柯西积分公式及其推广.doc

第三章 复变函数的积分(II)
§3-3 柯西公式【教材P 36-42】
(一) 单连通区域中的柯西公式
柯西公式： 设复变函数()f z 在闭单连通区域D （D l =+）中解析(l 是区域
D 的边界线)， 则()f z 在区域D 内任一点α ()D α∈的值可由沿边界线的积
分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）:
()
l
f z dz z α
-⎰
， ()
2l
f z
dz z πα
=-⎰
柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。

这是解析函数的重要性质之一。

证明： 对于任意固定的D α∈，由前面的例子知:
1
1l
dz z α
=-⎰
两边乘以()f α，得: ()()
12l
f f dz i
z ααπα
=-⎰
, 因此只要证明:
()()
0l
f z f z αα
-=-⎰
，即得:
()
()
()2l
l
f z f dz dz if z z απαα
α
==--⎰
⎰
， 这就证得柯西积分公式。

()()
f z f z αα
--作为z 的函数在D 内除z α=点外均解析。

以z α=为圆心，很小
的ε为半径，作圆周c ε。

由复连通区域的柯西定理，得:
()()
()()
l
c f z f f z f dz dz z z ε
ααα
α
--=
--⎰
⎰
，
上式表明右边的积分是与c ε的半径ε无关的，所以:
()()()()
0lim c c f z f f z f dz dz z z ε
εεαααα
→--=--⎰
⎰ 而
()()()()max 2c c f z f f z f dz z z ε
ε
ααπεαα--≤--⎰
()()max 2c c
f z f z ε
ε
απεα-=-
()()()()max 22max c
c f z f f z f ε
ε
απεπαε
-=
=-
当0ε→时，c εα
→（z α→），由于()f z 是连续的，则: ()()0
lim max 0c f z f ε
εα→-=， ()()
()()00
lim
lim 2max 0c c f
z f dz f
z f z ε
ε
εεαπαα→→-∴≤-
=-⎰
，
()()
()()
00lim
0lim
0c c f
z f f
z f dz dz z z ε
ε
εεααα
α
→→--∴=⇒=--⎰⎰。

从而
()()()()
0lim 0l
c f z f f z f dz dz z z εεαααα
→--==--⎰
⎰。

()
()()()2l
l
l f z f dz
dz dz f if z z z ααπααα
α∴===---⎰
⎰
⎰， ()
l
f z dz i
z α
-⎰。

例1：利用柯西公式证明:
2l
dz
i z a
π=-⎰
，l 为以z a =为圆心，ρ为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。

证明：设()1f z =, 则()
2()2l l
dz
f z dz if a i z a
z a
ππ=
==--⎰⎰
例2：设l 代表圆周2
2
3x y +=(z =，计算积分
2371l d z
ξξξξ++-⎰。

（z 为圆周内的任意点，{
z ξξ∈< ）
解： 由柯西积分公式：
()
()2l
f
d if z z
ξξπξ=-⎰
， 得： (){22
3712371, ( )
l d i z z z z
ξξξπξξξ++=++∈<-⎰当 时
例3： 计算
4sin z z
dz z
=⎰
(沿圆周正向)
解： 由柯西公式
()
()2l
f z dz if a z a
π=-⎰
, 得: 4sin 0z z
dz z =-⎰
2 sin 00
i z z π===
例4: 计算
2413z z z dz z z =⎛⎫
+ ⎪+-⎝⎭
⎰
(沿圆周正向) 解： 由柯西积分公式
()
()2l
f z dz if a z a
π=-⎰
, 得： 2413z z z dz z z =⎛⎫
+ ⎪+-⎝
⎭⎰
2
441
3
z z z
z dz dz z z ===+
+-⎰
⎰
22(1)2(3)16.i i i πππ=⨯-+⨯=
例5: 设()26
4
z F z z +=
-，证明积分()c
F z dz ⎰
a. 当c 是圆周221x y +=时，等于0；
b. 当c 是圆周()2
221x y -+=时，等于4i π； c. 当c 是圆周()2221x y ++=时，等于2i π-。

证明：()()()
266
422z z F z z z z ++=
=
-+-的奇点为12z =及22z =-。

a. 当c 是圆周221x y +=时，12z =及22z =-均在圆外，()F z 在圆内 解析。

由柯西定理:
()()6
022c z dz z z + =+-⎰。

b. 当c 是圆周()2
221x y -+=时，仅12z =在圆内。

由柯西积分公式 得: ()()
266
2224222c
z z z dz i i i z z z πππ=++ ==⨯=+-+⎰。

c. 当c 是圆周()2
221x y ++=时，仅22z =-在圆内。

由柯西积分公式 得：()()()2
66
2212222c
z z z dz i i i z z z πππ=-++ ==⨯-=-+--⎰。

(二) 复连通区域中的柯西公式
设函数()f z 在闭复连通区域_
D 中解析，_
D 的边界由外边界线0C 和内边界线1C ，2C ，
，，n C 组成。

则函数()f z 在闭复连通区域_
D 内任意一点α的函数值可以用它在边界上的值表示出来：
()
l
f z dz z α
-⎰
， ()z D ∈
说明：在上述积分公式中积分路径包括复连通区域的全部边界，
012....n l C C C C ---=++++，全部积分均沿所有边界线的正方向进行。

（对外边界线，其正方向为沿逆时钟方向； 对内边界线，其正方向为沿顺时钟
方向，用n L -
等表示.）
()()(
)()
()()()
01
01
1
1
(221)
1
.......22n
n
l C C C C C C f z dz z f z f z f z dz dz dz z i
z i z f z f z f z dz dz dz z i
z i
z α
απαπααπαπα
-
-
---+++---------⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
(三) 无界区域中的柯西公式
设 f(z) 在某一闭合曲线C 的外部解析，并且当z →∞时f(z)一致地趋于零（即与幅角θ无关，f(z)随模||z 的增大而趋于零），则对于闭合曲线C 的外部的任意一点a , 有：
()
C f z dz z a
-
-⎰
说明：
（1）()f z 在闭合曲线C 的外部解析； （2）当z →∞时()f z 一致地趋于零； （3）
a 是闭合曲线C 的外部的任意一点；
（4）积分应沿闭曲线C 的顺时钟方向进行（相对于闭曲线C 外部的区域而言，依然为沿区域边界线的正方向进行积分）.
§3-4 复变解析函数的高阶导数（推广的柯西公式）
由柯西公式:
()
l
f z dz z α
-⎰
，D α∈，而z l ∈，
0z α∴-≠，从而被积函数是处处连续的。

因此可在积分号下对α求导，
得一阶导数为（相对于α来讲）()
()
2
l
f z dz i
z α-⎰，( D α∈ )
为表达清楚起见，积分变量以ξ代替z ，以z 代替α表示D 内的任一点，则上
式可表为： ()
()
2
l
f d z ξξξ-⎰， z D ∈，
求n 次导数，得：
()
()
1
n l
f d z ξξξ+-⎰，（z D ∈），0,1,2,
n =，）
这就是推广的柯西积分公式，它表明在区域D 内解析的函数可以求导任意多次，其任意阶导数均可以写成沿区域边界线的积分的形式。

说明：
（1）解析函数在其解析的区域内可以求导任意多次（即任意阶导数都存在），这是解析函数的又一重要特点。

（2）对复连通区域，高阶导数公式依然成立（积分沿内、外边界线的正方向进行）。

（3）高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分。

（求导运算比积分运算要简单的多）。

例1： 设l 代表圆周：||1z R =
>(z =. 计算积分23
21
(1)
l z z dz z -+-⎰。

解：由推广的柯西积分公式: ()
()
1
n l
f z dz z a +-⎰,
得：
()
()
1
n l
f z dz z a +=
-⎰ 令()221f z z z =-+, 1a =， 2n =, 得
222
23
2212[(21)]|4(1)2!z l z z i d dz z z i z dz
ππ=-+=-+=-⎰
例2：计算积分()
24
31
l
z z I dz z a -+=
-⎰，其中l 为包围z
a =（a 为任意复数）的
任意简单闭曲线。

解：根据推广的柯西积分公式:
()
()
1
n l
f z dz z a +=
-⎰ 令
()231f z z z =-+, 3n =, 得:
()
23
24
331
2[(31)]|03!2z a l
z z i d dz z z dz
z π=-+=-+=-⎰
例3: 计算
()5
cos ;1c
z
dz z π-⎰ 其中 C 为正向圆周:
1z r =>
解:
()
()
1
n l
f z dz z a +=-⎰, 令()cos f z z π=, 4n =, 得: ()4554
cos 2cos .1
4!121c z
i d i
dz z z dz z ππππ⎛⎫==- ⎪=-⎝⎭⎰
例4: 由积分2c dz
z +⎰之值，证明0
12cos 054cos
d πθθ+=+⎰，c 为单位圆周1z =。

解: 1
2
z +在单位圆周1z =所围区域内解析。

由柯西定理得：
02c dz
z =+⎰。

（1）
另一方面，在c 上, d ,i i z e z ie d θθ
θ==，πθπ-≤<，
()()()()22 22222i i i i c c dz z e dz ie d z z z e e θπθ
θθπθ---++==+++++⎰⎰⎰
()1212cos 2sin 54cos 124
i i i e i i d i d e e θπ
πθθππθθθθθ---+++==++++⎰⎰ 12cos sin 254cos 54cos i d d π
πππθθθθθθ
--+=-++⎰⎰ （2）
因为sin 54cos θ
θ
+为θ的奇函数，所以：
s i n 054c o s
d π
π
θ
θθ-
=+⎰
于是由（1）、（2）可得： 12cos 054cos d π
πθ
θθ
-+=+⎰。

（3）
又
12cos 54cos θ
θθ
++为的偶函数，012cos 12cos 254cos 54cos d d π
ππθ
θθθθθ-++=++⎰⎰，
于是由（2）和（3）得：0
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+⎰
第三章 习 题
1、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，
半径为1的单位圆周： （1）cos c dz z ⎰； （2）256
z c e dz
z z ++⎰。

2、计算：（1）()221
:21
c
z z dz c z z -+=-⎰； （2）()
()22
21
:21c
z z dz
c z z -+=-⎰。

3、 求积分
z
c
e dz z
⎰
（c 为单位圆周:1z =）， 从而证明()cos 0cos sin e d πθθθπ=⎰。

[ 提示：在c 上令i z e θ
=，则()()c o s c o s s i n s i n s i n i z
e c e d z i e d i e i d z θππ
θ
π
π
θθθθ--
==
+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ]
4、设()264
z F z z +=
-，证明积分()C F z dz ⎰ (1) 当C 是圆周22
32x y +=时，等于0
； (2) 当C 是圆周()2
222x y -+=时，等于4i π； (3) 当C 是圆周
()2
222x y ++=时，等于2i π-。

5、 证明2
1
!2!n
n t n
l
t t e d n i n ξξ
πξξ⎛⎫=⋅
⎪⎝⎭⎰
， 其中l 是包围原点的任意简单
闭曲线。