2021届高考数学总复习：数列的新定义问题

2021届高考数学总复习：数列的新定义问题
一、知识点
新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力。

【典例】定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数。

若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()
A．18个B．16个
C．14个D．12个
【解析】解法一：列表法
根据题意得，必有a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：
由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个。

解法二：列举法
根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a2，a3，…，a7中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，…，a8中“0”的个数不少于“1”的个数。

可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,0110 10,100011,100101,100110,101001,101010，共14个。

【答案】 C
可以从以下三个方面解决此类问题
1．提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号。

2．深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解
题方法，比较相近知识点，明确不同点。

3．对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点。

新定义问题的解题思路为：
(1)若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；
(2)若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法。

【变式训练】由n(n≥2)个不同的数构成的数列a1，a2，…，a n中，若1≤i<j≤n时，a j<a i(即后面的项a j小于前面的项a i)，则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数。

如对于数列3,2,1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面没有比1小的项，因此，数列3,2,1的逆序数为2＋1＋0＝3，若a n＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，则数列{a n}的逆序数为()
A．2 525 B．5 050
C．2 475 D．4 950
解析因为a n＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，故{a n}为单
调递减数列，所以逆序数为99＋98＋…＋1＝(99＋1)×99
2＝4 950。

答案 D。