电工技术基础-3

（2）极坐标式 A1 A11
b 1 arctan A1 a b a A1为复数的模，φ1为复数的辐角
2 2
（3）三角式
设有两个复数 A1 、A2 为 A a jb
1
A2 c jd
1. 复数表达式
复数的表示
A1 a jb （2）极坐标式 A A
伏安特性定义
diL uL L dt
广义的欧姆定律

U L L jI L
XL称为感抗
jX L jL
电感上的电压总是超前电流 相位90°
3．电容元件C
相量电路 设电容元件C的电压为
u C (t ) 2U C sin(t u ) U C U Cu
A1 A1 (1 2 ) A2 A2
I I
i(t ) I
di jI dt 1 idt j I
4. 虚数
j 190
j 2 1
3.2元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式
3.2.1元件伏安特性的相量形式
阻抗模Z、电抗X、电阻R和阻抗角Z的关系可以用 阻抗三角形来表示。
3.3.1 阻抗与导纳基本概念
U Z ( u i ) Z Z R jX I
当 X 0 时， Z 0，电压超前电流，N0为感性；
当 X 0 时， Z 0 ，电压滞后电流，N0为容性；
u1 (t ) 10 sin(t 20 )V ,

u 2 (t ) 15 2 sin(t 30 )V的相量。
解 正弦量u1（t）的相量式为 U 1m 1020V
正弦量u2（t）的相量式为 U 2 15 30V
例3-5 写出电流相量表达式 I1 545A, I 1m 3 78A
2. KVL的相量形式 在正弦交流电路中， 在同频率条件下， 任一闭合路径，任一时刻， KVL的相量形式为 基尔霍夫电压定律有
u
k 1
b
k
0
U
k 1
b
k
0
或
U mk 0
k 1
b
例3-12 如图所示电路中的电源为同频率电源，试列出 回路的KVL相量方程。 解
1 I U jLI R I U R I 0 U2 3 2 1 1 jC
数，是随时间变化的实数；相量是正弦量特征的表达
式，是不随时间变化的复常数。即
I m i(t ) I i (t )
3.1.3复数 设有两个复数 A1 、A2 为 A a jb
1
A2 c jd
1. 复数表达式 （1）代数式
复数的表示
A1 a jb
I
Im 2
0.707 I m
同理，正弦交流电压的有效值与最大值的关系有
U
Um 2
0.707U m
3.1.2正弦量的相量表示 最大值相量
有效值相量
I m I m e j i
Ie ji I
相量除了用复数式表示外，还可 以在复平面上用有向线段表示相量， 称为相量图。 例3-4 写出电压
u (t ) R 2 I sin(t i )
广义的欧姆定律 U RI
2 RI sin(t u )
U RI u
电压u与电流i同相位
2．电感元件L
相量电路 设电感元件L的电流为
相量图
iL (t ) 2 I L sin(t i I L IＬ i )
ik (t ) 0
k 1
b
I
k 1
b
k
0
或
I mk 0
k 1
b
例3-11 在同频率电源激励下，电路中某结点电流关系如 图所示，试写出该结点的KCL相量方程。 解
设流入结点的电流为 正，则流出结点的电流为 负。有
I1 I 2 I 3 0
即：解题的方式方法与直流电路相似，所不同的是计 算中采用的数学工具是相量法。
Q1 i 2 Rdt
0 T
一周T内直流电流I在电阻R上产生的热量为
Q2 I 2 RT
根据有效值定义，有
Q1 Q2
设正弦信号 i(t ) I m sin(t i ) ，其一周T内在电阻 R上产生的热量为
Q1 i 2 Rdt
0 T
Q2 I 2 RT
Q1 Q2 得
例3-1 已知正弦电压的 U m 380 V, f 50 Hz, u 30, 试写出正弦电压的瞬时表达式，并画出波形图。 解 根据已知参数，得
u (t ) U m sin(2ft u )
380 sin(314 t 30 ) V 2. 相位差 相位差 描述同频率下的不同正弦量之间相位的差别。 例如，设有两个正弦量为 f1 (t ) A1 sin(t 1 ) f 2 (t ) A2 sin(t 2 )
（1）代数式
1 1
1
（3）三角式 （4）指数式
A1 A1 cos1 jA1 sin 1
A e j1 A1 1
2. 复数四则运算 已知：1 a jb A11 , A2 c jd A2 2 ，下面讨 A 论复数的基本四则运算。 A A (a jb) (c jd ) （1）加减运算
I I
已知：1 a jb A11 , A2 c jd A2 2 A A A (a c) j( b d ) A1 A2(1 2 ) 3. 正弦量的微分 ) 设： i(t ) 2 I sin(t ，其相量表达式为
瞬时值 i（t）表示正弦量在每一瞬时的数值。 最大值 Im 表示正弦量的最大值或振幅。 角频率 ω是正弦量的角频率，它反映正弦量变 化的快慢。其单位为弧度 / 秒（rad/s）。 2 2f T 相位 (ωt +ψi)表示是正弦量随时间变化的弧度或角度， 称为瞬时相位（简称为相位）。
3.1.1正弦量 1.正弦量的特征
f 2 (t ) A2 sin(t 2 )
12 0
12 0
12
12 0 ，称f1超前f2，或者称f2滞后f1 12 0 ，称f1与f2同相位，简称同相
12 ，称f1与f2反相
3. 有效值 有效值 是按等值热效应概念来定义的。用周期电流和 直流电流流过等值的电阻，在相同时间T（周期电流的 一个周期）内，若两者产生的热效应相等，则称直流 电流的数值为周期电流的有效值。 设正弦信号 i(t ) I m sin(t i ) ，其一周T内在电阻 R上产生的热量为
R jX
RLC构成的二端网络N0 等效阻抗Z
3.3.1 阻抗与导纳基本概念
U Z ( u i ) I
Z Z
R jX
RLC构成的二端网络N0 等效阻抗Z
式中 Z 称为阻抗模， Z 称为阻抗角，X为等效电抗。
U Z R2 X 2 I
X Z u i arctan R
1 2
(a c) j(b d ) 即：加减运算为实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 用平行四边形法求和差运算，如图所示。
复数的加法运算
复数的减法运算
已知：1 a jb A11 , A2 c jd A2 2 ，下面讨 A
论复数的基本四则运算。 A A (a c) j( b d ) （1）加减运算
稳态电路 如果电路中各元件的电气参数和联接关系不 变（即没有开关器件），电源为直流或幅值恒定的周 期性信号，经过无限长的时间后，电路中的储能元件 所储存的能量达到稳定或呈周期性的稳定变化，称电 路为稳态电路。
3.1 正弦函数的相量形式 3.1.1正弦量 1.正弦量的特征
i I m sin(t i )
它们的相位之差为
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
两个正弦量的相位关系可以分为图3-3所示的几种情况。
2. 相位差
相位差 描述同频率下的不同正弦量之间相位的差别。
例如， f1 (t ) A1 sin(t 1 ) 它们的相位之差为
f 2 (t ) A2 sin(t 2 )
相量图
伏安特性定义
广义的欧姆定律
I C C jU C
du C iC C dt
XC称为容抗
jX C 1 jC
电容上的电压总是滞后 电流相位90°
3.2.2 基尔霍夫定律的相量形式 1. KCL的相量形式 在正弦交流电路中， 任一结点上，任一时刻， 基尔霍夫电流定律有 在同频率条件下， KCL的相量形式为
3.3 阻抗与导纳 3.3.1 阻抗与导纳基本概念 在正弦量激励下，基本元件（RLC）用相量表示其 伏安特性时，都具有广义的欧姆定律特征。因此，其端 口电压相量与电流相量的比值定义为该二端网络的阻抗 Z，即 U Z 称为欧姆定律的相量形式
I
U Z ( u i ) I
Z Z
第3章 正弦交流电路分析
3.1 正弦函数的相量形式 3.2元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 3.3 阻抗与导纳 3.4正弦稳态电路的分析 3.5 正弦稳态电路的功率 3.6 谐振
动态电路 如果电路中包含有储能元件（即电容C、电 感L，又称为动态元件），则称为动态电路。由于动态 电路中存在储能元件，使电路的响应不仅与当时的输 入电源有关，还与电路中储能元件所储存的能量有关。
i I m sin(t i )
相位 (ωt +ψi)表示是正弦量随时间变化的弧度或角度， 称为瞬时相位（简称为相位）。 初相角 ψi表示t=0时的相位，称为初相角（或初相位 ）。
一个正弦量若已知Im、ω、ψi ，则可写出正弦量的
解析式或画出其波形。所以通常称Im、ω、ψi为正弦量 的三要素，也是分析电路时用到的3个基本特征量。
当正弦量用相量来表示时，在正弦量激励下的电
路基本元件特性可以用相量关系来表征。这样电路中
变量间的微积分运算转化为了简单的复代数运算，实
现用相量法来分析电路。
1．电阻元件R
设电阻元件R的电流为 i(t ) 2 I sin(t i ) I Ii
相量电路
相量图
欧姆定律
u (t ) Ri(t )
1 2
（2）乘除运算 A1 A2 A11 A2 2 A1 A2 (1 2 ) A1 A11 A1 (1 2 ) A2 2 A2 A
2
3. 正弦量的微分
) 设： i(t ) 2 I sin(t ，其相量表达式为
复数的导纳Y
当 X 0 时， Z 0, Z R ，电压与电流同相，N0为阻性；
1 I Y Y G jB Y U Z
式中，G为等效电导，B为等效电纳， 单位为西门子（S）。
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
两个正弦量的相位关系可以分为图所示的几种情况。
12 0
12 0
12
例如， f1 (t ) A1 sin(t 1 )
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
的正弦量表达式。 已知频率f = 50Hz 。
解
由相量 I1 545A 得
i1 (t ) 2 5 sin(314 t 45)
A
由相量 I 1m 3 78A 得
i2 (t ) 3 sin(314 t 78)
A
注意：
相量是用来表征正弦量的，它本身并不是正弦量。 在电路分析时要注意两者的区别。正弦量是时间t的函