东北大学数学分析2008答案
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08 年数学分析
1.(20 分)求 lim 解： lim
n
1 1 1 1 ( ). n n n 1 n2 nn
1 1 1 1 1 1 1 ( ) lim( ) n n n 1 n 2 nn n(n 1) n(n 2) n( n n)
1 x 1
解： dy
0
y
1 x 2 dx dx 1 x 2 dy x 1 x 2 dx
0 0 0
1 1 x 2 d ( x 2 1) 20 1 ( 8 1) 3 1 (2 2 1) 3
8.（10 分）设 f ( x, y ) 在 [0,1] [0,1] 上连续，证明 g ( x ) max f ( x, y ) 在 [0,1] 上
an 收敛. n 1 n
证明：因为 a n
an 1 1 1 2 2 ，又因为 收敛， 收敛，所以 a (a n 2 ) 收 2 n 2 2 n n n n 1 n 1 n n 1
敛，所以由比较原则，
an 收敛. n 1 n
r r r
5.（20 分）证明： (U V ) U V , U V 0, r 1 》 证明：当 U 0 时， V 0 ，显然上式等号成立. 当 U 0 时，原式变为 (U V ) V U ，即
1 1 1 1 1 1 lim( ) n n n 1 n n 2 n nn 1 1 1 1 lim( ) n n 1 n2 nn 1 1 1 1 lim( n n n ) n 1 2 n 1 1 1 n n n 1 1 1 1 dx 1 ln(1 x) 0 1 x 0 1 ln 2
其中 1 (0, x), 2 (1 x,1) . 由于 u (0) u (1) ，上面两式想减得
u ( x)
取绝对值可得
u 1 0 2 2
u ( x)
1 2 u ( 2 )(1 2 ) 2 u (1 )1 2
0 y 1
1
连续. 证明：由 f ( x, y ) 在 [0,1] [0,1] 上连续， 对 y [0,1], x (0,1), 0, 0, x 2 x1 时
f ( x1 , y ) f ( x 2 , y )
所以
g ( x1 ) g ( x 2 ) max f ( x1 , y ) max f ( x 2 , y )
max u ( x)
0 x 1
(1 2 ) 2 1 2
2
max u ( x)
0 x 1
由 x 得任意性， max u ( x) max u ( x) .
0 x 1 0 x 1
7.（20 分）交换 dy
0 1 1
y
1
1
1 x 2 dx 的积分顺序并求值.
0 y 1 0 y 1
max f ( x1 , y ) f ( x 2 , y )
0 y 1
故 g ( x ) max f ( x, y ) 在 [0,1] 上连续.
0 y 1
1 2 n 2 n ，求 lim x n . n 3 3 3 1 2 n 解：由 x n 2 n ，可知 3 3 3 1 1 n 1 n x n 2 n n 1 3 3 3 3
2（20 分）设 x n 两式想减可得
2 1 1 1 n 1 1 n x n 2 n n 1 [1 ( ) n ] n 1 3 3 3 2 3 3 3 3
lim
n
a x ln a b x ln b lim 1 x 2 (a x ln a b x ln b) n x 1 x2 1 x2
ln a ln b
4.（20 分）设
an 收敛， an 0, (n 1,2, ) ，证明
2 n 1
2
r r r
V r V ) ( )r 1 U U V r V V r V 因为 U V 0, r 1 ，所以 ( ) , (1 ) 1 ，所以 U U U U V V V V (1 ) r ( ) r 1 1 U U U U (1
6．(20 分)设 u ( x) 在 [0,1] 上具有连续的二阶导数， u (0) u (1) ，证明
所以
3 1 1 n 3 x n [1 ( ) n ] ,n ， n 4 3 23 4
故
lim x n
n
3 . 4
3（20 分）求 lim
n
ax bx x 1 x2
，其中 a b 0 为常数.
解：用洛比达法则
lim
n
ax bx x 1 x2
max u ( x) max u ( x)
0 x 1 0 x 1
证明：在 x 处展开 u (0), u (1) 可得
u (1 ) 2 1 2 u ( 2 ) u (1) u ( x) u ( x)(1 x) (1 2 ) 2 2 u (0) u ( x) u ( x) x
1.(20 分)求 lim 解： lim
n
1 1 1 1 ( ). n n n 1 n2 nn
1 1 1 1 1 1 1 ( ) lim( ) n n n 1 n 2 nn n(n 1) n(n 2) n( n n)
1 x 1
解： dy
0
y
1 x 2 dx dx 1 x 2 dy x 1 x 2 dx
0 0 0
1 1 x 2 d ( x 2 1) 20 1 ( 8 1) 3 1 (2 2 1) 3
8.（10 分）设 f ( x, y ) 在 [0,1] [0,1] 上连续，证明 g ( x ) max f ( x, y ) 在 [0,1] 上
an 收敛. n 1 n
证明：因为 a n
an 1 1 1 2 2 ，又因为 收敛， 收敛，所以 a (a n 2 ) 收 2 n 2 2 n n n n 1 n 1 n n 1
敛，所以由比较原则，
an 收敛. n 1 n
r r r
5.（20 分）证明： (U V ) U V , U V 0, r 1 》 证明：当 U 0 时， V 0 ，显然上式等号成立. 当 U 0 时，原式变为 (U V ) V U ，即
1 1 1 1 1 1 lim( ) n n n 1 n n 2 n nn 1 1 1 1 lim( ) n n 1 n2 nn 1 1 1 1 lim( n n n ) n 1 2 n 1 1 1 n n n 1 1 1 1 dx 1 ln(1 x) 0 1 x 0 1 ln 2
其中 1 (0, x), 2 (1 x,1) . 由于 u (0) u (1) ，上面两式想减得
u ( x)
取绝对值可得
u 1 0 2 2
u ( x)
1 2 u ( 2 )(1 2 ) 2 u (1 )1 2
0 y 1
1
连续. 证明：由 f ( x, y ) 在 [0,1] [0,1] 上连续， 对 y [0,1], x (0,1), 0, 0, x 2 x1 时
f ( x1 , y ) f ( x 2 , y )
所以
g ( x1 ) g ( x 2 ) max f ( x1 , y ) max f ( x 2 , y )
max u ( x)
0 x 1
(1 2 ) 2 1 2
2
max u ( x)
0 x 1
由 x 得任意性， max u ( x) max u ( x) .
0 x 1 0 x 1
7.（20 分）交换 dy
0 1 1
y
1
1
1 x 2 dx 的积分顺序并求值.
0 y 1 0 y 1
max f ( x1 , y ) f ( x 2 , y )
0 y 1
故 g ( x ) max f ( x, y ) 在 [0,1] 上连续.
0 y 1
1 2 n 2 n ，求 lim x n . n 3 3 3 1 2 n 解：由 x n 2 n ，可知 3 3 3 1 1 n 1 n x n 2 n n 1 3 3 3 3
2（20 分）设 x n 两式想减可得
2 1 1 1 n 1 1 n x n 2 n n 1 [1 ( ) n ] n 1 3 3 3 2 3 3 3 3
lim
n
a x ln a b x ln b lim 1 x 2 (a x ln a b x ln b) n x 1 x2 1 x2
ln a ln b
4.（20 分）设
an 收敛， an 0, (n 1,2, ) ，证明
2 n 1
2
r r r
V r V ) ( )r 1 U U V r V V r V 因为 U V 0, r 1 ，所以 ( ) , (1 ) 1 ，所以 U U U U V V V V (1 ) r ( ) r 1 1 U U U U (1
6．(20 分)设 u ( x) 在 [0,1] 上具有连续的二阶导数， u (0) u (1) ，证明
所以
3 1 1 n 3 x n [1 ( ) n ] ,n ， n 4 3 23 4
故
lim x n
n
3 . 4
3（20 分）求 lim
n
ax bx x 1 x2
，其中 a b 0 为常数.
解：用洛比达法则
lim
n
ax bx x 1 x2
max u ( x) max u ( x)
0 x 1 0 x 1
证明：在 x 处展开 u (0), u (1) 可得
u (1 ) 2 1 2 u ( 2 ) u (1) u ( x) u ( x)(1 x) (1 2 ) 2 2 u (0) u ( x) u ( x) x