2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1章末综合测评1 含解析

章末综合测评（一) 常用逻辑用语
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题：①5＞4或4＞5;②9≥3；③命题“若a＞b，则a ＋c＞b＋c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为
( ）A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】①是p或q形式的命题，p真q假，故p或q为真命题；②是p或q形式的命题，同理为真命题;③否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对角形也相等．【答案】B
2．（2016·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是( )
A．圆有内接四边形
B.错误!＞错误!
C.错误!＜错误!
D．若三角形的三边长分别为3，4，5,则这个三角形为直角三角形
【解析】“圆有内接四边形”即为“任意圆都有内接四边形”故为全称命题．
【答案】A
3．下列特称命题中，是假命题的是（）
A．存在x0∈R,x错误!－2x0－3＝0
B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一直线
D．存在x0∈{x｜x是无理数}，使x错误!是有理数
【解析】对于A，当x＝－1时,x2－2x－3＝0，故A为真命题；对于B，当x＝6时，符合题目要求，为真命题；C为假命题;对于D,x＝错误!时,x2＝3，故D为真命题．
【答案】C
4．“a＝错误!”是“对任意的正数x，2x＋错误!≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当a＝错误!时，2x＋错误!＝2x＋错误!≥1，当且仅当x＝错误!时取“＝",故充分性成立,当2x＋错误!≥1对x∈R恒成立时,a≥（x－
2x2）max得a≥错误!，故必要性不成立．故选A.
【答案】A
5．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1,则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝A,则A⊆B”的逆否命题．其中真命题个数为
（) A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】①②④显然成立．③∵x2－2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝4－4m≥0，即m≤1。

所以③成立．
【答案】D
6．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( ）A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，
它的平方不是有理数"．
【答案】B
7．已知命题p：∅⊆{0｝,q:｛1，2｝∈{1,2,3｝,由p与q构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题中,真命题的个数为( ) A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】p是真命题，q是假命题，则“p或q”是真命题，“p且q”“非p"是假命题．故选B。

【答案】B
8．已知集合A＝错误!,B＝｛x∈R|－1＜x＜m＋1｝,若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( ) A．m≥2B．m≤2
C．m＞2 D．－2＜m＜2
【解析】A＝错误!＝错误!.
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴A⊆B，∴m＋1＞3，即m＞2。

【答案】C
9．（2016·海口高二检测）已知命题p：存在x0∈（－∞,0)，2x0〉3x0，命题q：任意x∈（0，1)，log2x＜0，则下列命题为真命题的是
（）
A．p且q B．p或（綈q）
C．（綈p）且q D．p且(綈q)
【解析】∵p为真,q为真，
∴綈p为假，綈p且q为假．
【答案】A
10．（2016·郑州二模）函数f(x）＝x｜x＋a｜＋b是奇函数的充要条件是( ）
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
【解析】∵f(x）为奇函数，且x∈R，∴f（0）＝0⇒b＝0。

又∵f(－x）＝－f（x），即－x|－x＋a|＝－x|x＋a|,即|x＋a｜＝|－x ＋a|,即｜x＋a｜＝|x－a|恒成立，∴a＝0.
综上可知a＝b＝0，即a2＋b2＝0，故选C.
【答案】C
11．下列叙述中正确的是（）
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0"
B．若a，b，c∈R,则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有
x2≥0”
D．l是一条直线,α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β,则α∥β
【解析】由b2－4ac≤0推不出ax2＋bx＋c≥0.这是因为a的符号不确定,故A不正确;当b2＝0时，由a＞c推不出ab2＞cb2，所以B 不正确;“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,使x错误!＜0”，所以C不正确．故选D。

【答案】D
12．(2015·陕西高考）“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0 "的（)
【导学号：32550018】A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【解析】先将cos 2α＝0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断．
cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α。

由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0,反之不成立，故选A.
【答案】A
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．（2016·许昌高二检测）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线"的逆否命题是________．
【解析】可以把原命题先逆再否,也可以先否再逆即可得到逆否命题．
【答案】圆的切线到圆心的距离等于半径
14．已知p（x）：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p（2)是真命题，则实数的取值范围是________．
【解析】p(1）:3－m＞0即m＜3，p（2）:8－m＞0，即m＜8,
若p（1）是假命题,p（2）是真命题则3≤m＜8。

【答案】［3,8）
15．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1＞0的解集是R；
②函数f（x）＝log m x是减函数,如果这两个命题有且只有一个真命题,则实数m的取值范围是________．
【解析】①关于x的不等式mx2＋1＞0的解集为R,则m≥0;
②函数f（x）＝log m x为减函数，则0＜m＜1.
①与②有且只有一个正确,则m的取值范围是m＝0或m≥1。

【答案】m＝0或m≥1
16．设p:（4x－3）2≤1；q：(x－a)（x－a－1）≤0，若p是q 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】p:错误!≤x≤1,q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴错误!∴0≤a≤错误!。

【答案】错误!
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:
【导学号：32550019】（1）若a＞b，则ac2＞bc2;
（2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac＜0，
则该二次函数的图像与x轴有公共点．
【解】(1)逆命题：若ac2＞bc2,则a＞b；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。

（2）逆命题:若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点,则b2－4ac＜0；
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0,则该二次函数图像与x轴没有公共点；
逆否命题:若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0。

18．(本小题满分12分)（2016·扬州高二检测）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除．
（2）任意x∈{x｜x＞0}，x＋错误!≥2.
（3)存在x0∈{x｜x∈Z｝，log 2x0＞2。

【解】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”因此是特称命题,真命题．
（2）命题中含全称量词“任意"，是全称命题,真命题．
（3)命题中含存在量词,是特称命题，真命题．
19．（本小题满分12分）已知p：三个数2x，错误!，错误!x成等比数列;q：三个数lg x，lg(x＋1），lg(x＋3)成等差数列，则p是q的什么条件？
【解】2x，错误!，错误!x成等比数列⇔错误!2＝2x错误!x⇔x＝1。

lg x，lg(x＋1），lg(x＋3）成等差数列⇔2lg(x＋1）＝lg x＋lg(x＋3）⇔
错误!⇔x＝1。

由以上可知p⇔q，故p是q的充要条件．
20．（本小题满分12分）已知三个方程：x2＋4mx－4m＋3＝0，x2＋(m－1）x＋m2＝0，x2＋2mx－2m＝0。

若这三个方程中至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围．
【解】设原命题的否定所对应m的范围为A，则原命题所求m的范围即为∁R A。

三个方程都没有实数根等价于
错误!⇔错误!⇔
A＝错误!⇔∁R A＝错误!∪[－1,＋∞)．
故实数m的取值范围为错误!∪[－1,＋∞）．
21．（本小题满分12分）已知c＞0，设命题p:函数y＝c x为减函数,命题q：当x∈错误!时，函数f(x）＝x＋错误!＞错误!恒成立．如果p 或q为真命题,p且q为假命题．求c的取值范围．
【解】由命题p知：0＜c＜1。

由命题q知：2≤x＋错误!≤错误!,
要使此式恒成立,则2＞1
c,即c＞错误!。

又由p或q为真,p且q为假知p、q必有一真一假，
当p 为真，q 为假时,0＜c ≤错误!.
当p 为假,q 为真时,c ≥1。

综上，c 的取值范围为错误!。

22．（本小题满分12分)已知函数f (x )＝4sin 2错误!－2错误!cos 2x －1，且给定条件p ：x ＜错误!或x ＞错误!，x ∈R .若条件q :－2＜f (x ）－m ＜2,
且綈p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
【解】 由条件q 可得错误!
∵綈p 是q 的充分条件,
∴在π4≤x ≤错误!的条件下,错误!恒成立．
又f （x ）＝2错误!－2错误!cos 2x －1
＝2sin 2x －2错误!cos 2x ＋1
＝4sin 错误!＋1，
由错误!≤x ≤错误!，知错误!≤2x －错误!≤错误!,
∴3≤4sin 错误!＋1≤5,
故当x ＝错误!时,f （x ）max ＝5,
当x ＝错误!时,f （x ）min ＝3。

∴只需错误!成立，即3＜m ＜5。

∴m 的取值范围是3＜m ＜5.。