人教版八年级数学导学案-“角边角”、“角角边”

第十二章全等三角形
12．2 全等三角形的判定
第3课时“角边角”“角角边”
学习目标：1．探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件．
2．应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等．
重点：已知两角一边的三角形全等探究．
难点：掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．
一、知识链接
1．能够的两个三角形叫做全等三角形．
2．判定两个三角形全等方法有哪些？
边边边：对应相等的两个三角形全等．
边角边：和它们的对应相等的两个三角形全等．
二、新知预习
1．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
2．现实情境
一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？
（1）以①为模板，画一画，能还原吗？
（2）以②为模板，画一画，能还原吗？
（3）以③为模板，画一画，能还原吗？
（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_________．
猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______．
三、我的疑惑
_____________________________________________________________
______________________________________________________________
一、要点探究
探究点1：三角形全等的判定（“角边角”）
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
作图探究：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
知识要点：
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）．
几何语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
',
'',
',
A A
AB A B
B B
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．
典例精析
例1：如图，已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC．求证：△ABC≌△DCB．
方法总结：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
探究点2：用“角角边”判定三角形全等
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3 cm，你能画出这个三角形吗？
思考：这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
归纳总结：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
简写成“角角边”或“AAS”．
在△ABC和△A′B′C′中，
',
',
'',
A A
B B
AC A C
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．
典例精析
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
求证：（1）△BDA≌△AEC；（2）DE＝BD＋CE．
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
二、课堂小结
全等三角形判定
定理3
简称图示符号语言
有两角及夹边
（或一角的对
边）对应相等的
两个三角形全等
“角边角”
（ASA）或
“角角
边”(AAS)
在△ABC和△A1B1C1中，
∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．
推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等．
1．△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（）
A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2．在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，
且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）
A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不对
3．如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由．
4．如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件：，
才能使△ABC≌△DEF（写出一个即可），并说明理由．
5．已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，求证：AB=AD．
学以致用
如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．完全
2．三边两边夹角
二、新知预习
1．已知两角一边可以判断两三角形全等，分为两角和它们的夹边，两角和其中一角的对边．2．（1）不能（2）不能（3）能（4）两角和它们的夹边
猜想全等
三、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：三角形全等的判定（“角边角”）
问题“两角及夹边”与“两角和其中一角的对边”
作图探究：作法：
（1）画A'B'=AB；
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于点C'．
典例精析
例1 证明：在△ABC和△DCB中，
,
,
,
ABC DCB
BC CB
ACB DCB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
例2 证明：在△ACD和△ABE中，
,
,
,
A A
AC AB
C B
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ACD≌△ABE（ASA)．∴AD=AE．
探究点2：用“角角边”判定三角形全等
典例精析
例3 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B．同理∠F＝180°－∠D－∠E．又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F．
在△ABC和△DEF中，
,
,
,
B E
BC EF
C F
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
例4 证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．
在△BDA和△AEC中，
,
,
,
ADB CEA
ABD CAE
AB AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BDA≌△AEC(AAS)．
（2）∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE．
当堂检测
1．A 2．B
3．解：不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边．
4．解：AB∥DE，即∠B=∠E（ASA），或∠A=∠D（AAS），或AC=DF（SAS）．5．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90 °．
在△ABC和△ADC中，
12,
,
,
B D
AC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌△ADC（AAS）．∴AB=AD．
学以致用
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等．
能力提升
6．解：因为△ABC≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形的对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形的对应角相等）．因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'．
在△ABD和△A'B'D'中，
''',
''',
,
ADB A D B
ABD A B D
AB AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
所以△ABD≌△A'B'D'．所以AD=A'D'．。