高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究学案新人教A版选修2_3

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
课堂探究
探究一 求线性回归直线方程
(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．
(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
【典型例题1】某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系
(1)y 与x (方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
设回归直线为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，由题知x ＝42.5，y ＝34， 则求得
b ^
＝
∑i ＝1
4
x i －x
y i －y
∑i ＝1
4
x i －x 2
＝
－370
125
≈－3.
a ^＝y －
b ^
x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.
∴y ^
＝－3x ＋161.5. (2)依题意有
P ＝(－3x ＋161.5)(x －30)
＝－3x 2
＋251.5x －4 845
＝－3⎝
⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.52
12－4 845. ∴当x ＝251.56
≈42时，P 有最大值，约为426.
即预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．
规律总结 先根据所给数据画出散点图，判断y 与x 是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识求出日销售利润最大时的销售单价．
探究二 线性回归分析
解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2
来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
【典型例题2】在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：
且知x 与y 解：x ＝1
5
×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
y ＝15
×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
∑i ＝1
5
x 2
i ＝142＋162＋182＋202＋222
＝1 660， ∑i ＝1
5
y 2
i ＝122＋102＋72＋52＋32
＝327， ∑i ＝1
5
x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
∴b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2
i －5x 2
＝
620－5×18×7.41 660－5×182＝
－46
40
＝－1.15. ∴a ^
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
∴回归直线方程为y ^
＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为
∴∑i ＝1
5
(y i －y i ^
)2
＝0.3，∑i ＝1
5
(y i －y )2
＝53.2，
R 2
＝1－
∑i ＝1
5 y i －y i ^
2
∑i ＝15
y i －y
2
≈0.994.
故R 2
≈0.994，说明拟合效果较好．
规律总结 “相关指数R 2
、残差图”在回归分析中的作用：
(1)相关指数R 2是用来刻画回归效果的，由R 2
＝1－
∑i ＝1
n
y i －y i ^
2
∑i ＝1
n
y i －y
2
可知R 2
越大，意味
着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．
(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高， 回归方程预报精度越高．
探究三 求非线性回归方程
非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图．把它与必修模块数学1中学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．
【典型例题3】假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用y (万元)，有如下表的统计资料：
若由资料知y (1)线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
.
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ (3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和． (4)求R 2
并说明模型的拟合效果． 解：(1)将已知条件制成下表
设回归方程为y ＝b x ＋a ，
于是有b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2
i －5x 2
＝112.3－5×4×590－5×4
2
＝1.23，a ^＝y －b ^
x ＝5－1.23×4＝0.08，
所以线性回归方程是y ^
＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ^
＝1.23×10＋0.08＝12.38， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
(3)总偏差平方和：∑i ＝1
5
(y i －y )2
＝15.78，
残差平方和：y 1^＝2.46＋0.08＝2.54，y 2^＝3.77，y 3^＝5，y 4^＝6.23，y 5^＝7.46，∑i ＝1
5
(y i
－y i ^
)2
＝0.651，
回归平方和：15.78－0.651＝15.129.
(4)R 2
＝1－
∑i ＝1
5 y i －y i ^
2
∑i ＝1
5
y i －y
2
＝1－0.65115.78≈0.958 7，
模型的拟合效果较好，使用年限解释了95.87%的维修费用支出． 规律总结 把非线性回归问题转化为线性回归问题，拓展了解题思路． 探究四 易错辨析
易错点 残差平方和与相关指数的理解不清致误
【典型例题4】对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，
y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2
来刻画回归效果，R 2
的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 错解：B
错因分析：对残差平方和和相关指数R 2
理解错误．
正解：R 2
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好． 答案：C。