF于点F．求证：四边形CDOF是矩形．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=72°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∠DAC=36°．
∴∠EAF=1
2
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-36°=54°，
∴∠α=54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
解析：B
【分析】
首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．
【详解】
解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，
B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，
C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，
D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．
3．B
解析：B
【分析】
先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
解得x＝4
3
，
∴DE＝3﹣x＝5
3
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
解析：C
【分析】
过点P 作PH ED ⊥于点H ，用勾股定理求出AE=DE=4，可得ADE ∆为等边三角形，用x 表示出PE 和EQ 的长，在Rt PEH 中利用三角函数用含x 的式子表示出PH 的长，再利用12
S EQ PH =
⋅△PEQ 可列出y 与x 的函数关系，在结合二次函数性质即可解答． 【详解】
∵4BC =，E 为BC 的中点，∴2BE =．
在Rt ABE ∆中，23,2AB BE ==，则4AE =，
同理可得4ED AE AD ===，
故ADE ∆为等边三角形，则60AED ︒∠=， ∵PE QD x ==，∴4QE x =-，
如图，在PQE ∆中，过点P 作PH ED ⊥于点H ．
3·sin ?sin 60PH PE AED x x =∠=︒=
， ∴()21133432224
y PH EQ x x x x ==⨯⨯-=-+ 因此该函数的图象为开口向下的抛物线，当32232b x a =-==-⨯时，y 有最大值3．
故选C ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数解直角三角形，二次函数的性质，解题关键是用含x 的式子表示出PQE ∆的底和高，列出y 与x 的函数关系． 5．C
解析：C
【分析】
过F 作FQ ⊥BC 于Q ，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE ＝2，∠BED ＝60°，∠DEF ＝90°，EF ＝2，求出∠FEQ ，求出CE 和FQ ，即可求出答案．
【详解】
过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC−BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°−60°−90°＝30°，
∴QF＝1
2
EF＝1，
∴△EFC的面积=1
2×CE×FQ＝
1
2
×4×1＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
证明△BCE≌△CDF可判断①；利用△BCE≌△CDF可得S△BCE=S△CDF，从而可判断②；证
明△BCG∽△CEG得CG GE
BG CG
=，可判断③；过D作DM⊥FG于M，证明MD=MG即可判
断④，从而可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD，∠BCE=∠CDF
又CE=DF
∴△BCE≌△CDF
∴BE CF
=，故①正确；
②∵△BCE ≌△CDF
∴S △BCE =S △CDF ，
∴S △BCE -S △CGE =S △CDF -S △CG ，
∴BCG DFGE S S ∆=四边形；
③∵△BCE ≌△CDF
∴∠CBE=∠FCD
∵∠BCG+90GCE ∠=︒，
∴∠90BCG CBG +∠=︒
∴∠90BGC =︒
又∵∠BGC=∠CGE=90°，∠GBC=∠GCE
∴△BCG ∽△CEG ∴CG GE BG CG
=, ∴2CG BG GE =⋅，故③正确；
④过D 作DM ⊥FG 于M ，如图所示，
设DF=a ，则AD=2a
∵CE=DF ∴225BE BC CE a =+=
利用面积法可得
1122BC CE BE CG = ∴255CG a = 同理可得，255
DM a = ∴225FM DF DM =-=
∴255
a ∴MD=MG
∵∠DMG=90° ∴45FGD ∠=︒，故④正确
∴正确的结论有4个，
【点睛】
此题主要考查了运用正方形的有关性质进行讲明和求解，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，4AO =，3BO =，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，118422AO AC =
=⨯=，116322
BO BD ==⨯=； 在直角△ABO 中，由勾股定理，得 22435AB ,
∴菱形的周长为：4520⨯=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题． 8．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理得出AB ，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
∴10AB =，
∵D 是AB 的中点，
∴BD=DC=AD=5，1116812222BDC BAC S
S ==⨯⨯⨯=， 连接DE ，
∵E 是BC 的中点，
∴162DEC BDC S
S ==， ∵115622
DEC S DC EF EF ==⨯⨯= ∴125
EF =
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB ，进而利用直角三角形的性质解答．
9．B
解析：B
【分析】
延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．
【详解】
解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，
∵AE BC ⊥，
∴90AEC AEB ∠=∠=︒，
∵AF CD ⊥，
∴90AFC ∠=︒，
∵90C ∠=︒，
∴四边形AECF 是矩形，
∴90EAF ∠=︒，
∵BAD EAF ∠=∠，
∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，
在ABE △和ADF 中，
BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABE ADF AAS ≅，
∴AE AF =，
∴四边形AECF 是正方形，
∵ABE ADF S S ，
∴216ABCD AECF S S AE ===．
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
10．B
解析：B
【分析】
根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
∵ABC 是等腰直角三角形，2AB =
∴90ABC ∠=︒，
∴45A ACB ∠=∠=︒，
∴2AB BC == ，
∴
AC =
=
∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点， ∴
AD CD BD ===
90BDC ∠=︒， ∵30E ∠=︒， ∴
2BE BD == ，
∴
DE == ∴CE DE CD =-=
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解． 11．B
解析：B
【分析】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA ），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的
14
，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n -1）个阴影部分的和，即可求解．
如图作正方形边的垂线，
由ASA 可知同正方形中两三角形全等， 利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的
14 ， 即是12214
⨯⨯=， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()111n n ⨯-=-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 12．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
∵AB ⊥AF ，
∴∠FAB=90°，
∵点D 是BC 的中点，
∴AD=BD=
12
BC=4， ∴∠DAB=∠B ， ∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B ，
∵∠AEB=2∠B ，
∴∠AED=∠ADE ，
∴AE=AD ，
∴AE=AD=4，
∵7，EF ⊥AF ，
∴()222247AE EF -=-=3，
故选：C ．
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
13．2【分析】连接BP 根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝AB•PE ＋BC•PE 把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形
解析：2
【分析】
连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12
BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】
解：连接BP ，
∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2
∴AB ＝BC ＝
14
×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝
12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12
×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×
23
＝2（cm ）， 故答案为：2．
【点睛】 此题考查菱形的性质，S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABC ＝
12ABCD
S 菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
14．【分析】如图作AF ⊥x 轴于FCE ⊥x 轴于E 先证明△COE ≌△OAF 推出CE ＝OFOE ＝AF 由此即可解决问题【详解】解：如图作AF ⊥x 轴于FCE ⊥x 轴于E ∵四边形ABCO 是正方形∴OA ＝OC ∠AOC ＝ 解析：()3,1
-
【分析】
如图作AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ，先证明△COE ≌△OAF ，推出CE ＝OF ，OE ＝AF ，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图作AF ⊥x 轴于F ，CE ⊥x 轴于E ．
∵四边形ABCO 是正方形，
∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，
∵∠COE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠OAF ＝90°，
∴∠COE ＝∠OAF ，
在△COE 和△OAF 中，
CEO AFO COE OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COE ≌△OAF ， ∴CE ＝OF ，OE ＝AF ，
∵A （13
∴CE ＝OF ＝1，OE ＝AF 3
∴点C 坐标(
)3,1-， 故答案为：()3,1-
．
【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．4【分析】根据正方形的性质可得AD=AF=2设BD=x 由全等三角形的性质可得CE=6BC=6+x 然后根据勾股定理可以求得BD 的长【详解】解：∵正方形ADOF 的面积为4∴AD=AF=2设BD=x 则AB
解析：4
【分析】
根据正方形的性质可得AD=AF=2，设BD=x，由全等三角形的性质可得CE=6，BC=6+x，然后根据勾股定理可以求得BD的长．
【详解】
解：∵正方形ADOF的面积为4，
∴AD=AF=2，
设BD=x，则AB=x+2，
∵△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD=BE，CF=CE，
∴CE=6，BC=6+x，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴ (x+2)2+82=(x+6)2，
解得，x=4，
即BD=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设
解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）
【分析】
命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
【详解】
解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，
逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，
故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
17．【分析】延长AD至点E使得连接CE过点C作证明△CDE为等边三角形分别求出四边形ABCD的边长判断即可；【详解】如图所示延长AD至点E使得连接CE过点C作∵∴又∵∴△CDE为等边三角形∴设则∵∴则∴
解析：15
【分析】
延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，证明△CDE 为等边三角形，分别求出四边形ABCD 的边长判断即可；
【详解】
如图所示，延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，
∵120ADC =∠︒，
∴180********EDC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
又∵DE CD =，
∴△CDE 为等边三角形，
∴CD DE CE ==，60E ∠=︒，
设CE x =，则CD DE x ==，
∵CH DE ⊥，
∴9030ECH E ∠=︒-∠=︒， 则1122
EH CE x ==， ∴=+-=+-
=-11622AH AD DE EH AD CD x x ， 22221342CH CE EH x x x =
-=-=， ∴()⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭2
2
2221363273324AC AH CH x x x ， ∴当3x =时，AC 取得最小值为3
3 此时，3AD CD x ===，
∵AB AC ⊥，
∴90BAC =︒，
又30B ∠=︒， ∴12
AC BC =，即2BC AC =，
AB ===，
∴四边形ABCD 周长AD CD AB BC
=+++， ()
2AD CD AC =++
+， ))
626215AC =++≥++⨯=+；
∴四边形ABCD 的最小值为15+
故答案是15+
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩 解析：25
【分析】
由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．
【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，
AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，
ADG AGD ∴∠=∠，
又CDB CAB ∠=∠，
CMF CAB DGA ∠=∠+∠，
CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，
又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，
90BDF CMF ∴∠+∠=︒，
90CMF F ∠+∠=︒，
BDF F ∴∠=∠，
BF BD ∴=，
AC BF ∴=，
6AB CD ==，3AD BC ==， 226335BF AC ∴==+=，
1122ABC S AC BE AB BC ∆=
=， 355BE ∴==，
∴255
35BE BF ==， 故答案为：25
．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
19．【分析】连接EF 根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL 证出Rt △≌Rt △FCE 从而求出即可求出AF 最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连
解析：12
【分析】
连接EF ，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°，利用HL 证出Rt △FB E '≌Rt △FCE ，从而求出B F '，即可求出AF ，最后利用勾股定理即可求出结论．
【详解】
解：连接EF ，
∵4CF =，5DF =，
∴CD=CF ＋DF=9
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°
由折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°
∴FB E '∠=90°=∠C
∵点E 为BC 的中点
∴BE=CE
∴B E CE '=
在Rt △FB E '和Rt △FCE 中
B E CE EF EF '=⎧⎨=⎩
∴Rt △FB E '≌Rt △FCE
∴4B F CF '==
∴AF=AB '＋B F '=13
在Rt △AFD 中，AD=22AF DF -=12
故答案为：12．
【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL 判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键． 20．【分析】如图连接EGEB′求出EGEB′的长可以判定点B′在EG 的延长线上时GB′的值最小最小值=即可解决问题【详解】解：如图连接EGEB′∵四边形ABCD 是正方形∴∠A=∠D=90°AD=DC=A
解析：52-
【分析】
如图，连接EG ，EB ′．求出EG ，EB ′的长，可以判定点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值=52-
，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接EG ，EB ′，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A =∠D =90°，AD =DC =AB =2，
∵AE =DE =1，DG =GC =1，
∴EG = 22DE DG +=2211+=2，
由翻折的性质可知，∠A ′=∠A =90°，A ′E =AE =1，A ′B ′=AB =2，
∴EB ′=22'''A E A B +=2212+ =5，
∴当点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值=52-
， 故答案为52-
．
【点睛】 本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析
【分析】
（1）先作直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（2）先作AD ⊥BC 于D ，然后在DC 上取点F ，使AF=FC ，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（3）先作AD ⊥BC 于D ，然后在AD 上取点F ，使AF=FC ，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（4）作∠BAD ，使∠BAD=∠B ，同时使∠DAC 为90°时，可得到∠B 和∠C 的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；作∠CAD ，使∠CAD=∠C ，同时使∠ADC 为90°时，可得到∠B 和∠C 的大小，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：（1）如图①，过A 作AD ⊥BC 于D ，分别取AB 中点E ，AC 中点F ，连接ED ，DF ，
EB ＝ED ，EA ＝ED ，FA ＝FD ，FC ＝FD ；
（2）如图②，过A 作AD ⊥BC 于D ，取AB 中点E ，在DC 上取点F 使AF=FC ，取AF 的中点G ，连接ED ，DG ，
EB ＝ED ，EA ＝ED ，FA ＝FC ，GA ＝GD ，GF ＝GD ；
（3）如图③，过A 作AD ⊥BC 于D ，取AB 中点E ，在AD 上取点F 使AF=FC ，取CF 的中
点G，连接ED，DG，
EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GF＝GD，GC＝GD；
（4）第一种分割方案如图④，
DA＝DB，EA＝ED，EA＝EC；
第二种分割方案如图⑤
DA＝DC，EB＝ED，EA＝ED．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，找到两边相等或两角相等是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）四边形A1BCE是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，
∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°-50=130º，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-50=130º，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转50度到△A1BC1的位置，
∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
111
A C A
B BC
A BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；
（2）四边形A 1BCE 是菱形，
理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，
∴∠A 1=∠A ，
∵∠ADE=∠A 1DB ，
∴∠AED=∠A 1BD=50º，
∴∠DEC=180°-50º=130º，
∵∠C=50º，
∴∠A 1=50º，
∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º，
∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，
∴四边形A 1BCE 是平行四边形，
∴A 1B=BC ，
∴四边形A 1BCE 是菱形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
23．（1）BC ＝BG ，BC ⊥BG ；（2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；
【分析】
（1）由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，然后问题可求解；
（2）①由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，则问题可求解；
②过点A 作AM ⊥BD 于M ，由题意易得AM ＝12
BC ＝1，CG ＝2，由①△ABD ≌△ACF ，则有BD ＝CF ，进而可得BD ＝CF ＝4，DM ＝BD ﹣AM ＝3，最后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠ACB ＝∠B ＝45°，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，
∴∠CAF ＝90°﹣∠CAD ，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAD ＝90°﹣∠CAD ，
∴∠BAD ＝∠CAF ，
∵AB ＝AC ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠B CG＝90°，
∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，
∴BC＝BG，
故答案为：BC＝BG，BC⊥BG；
（2）①（1）中结论仍然成立，
理由：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF＝90°+∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠B CG＝90°，
∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，
∴BC＝BG；
②如图，
过点A作AM⊥BD于M，
∵BC＝2，△ABC是等腰直角三角形，
∴AM＝1
BC＝1，
2
∵BC＝CG，
∴CG＝2，
由①△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵点G是CF的中点，
∴CF＝2CG＝4，
∴BD＝CF＝4，
∴DM＝BD﹣AM＝3，
在Rt△AMD中，根据勾股定理得，AD．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
24．见详解
【分析】
先证明四边形AECF 是平行四边形，再结合AC EF ⊥，即可得到结论成立．
【详解】
证明：在平行四边形ABCD 中，有AD ∥BC ，AD=BC ，
∵DE BF =，
∴AD DE BC BF -=-，
∴AE CF =，
∵AD ∥BC ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC EF ⊥，
∴四边形AECF 是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
25．（1）（4，-2）；（2）作图见解析；（3）
52
． 【分析】
（1）根据图象可得C 点坐标；
（2）根据关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等描出三个顶点，再依次连接即可；
（3）先利用勾股定理逆定理证明111A B C ∆为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得A 1D ．
【详解】
解：（1）由图可知，C （4，-2）
故答案为：（4，-2）；
（2）111A B C ∆如图所示，
（3）由图可知，22222222211
1111125,2420,3425,A B A C C B ∴222111111A B A C C B ，
即111A B C ∆为直角三角形， ∴111152
2A D B C ． 故答案为：
52． 【点睛】
本题考查坐标与图形变化轴对称，勾股定理逆定理，直角三角形斜边上的中线．（3）中能证明三角形为直角三角形，并理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 26．见解析．
【分析】
利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD ⊥AC ，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF ⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．
【详解】
证明：∵OD 平分∠AOC ，OF 平分∠COB ，
∴∠AOC=2∠COD ，∠COB=2∠COF ，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，
∴∠DOF=90°；
∵OA=OC ，OD 平分∠AOC ，
∴OD ⊥AC ，AD=DC ，
∴∠CDO=90°，
∵CF ⊥OF ，
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF 是矩形
【点睛】
本题考查了矩形的判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．。