2025届江苏省扬州市江都区大桥高中高三下学期联考数学试题含解析

2025届江苏省扬州市江都区大桥高中高三下学期联考数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “1
sin 2x =
”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知1
cos ,,3
2πααπ⎛⎫
=-∈
⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )
A B ． C ． D ．
13
3．已知(1,2)a =，(,3)b m m =+，(2,1)c m =--，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．7-
B ．3-
C ．3
D ．7
4．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
()5log 3f 的大小关系是（ ）
A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
C ．()()53
21log 3log log 55f f f ⎪<⎛
⎫
⎝⎭< D ．()()23
51log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫
⎝⎭
< 5．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++=
6．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使
得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：
π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
，根据该公式绘制出了估
计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则
x y
z
+=（ ） A ．52
-
B ．2-
C ．2
D ．
72
8．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)i =-（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
9．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．
12
B 5
C 5
D ．5
10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n α
β=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥
11．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a
B ．b ＝6a
C ．b ＝9a
D ．b ＝12a
12．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．3B 3C ．1-
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知圆柱的上下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
不喜欢 喜欢
男性青年观众 40 10 女性青年观众 30
80
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为______.
15．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与C 的交点为,A B ，若||||5AF BF +=，则直线l 的方程为___________．
16．如图，两个同心圆O 的半径分别为2和2，AB 为大圆O 的一条 直径，过点B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为M ，点P 为劣弧BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则()AM
BP CP +的最大值是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列和等比数列
满足：
(I )求数列和
的通项公式； (II )求数列
的前项和.
18．（12分）已知等比数列{}n a ,其公比1q >,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是1． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若n n b na =,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使1
2140n n T n +-⋅+=成立的正整数n 的值．
19．（12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3
2
e =，且短轴的一个端点B 与两焦点A ，C 组成
的三角形面积为3. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆O ：2
2
2
x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值.
20．（12分）椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点(
)
2,0F
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为
32.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形
OMAN 面积的最大值.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的的参数方程为2343x at
y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为
2sin 4cos ρθθ=.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点(
)
3,0P
作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求
11PD PE
-的值. 22．（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，12CC =，16AC =.
（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；
（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30，试确定点P 的位置.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
1sin 2x =
⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6
x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，
由1
sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+
∈， 即2()6
x k k Z ππ=+∈能推出1
sin 2x =，
但1
sin 2x =推不出2()6
x k k Z ππ=+∈
∴“1
sin 2x =”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件
故选B 【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 2、B 【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】
1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin 3
α∴===
()sin sin 3
παα∴+=-=-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 3、B 【解析】
由平行求出参数m ，再由数量积的坐标运算计算． 【详解】
由//a b ，得2(3)0m m -+=，则3m =，
(3,6)b =，(1,1)c =-，所以363b c ⋅=-=-．
故选：B ． 【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键． 4、D 【解析】
利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】
因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.
又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3
331log log 5log 55f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛
⎫ ⎝
⎭<.
故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题. 5、A
【解析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.
【详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2
2
AB
r ==
=， 圆方程为2
2
(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6、B 【解析】
初始：1k =，2T =，第一次循环：228
2 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；
第二次循环：844128
2.833545
T =⨯⨯=
>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 7、A 【解析】 由题意，可得2x z y +=，2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2
z y =-，代入即得解 【详解】
由x ，y ，z 成等差数列， 所以2
x z
y +=
，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，
所以2
20x x
z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，
因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，
所以2x z =-，此时2z
y =-， 所以15
222
x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8、A 【解析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i
===---. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 9、C 【解析】
试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－
1
2
，b ＝－1
所以|a ＋bi|2
=
，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 10、B 【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
对于A 选项，当αβ⊥，n α
β=，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥.
对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.
对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥. 对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥. 综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥” 故选：B 【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题. 11、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等. 【详解】
由3(21)ai b a i +=--，
得312b a a
=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝1．
∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题. 12、A 【解析】
投影即为cos a b b a
θ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量a 与向量b 的夹角为θ，
由题意，得331a b ⋅=-⨯+=-，()
312a =-+=，
所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23
cos 2
a b b a θ⋅-⋅==
=故选：A. 【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、54π 【解析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求. 【详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6
223654V r h πππ==⨯⨯=
故答案为：54π 【点睛】
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题. 14、32 【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【详解】
由题可知，抽取的比例为81
405=，被调查的总人数为40103080=160+++人， 则分层抽样的样本容量是1
160325
⨯=人.
故答案为：32 【点睛】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题. 15、220x y --= 【解析】
设直线l 的方程为2y x t =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线C 的方程，得到A ，B 点横坐标的关系式，代入到4AF BF +=中，解出t 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】
设直线()()1122:2,,,,l y x t A x y B x y =+． 由题设得()1,0F ，故122AF BF x x +=++，
由题设可得123x x +=．
由22,4y x t y x
=+⎧⎨=⎩可得()224410x t x t +-+=， 则121x x t +=-， 从而13t -=，得2t =-，
所以l 的方程为22y x =-,
故答案为：220x y --=
【点睛】
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 16、4108-
【解析】
以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，从而可得()2,0A -、()2,0B ，()1,1M ，()0,2C ，然后利用向量数量积的坐标运算可得()12cos 64sin 2AM BP CP θθ+=-+-，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
以O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，
建立平面直角坐标系，
则()2,0A -、()2,0B ，
由2,2OB OM ==，且OM BC ⊥，
所以45BOM ∠=，所以()1,1M ，即()3,1AM =
又OM 平分BC ，所以90BOC ∠=，则()0,2C ,
设()2cos ,2sin P θθ，
则()2cos 2,2sin BP θθ=-，()2cos ,2sin 2CP θθ=-，
所以()4cos 2,4sin 2BP CP θθ+=--，
所以()()12cos 64sin 214416sin 8AM BP CP θθθϕ+=-+-=++-
()410sin 8θϕ=+-，31sin ,cos 1010ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 所以()AM BP CP +的最大值是4108-.
故答案为：4108-
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (I )
，；(II )
【解析】
(I )直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II )
，利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】 (I ) ，故，
解得
，故，. (II )
，故
.
【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18、 (Ⅰ) 2n n a =.(Ⅱ) 3n =.
【解析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)2n n n b na n ==⋅，
由数列的错位相减法求和可得n T ，解方程可得所求值．
【详解】
(Ⅰ)等比数列{}n a ,其公比1>q ,且满足2312a a +=,2a 和4a 的等差中项是10
即有21112a q a q +=，3241120a a a q a q =+=+
解得：12a q == 2n n a ∴=
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：2n n n b na n ==⋅
则231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
相减可得：()
231121222222212n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-
化简可得：()1212n n T n +=+-⋅
12140n n T n +-⋅+=，即为11620n +-=
解得：3n =
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
19、（Ⅰ）2
214
x y +=；（Ⅱ）4. 【解析】
（Ⅰ）
结合已知可得2
c a =
，bc =a ，b 的值，即可得椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得2241m k =+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO S S ∆∆+，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出MON S ∆，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，整理后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：
（Ⅰ）可得2
c a =
，bc =222a b c =+， 解得2a =
，c =1b =，得椭圆方程2
214
x y +=； （Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+，
由2244
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=， 由()()222264164110k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+，
∵ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，
设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，
d =
MN ==
12MON S ∆=⨯==，
由224
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，212241
m x x k -⋅=+， ∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++
2222211km m k m k k ⎛⎫=-+=
⎪++⎝⎭
∴)121221||)221
MCO NAO m S S y y y y k ∆∆+=+=+=
+， ∴(
)ACMN MON NAO MCO S S S S ∆∆∆==
++而2241m k =+，22
14m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥，
四边形ACMN
的面积4314
S m m ===≤=++
当且仅当3m m
=，即m =“=”. ∴四边形ACMN 面积的最大值为4.
【点睛】
本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.
20、（1）22
186x y +（2）最大值26【解析】
（1）根据通径2
232b a
=2c = （2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM OAN OMAN S S S =+四边形，用含m 的式子表示出
OAM OAN OMAN S S S =+四边形，用232t m =+换元， 可得2838322OMAN t S t t t
==++四边形，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1）依题意有2c =22a =6b =，所以椭圆的方程为22
186x y +.
（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立22
1862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()223412120m y my ++-=. 所以1221234m y y m -+=
+，1221234
y y m -=+. 所以1212112222222OAM OAN OMAN S S S y y y =+=⨯+⨯=-四边形 ()2
221212221212833224243434m m y y y y m m --+⎛⎫⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 令232t m =+，则2t ≥ 所以8383OMAN t S t t
==+四边形，因2t ≥222t t +≥26OMAN S ≤四边形2t =，即0m =
时取得等号，
即四边形OMAN
面积的最大值【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
21、（1
）2y =
-，24y x =；（2）12 【解析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE
的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入24y x =
得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点A
的直角坐标为
)，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，
得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩， 则直线l
的普通方程为2y =
-. 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.
故曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =. （2）设直线DE
的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入2
4y x =
得20t +-=．
设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t
．则12t t +=-
12t t =-120,0t t ><. 1212121211111112
t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相
应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x ρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
22、（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，
所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.
又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，
AC BC C =，所以1CC ⊥平面ABC .
因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .
（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.
由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C .
以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -， 则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.
设1(01)AP t AC t =<<，(,,)P x y z ，
(,,3)AP x y z =-，1(12,3)AC =--，
代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t -.
设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =，2,0)MN =，(233)MP t t t =-，
由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得11110)0
tx t z =-++-=⎪⎩. 令1z t =
，得(3,0,)n t =-.
因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，
所以32||||
m n
m n ⋅
=2=，解得3t 4=.
所以点P 为线段1AC 上靠近
1C 点的四等分点，且坐标为3,
44P ⎛- ⎝⎭. 【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.。