高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练：2-2-3(二)直线与圆、圆与圆的位置关系(二)(含答案)

2-2-3(二)直线与圆、圆与圆的位置关系(二)
双基达标 (限时20分钟)
1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是( )．
A ．外切
B ．内切
C ．相交
D ．相离
解析 圆心距d ＝r ＋R ，选A.
答案 A
2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )．
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．3x －y －9＝0
D ．4x －3y ＋7＝0
解析 两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得C.
答案 C
3．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )．
A ．x ＋y ＝0
B ．x ＋y ＝2
C ．x －y ＝2
D ．y ＝x ＋2
解析 圆与圆的对称问题实质上是圆心与圆心的对称问题，因为k C 1C 2＝－1，C 2C 1的中点为(－1,1)，所以C 2C 1的垂直平分线方程为y ＝x ＋2.
答案 D
4．圆x 2＋y 2－x ＋y ＝0和圆x 2＋y 2＝5的公共弦长为________．
解析 由⎩⎨⎧
x 2＋y 2－x ＋y －2＝0， ①x 2＋y 2＝5， ② ②－①得，两圆的公共弦所在直线方程为x －y －3＝0，
∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为：
d ＝|－3|1＋(－1)2
＝32， 设公共弦长为l ，∴l ＝2
5－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝ 2. 答案 2 5．已知圆x 2＋y 2－6x ＋12y －19＝0和圆x 2＋y 2＋6x －4y －k ＝0相切，则k ＝________. 解析 已知两圆的圆心和半径分别为C 1(3，－6)，r 1＝8，C 2(－3,2)，r 2＝13＋k ，则|C 1C 2|＝
10.若外切，则r 1＋r 2＝10，即8＋13＋k ＝10，解得k ＝－9；若内切，则r 2－r 1＝|C 1C 2|，解得k ＝311.
答案 －9或311
6．已知圆C 1：x 2＋y 2＝10与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －14＝0.
(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
(1)证明 因为圆C 1的半径为10，圆心为(0,0)，
圆C 2的半径为4，圆心为(－1，－1)，
所以|C 1C 2|＝12＋12＝2，
所以4－10＜|C 1C 2|＜10＋4，
所以两圆相交．
(2)解 设两圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
A 的坐标满足两圆的方程，
即⎩⎨⎧
x 21＋y 21＝10，x 21＋y 21＋2x 1＋2y 1－14＝0. 两式相减，得2x 1＋2y 1－4＝0，即x 1＋y 1－2＝0.
同理x 2＋y 2－2＝0.
故A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足x ＋y －2＝0，
所以过A 、B 的直线方程为x ＋y －2＝0.
综合提高 (限时25分钟)
7．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为
( )．
A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6
B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6
C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36
D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36
解析 ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6，再由a 2＋32＝5可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.
答案 D
8．已知两圆的半径分别为方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，如果O 1O 2＝8，则两圆的位置关系是
( )．
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
解析 由方程x 2－7x ＋12＝0，得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，根据两圆的位置关系，知这两圆外离．
答案 A
9．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.
解析 本小题主要考查两圆的位置关系，求解时注意公共弦平行于x 轴．两圆方程相减得公共
弦方程y ＝1a ，代入x 2＋y 2＝4，得两圆交点横坐标x ＝± 4－1a 2，
∴ 4－1a 2＝3， ∴a ＝1(a ＞0)．
答案 1
10．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r ＞0.若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是________．
解析 集合A 、B 分别表示两个圆上的点的集合，若A ∩B 中有且只有一个元素，则两圆相切．相外切时，r ＝3；相内切时，r ＝7.
答案 3或7
11．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝5，求经过点P (0,1)且被两圆截得弦长相等的直线方程．
解 显然P (0,1)、A (1,0)、Q (0，－1)都在圆C 1：x 2＋y 2＝1①上，
易知P (0,1)，A (1,0)，B (0,3)都在圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝5②上，
直线x ＝0截圆C 1，有|PQ |＝2；截圆C 2：|PB |＝2，
∴x ＝0为所求直线方程．
①－②得：x ＋y －1＝0，此即为两圆的公共弦所在的直线方程，它显然满足条件，由平面几何知识知除x ＝0，x ＋y －1＝0外不存在其他满足条件的直线．
故所求直线方程为x ＝0或x ＋y －1＝0.
12．(创新拓展)在Rt △ABO 中，∠BOA ＝90°，|OA |＝8，|OB |＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和的最大值和最小值．
解 如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，则A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径
r ＝12×6×812×(6＋8＋10)＝2.
∴圆心坐标为(2,2)．
∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.
设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和为d ，则d ＝|P A |2＋|PB |2＋|PO |2
＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2
＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100
＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.
∵点P (x ，y )在圆上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.
∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x .
∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．
∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.。