华南师大附中2020届高三年级月考(三)(理数)

华南师大附中2020届高三年级月考（三）
数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求。

1．已知复数i z -=41，i z +=42，则i z z 2
1等于（ ） A ．i 15
B ．i 15-
C ．i 17
D ．i 17-
2．设集合,,,5⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=b a a b A }1,,{-+=b a b B ，若}1,2{-=B A I ，则=B A Y （ ） A ．}3,2{
B ．}5,2,1{-
C ．}5,3,2{
D ．}5,3,2,1{-
3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且,m b ⊥则""b a ⊥ 是""βα⊥的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若
01
1<<b
a ，则下列四个不等式恒成立的是（ ） A ．
b a >
B ．b a <
C ．3
3
b a <
D ．ab b a <+
5．过抛物线x y 22
=的焦点作一条直线与抛物线交于B A ,两点，它们的横坐标之和等于1，则这样 的直线（ ）
A ．有且仅有零条
B ．有且仅有一条
C ．有且仅有两条
D ．有且仅有四条 6．如图，在三棱锥ABC O -中,,1===OC OB OA ο
90=∠AOB ,⊥OC 平面AOB ,D 为AB 中点， 则OD 与平面OBC 所成的角为( )
A ．
4π
B ．
3π C ．2
π
D ．4
3π
7．函数x
x
y sin sin 212+
=的部分图象大致是（ ）
8．若)2ln(2
1)(2
++-
=x a x x f 在),1(+∞-上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．),1[+∞-
B ．),1(+∞-
C ．)1,(--∞
D ．)1,(--∞
9．已知βα,为锐角，,5
1)2sin(=+βα,31
cos =β则)sin(βα+的值为（ ）
A ．15
2262+ B ．15381-或153
81+
C ．15381-
D ．15
381+
10．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若2
1
sin sin =c B ,C b a ⋅=-cos )3(22,
则角=C ( )
A ．6π
B ．3π
C ．3π或2π
D ．6π或2
π
11．如图所示，已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，
,3==EB EA ,2=AD ,60ο
=∠AEB 则多面体ABCD E -的外接球的
表面积为（ ）
A ．
3
16π
B ．π8
C ．π16
D ．π64
12．正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*),(22N n a a S n n n ∈+=设,21
2)
1(n
n n
n S a c +-=则数列}{n c 的前2020项的和为（ ） A ．2021
2020
-
B ．2020
2021
-
C ．2020
2019
-
D ．2019
2020
-
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．若函数1
23
2)(-+⋅=x
x a x f 是奇函数，则常数=a 。

14．等差数列}{n a 的前n 项和为,18,9-=S S n 5213-=S ,等比数列}{n b 中,55a b =,77a b =则15b 的值为
15．已知过点)2,2(P 的直线与圆5)1(2
2
=+-y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则=a 16．若关于x 的方程
22
kx x x
=+恰有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．若向量)sin ,sin 3(x x ωω=,)sin ,(cos ,x x b ωω=,其中0>ω,记函数,2
1
)(-⋅=b a x f 若函 数)(x f 的图象上相邻两个极值点之间的距离是 ⋅+2
162
π (I)求)(x f 的表达式；
(II)设ABC ∆三内角C B A 、、的对应边分别为c b a 、、,若,3=+b a ,3=c 1)(=c f ,求
ABC ∆的面积．
18．如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAB 平面ABC ,BP AP ⊥,BC AC ⊥,ο
60=∠PAB ο
45=∠ABC ,D 是AB 中点，F E ,分别为PD ,PC 中点。

(I)求二面角C PA B --的余弦值；
(II)在棱PB 上是否存在点M 使得//CM 平面?AEF
若存在，求
PB
PM
的值；若不存在，说明理由．
19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25 db （分贝），并规定测试值
在区间(]5,0为非常优秀，测试值在区间(]10.5为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所 得测试值制成频率分布直方图：
(I)现从听力等级为(]10,0的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为,X 求X 的 分布列与数学期望；
(II)现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下： 四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为 1，2，3，4．测试前将音叉随机排列，被测试的同 学依次听完后给四个音叉发音的强弱标出一组序号
4321,,,a a a a （其中4321,,,a a a a 为1，2，3，4的
一个排列）
记|4||3||2||1|4321a a a a Y -+-+-+-=可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2≤Y 的
概率．
20．已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
x a y C 的上下两个焦点分别为21,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线
交椭圆C 于N M ,两点，2MNF ∆的面积为3,椭圆C 的离心率为2
3
.
(I)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知O 为坐标原点，直线m kx y +=与y 轴交于点P ,与椭圆交于B A ,两个不同的点，若存
在m 使得,403=+求m 的取值范围．
21．设函数1)1ln()(2
+++-=x ax x x f ,2
)1()(α+-=x
e x x g ,R a ∈. (I)当1=a 时，求函数)(x
f 在点))2(,2(f 处的切线方程； (II)若函数)(x
g 有两个零点，试求a 的取值范围； (Ⅲ)证明).()(x g x f ≤
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计 分。

22．在直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos :1r y r x C ,(θ为参数,r 为大于零的常数),以坐标原点为极
点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为015cos 82
=+-θρρ. (I)若曲线1C 与2C 有公共点，求r 的取值范围；
(II)若1=r ,曲线上]C 任意一点P 作曲线2C 的切线，切于点Q ,求PQ 的最大值．
23．已知函数.1)(a x x x f +-+= (I)若,0=a 求不等式0)(≥x f 的解集；
(II)若方程x x f =)(有三个不同的解，求a 的取值范围．
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-4: DDBD
5-8: BADC
9-12: DCCA
二、填空题
13．3. 14．-64 . 15．2．
16．).,1(+∞
16．由于关于x 的方程
22
kx x x
=+有四个不同的实根，0=x 是此方程的一个根，故关于x 的方程
x k x =+2
1
有3个不同的非零的实数解． ∴方程⎩⎨⎧<+->+=0
),2(0
),2(1x x x x x x k 有3个不同的非零的实数解，
即函数k y 1
=
的图象和函数⎩⎨⎧<+->+=0
),2(0),2()(x x x x x x x g 的图象有3个交点， 画出函数)(x g 图象，如图所示， 故,11
0<<
k
解得.1>k 三、解答题：
17．解：(I)Θ)sin ,sin 3(x x ωω=，)sin ,(cos x x b ωω=
∴),6
2sin(21sin cos sin 321)(2πωωωω-=-+=-
⋅=x x x x x f 由题意可知其周期为.π
故1=ω，则⋅-=)6
2sin()(π
x x f
(Ⅱ)由1)(=C f ，得1)6
2sin(=-π
C ，,0π<<C Θ
,6
116
26
ππ
π
<
-
<-
∴C 262ππ=-∴C ，解得,3π
=C
又3=+b a Θ,3,=c 由余弦定理得：,3
cos
22
22π
ab b a c -+=
33)(2
=-+∴ab b a ，即.2=ab
∴由面积公式得ABC ∆的面积为：⋅==23sin 2
1C ab S
18．解：几何法
(I)由题意知PAB ∆为直角三角形，ABC ∆为等腰直角三角形，所以.CD AB ⊥又平面⊥PAB 平
面ABC ，由面面垂直的性质定理知⊥CD 平面PAD ，
即C 在面PAD 上的投影点为D .过D 作PA DH ⊥，连接CH ，由三垂线定理知DHC ∠为二 面角C PA B --的平面角．
设a AB 4=，则a DH 3=，a CD 2=，.722a DH CD CH =+=
7
217
3cos =
==
∠HC
DH
DHC (II)延长AE 交BP 于G ，连接FG ，ο
Θ30=∠PAE ，PB PA PG 3
133==
∴ 因为平面AEF 即为平面AFG ，且面PBC 过CM 。

若//CM 平面AEF ，由线面平行的性质定理知必有，因为F 为PC 中点，所以G 为PM 中点， 即PB MB GM PG 3
1
=
==， 所以在棱PB 上存在点M 使得//CM 平面AEF ，此时
.3
2
=PB PM 建系法
(I)在PAB ∆中，取AD 中点O ，连接PO ，所以.AB PO ⊥ 在平面ABC 中，过O 作CD 的平行线，交AC 于G . 因为平面⊥PAB 平面,ABC 所以⊥PO 平面ABC 所以OG PO ⊥
因为OG ，，OB ，
，OP 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系xyz O -， 设a AB 4=，则相关各点坐标为：
)0,,0(a A -，)0,3,0(a B ，)0,,2(a a C ，)3,0,0(a P ，)0,,0(a D ，)23
,2,0(a a E ， )2
3
,2,(a a a F ，)0,2,2(a a =，)3,,0(a a PA --=
设平面PAC 的法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,0PA n AC n ，即⎩⎨⎧=+=+.03,0z y y x 令1=z ，则,3-=y 3=
x ，所以)1,3,3(-=n
平面PAB 的法向量为),0,0,2(a =设n ，的夹角为α，所以⋅=7
21
cos α 由图可知二面角C PA B --为锐角，所以二面角C PA B --的余弦值为721.
(II)设M 是棱PB 上一点，则存在[]1,0∈λ使得.PM λ=
因此点))1(3,3,0(λλ-a a M ，)13(,2(--=λa a CM ，))1(3λ-a 由(I)知⊥CD 平面,PAB PD AE ⊥，所以.PD CD ⊥ 因为CD EF //，所以.PD EF ⊥
又E EF AE =I ，所以⊥PD 平面AEF
所以PD 为平面AEF 的法向量．).3,,0(a a -=
因为⊂/CM 平面AEF ,所以//CM 平面AEF ,当且仅当0=⋅PD CM
即),13(,2(--λa a 0),,0())1(3=-⋅-a a a λ,解得32
=
λ 所以在棱PB 上存在点M ,使得//CM 平面AEF ,此时3
2
==λPB PM .
19．解：(I)X 的可能取值为：0，1，2，3，4．
,21015
)0(41046===C C X P 21080)1(4103
614===C C C X P ,21090)2(4102624===C C C X P 21024)3(4101634===C C C X P ,2101
)4(410
4
4===C C X P
.6.1210
14210
243210
902210
80
1210
150)(=⨯
+⨯+⨯
+⨯
+⨯
=X E
( II)序号4321,,,a a a a 的排列总数为244
4=A 种， 当0=Y 时,11=a ,22=a ,33=a ,.44=a 当243214321=-+-+-+-=a a a a Y 时，
4321,,,a a a a 的取值为11=a ，22=a ，43=a ，34=a
11=a ，32=a ，23=a ，44=a ；21=a ，12=a ，33=a ，44=a .
故6
1244)2(==
≤Y P 。

20．解：(I)根据已知设椭圆的焦距c 2，当c y =时，,22
21a b x x MN =-=
由题意得2MNF ∆的面积为3221221==
=⨯⨯a c
b MN
c F F MN 又2
3=a c Θ，解得12
=b ，,42=a 椭圆C 的标准方程为：.1422=+x y
（Ⅱ）由43=+,得,4
3
41OB OA OP +=所以PB AP 3= 设),,(11y x A ),(22y x B ,由⎩⎨
⎧=-++=0442
2y x m
kx y ,得,042)4(2
2
2
=-+++m mkx x k
由己知得0)4)(4(442
2
2
2
>-+-=∆m k k m ,即042
2>+-m k
且4
2221+-=+k km
x x ,442221+-=k m x x
由PB AP 3=得213x x -=
04)(3212
21=++x x x x ,04
)4(4)4(12222222=+-++∴k m k m k ,042
222=--+⇒k m k m 显然12
=m 不成立,14222
--=∴m m k ,0422>+-m k Θ041
4222>+---∴m m m 即
.01
)4(22
2>--m m m 解得12-<<-m 或.21<<m
综上所述，m 的取值范围为)2,1()1,2(Y -- 21．解：(I)函数)(x f 的定义域是),,1(+∞⋅-+-=
'1
)
122()(x a ax x x f
当1=a 时,,624)2(=+='a f .734)2(=+=a f
所以函数)(x f 在点))2(,.2(f 处的切线方程为)2(67-=-x y ,即.56-=x y (II)方法一：
若函数)(x g 有两个零点，则2)1(x e x a x --=有两个交点，令2
)1()(x e x x h x
--=
x
x x x x e x x e x x x x x e x x xe x e x 32324221)1(222)1()()1(+--=+--=⋅---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--
当0>x 时,)(x h 单减,当0<x 时,)(x h 单增．
其图像如图，故若有两个交点，a 的取值范围为⋅+∞),0( 方法二：函数)(x g 的定义域为R ,由己知得)2()(a e x x g x
+=' ①当0=a 时，函数x
e x x g )1()(-=只有一个零点； ②当0>a ,因为02>+a e x
当)0,(-∞∈x 时,0)(<'x g ;当),0(+∞∈x 时,.0)(>'x g
所以函数)(x g 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增。

又1)0(-=g ，a g =)1(
因为0<x ，所以01<-x ，1<x
e ，所以1)1(->-x x e x
，所以1)(2
-+>x ax x g
取,24110a
a
x +--=
显然00<x 且0)(0>x g
所以0)1()0(<g g ，0)0()(0<g x g .由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点， ③当0<a 时，由0)2()(=+='a e x x g x
,得0=x 或⋅-=)2ln(a x (ⅰ)当2
1
-
<a ，则.0)2ln(>-a 当x 变化时，)(x g '，)(x g 变化情况如下表：
x )0,(-∞
0 ))2ln(,0(a -
a 2ln(-)
)),ln(-2(+∞a
)(x g ' + 0 - 0 + )(x g
↗
-1
↘
↗
注意到1)0(-=g ,所以函数)(x g 至多有一个零点，不符合题意． 若,2
1->a 则.0)2ln(≤-a
当x 变化时，)(),(x g x g '变化情况如下表： x
)2ln(,a -∞-
)2ln(a - )0),2(ln(a -
0 ),0(+∞ )(x g ' + 0 - 0 + )(x g
↗
↘
-1
↗
注意到当0<x 0,<a 时，,0)1()(2
<+-=ax e x x g x 1)0(-=g ，所以函数)(x g 至多有一个 零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是⋅+∞),0( (III)证明：1)1ln()1()()(-----=-x x e x x f x g x
设1)1ln()1()(-----=x x e x x h x
，其定义域为),1(+∞，则证明0)(≥x h 即可 因为)1
1(1)(--=--='x e x x x xe x h x x
，,131-+=e x 取则0)()(3111<-='e e x x h x ， 且.0)2(>'h
又因为0)
1(1
)1()(2
>-+
+=''x e x x h x
，所以函数)(x h '在),1(+∞上单增 所以0)(='x h 有唯一的实根)2,1(0∈x ，且.1
1
00
-=
x e
x 当01x x <<时，0)(<'x h ；当0x x >时，0)(>'x h 所以函数)(x h 的最小值为)(0x h 所以.0111)1ln()1()()(0000000
=--+=-----=≥x x x x e x x h x h x
所以⋅≤)()(x g x f
（二）22．解：(I)∵曲线⎩⎨⎧==θ
θsin cos :1r y r x C ∴消去参数，得曲线1C 的直角坐标方程为2
22r y x =+
∵曲线2C 的极坐标方程为015cos 82
=+-θρρ ∴曲线2C 的直角坐标方程为1)4(2
2=-+y x 若1C 和2C 有公共点，则141+≤≤-r r 解得53≤≤r ，故r 的取值范围是]5,3[
（Ⅱ）设)sin ,(cos ααP ，由1||||||||2
22
22
22
-=-=PC Q C PC PQ 得24sin 8161)
4(sin cos ||22
2
≤-=--+=αααPQ
当且仅当1sin -=α时取最大值，故||PQ 的最大值为62
11 23．(1)0=a 时，⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤-+-<-=-+=.0,1,01,12,1,1|||1|)(x x x x x x x f
∴当1-<x 时，01)(<-=x f 不合题意；
当01<≤-x 时，012)(≥+=x x f ，解得;02
1<≤-
x 当0≥x 时，01)(>=x f 符合题意 综上，0)(≥x f 的解集为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,21 (2)法1：设|||1|)(x x x u -+=，)(x u y =的图象和x y =的图象如图，
易知)(x u y =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与x y =的图象始终有3个交 点，从而01<<-a
法2：由题意得x x x a ++-=|1|||有三解，设x x x x g ++-=|1|||)(
⎪⎩
⎪⎨⎧-≤+<<---≥-=1,1,01,10,1)(x x x x x x x g 由)(x g 图像知有三个交点时01<<-a .。