2019年重庆市高考数学三模试卷(文科)含答案解析

2019年重庆市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|0＜log2x＜1}，B={y∈R|y=2﹣x2}，则A∩B=（）
A．∅B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]
2．已知（1+i）=1+3i，则复数Z=（）
A．2﹣i B．﹣2+i C．﹣1+2i D．1﹣2i
3．已知θ是第一象限的角，若sin4θ+cos4θ=，则sin2θ等于（）
A．B．C．D．
4．已知等比数列{a n}的公比为3，且a1+a3+a5=9，则（a5+a7+a9）=（）
A．B．C．6 D．﹣6
5．下列命题中为真命题的是（）
A．若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”B．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
C．若x≠0，则x+≥2
D．直线a，b，为异面直线的充要条件是直线a，b不相交
6．若x、y满足约束条件，若z=x+2y的最大值是6，则z的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5
7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）
A ．a=4
B ．a=5
C ．a=6
D ．a=7
8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2π+2
B ．4π+2
C ．2π+
D ．4π+
9．设函数f （x ）=，若f （a ）＞f （﹣a ）+2，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．（﹣，0）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）
C ．（﹣，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若关于x 的方程（b ﹣a ）x 2+（a ﹣c ）x +（c ﹣b ）=0，有两个相等实根，则角B 的取值范围是（ ）
A ．[
，
） B ．[
，
） C ．（0，
] D ．（0，
]
11．已知双曲线
的左右焦点分别为F 1，F 2，若E 上存在点
P 使△F 1F 2P 为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数f （x ）=e |xe x |，若函数y=[f （x ）]2+bf （x ）﹣2恰有三个不同的零点，则实
数b 的取值范围是（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（﹣1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（﹣3，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．向量，满足||=2，||=1，（ +2）⊥（2﹣），则向量与的夹角
为．
14．某人对一地区人均工资x（千元）与该地区人均消费y（千元）进行统计调查，y与x
有相关关系，得到回归直线方程=0.66x+1.56．若该地区的人均消费水平为7.5千元，则该地区的人均工资收入为（千元）．
15．曲线y=1+（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4只有一个公共点时，实数k的取
值范围是．
16．已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣2=0有唯一解，则实数a的值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．
18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后贺车；在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；
（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
19．如图，已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F
分别AC，AD是上的动点，且==λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为，求此时λ的值．
20．已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限
弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、
B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．
21．已知f（x）=（x∈R）在区间[﹣1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得
不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM•MB=DF•DA．
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与
直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
2019年重庆市高考数学三模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|0＜log2x＜1}，B={y∈R|y=2﹣x2}，则A∩B=（）
A．∅B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜1=log22，即1＜x＜2，
∴A=（1，2），
由B中y=2﹣x2≤2，得到B=（﹣∞，2]，
则A∩B=（1，2），
故选：C．
2．已知（1+i）=1+3i，则复数Z=（）
A．2﹣i B．﹣2+i C．﹣1+2i D．1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】求出复数的共轭复数，然后求解复数即可．
【解答】解：（1+i）=1+3i，
可得====2+i．
复数Z=2﹣i．
故选：A．
3．已知θ是第一象限的角，若sin4θ+cos4θ=，则sin2θ等于（）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1两边平方，又根据θ是第一象限的角，判断出要求结论的符号，得到结果．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ=1，
∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，
∵sin4θ+cos4θ=，
∴2sin2θcos2θ=，
∵θ是第一象限的角，
∴sin2θ=，
故选：C．
4．已知等比数列{a n}的公比为3，且a1+a3+a5=9，则（a5+a7+a9）=（）
A．B．C．6 D．﹣6
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为3，且a1+a3+a5=9，
∴a5+a7+a9=（a1+a3+a5）q4=9×34=36，
则（a5+a7+a9）=36=﹣log336=﹣6，
故选：D．
5．下列命题中为真命题的是（）
A．若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”B．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
C．若x≠0，则x+≥2
D．直线a，b，为异面直线的充要条件是直线a，b不相交
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】逐一分析四个答案的真假，可得结论．
【解答】解：若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，故A是真命题；
“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”⇔“a=±1”，故“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故B为假命题；
若x＞0，则x+≥2，或若x＜0，则x+≤﹣2，故C为假命题．
直线a，b，为异面直线的充要条件是直线a，b不相交且不平行，
故选A
6．若x、y满足约束条件，若z=x+2y的最大值是6，则z的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划，我们可以先画出足约束条件的平面区域，再根据目标函数z=x+2y的最大值是6，求出点的横坐标即可．
【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：
∵目标函数z=x+2y的最大值是6，
可得，可得A（2，2）．
∴当x=2，y=2时，Z取最大值6，
A（2，2）在直线x=a上，可得a=2，
故选：A．
7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出满足条件的S值，模拟程序的运行结果，可得a满足的条件为5≤a＜6，结合选项即可得到答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
S=1，k=1
不满足条件k＞a，执行循环体，S=1+，k=2
不满足条件k＞a，执行循环体，S=1++，k=3
不满足条件k＞a，执行循环体，S=1+++，k=4
不满足条件k＞a，执行循环体，S=1++++，k=5
不满足条件k＞a，执行循环体，S=1+++++=1+（1﹣）+
（）+…+（﹣）=1+1﹣=，k=6
由题意，此时应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为．
故可得5≤a＜6，
故选：B．
8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．
【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱
由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π
棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，
故其高为
由此知其体积为=
故组合体的体积为2π+
故选C
9．设函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a）+2，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） C．（﹣，0）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知中函数f（x）=，结合对数的运算性质，分类讨论满足f（a）＞f（﹣a）+2的a值范围，综合可得答案．
【解答】解：若a＞0，则f（a）＞f（﹣a）+2可化为：，
即log2a＞1，
解得：a＞2，
若a＜0，则f（a）＞f（﹣a）+2可化为：，
即，
解得：＜a＜0，
综上实数a的取值范围是（﹣，0）∪（2，+∞），
故选：C
10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若关于x的方程（b﹣a）x2+（a﹣c）x+（c﹣b）=0，有两个相等实根，则角B的取值范围是（）
A．[，）B．[，）C．（0，] D．（0，]
【考点】余弦定理；二次函数的性质．
【分析】利用判别式等于0，可得a+c=2b，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出角B 的取值范围．
【解答】解：∵方程（b﹣a）x2+（a﹣c）x+（c﹣b）=0，有两个相等实根，
∴△=（a﹣c）2﹣4（b﹣a）（c﹣b）=0，
∴（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2=0
∴（a+c﹣2b）2=0
∴a+c=2b，
cosB===﹣≥，
∴B是△ABC的内角，
∴0＜B≤．
故选：D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若E上存在点
P使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，可得∠PF2x=60°，|PF2|=2c，P（2c，c），代入双曲线的方程可得
﹣=1，即可求出的值．
【解答】解：由题意，可得∠PF2x=60°，|PF2|=2c，
∴P（2c，c），
代入双曲线的方程可得﹣=1，
∴4b4﹣3a4=0，
∴=．
故选：B．
12．已知函数f（x）=e|xe x|，若函数y=[f（x）]2+bf（x）﹣2恰有三个不同的零点，则实数b的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，+∞）D．（﹣3，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数f（x）=e|xe x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值1，则要使函数y=[f（x）]2+bf（x）﹣2恰有三个不同的零点，f（x）的值一个要在（0，1）内，一个在（﹣∞，0）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解b的取值范围．
【解答】解：f（x）=e|xe x|=，
当x≥0时，f′（x）=e x+1（x+1）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=﹣e x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=e|xe x|的极大值为f（﹣1）=1．
极小值为f（0）=0．
令f（x）=m，则m2+bm﹣2=0．
要使函数y=[f（x）]2+bf（x）﹣2恰有三个不同的零点，
则m2+bm﹣2=0一根小于0，另一根大于0小于1．
∴，
解得：b＞1．
∴实数b的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．向量，满足||=2，||=1，（ +2）⊥（2﹣），则向量与的夹角为
π．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直得（+2）•（2﹣）=0，展开计算可求出，代入数量积公式即可求出夹角．
【解答】解：∵（+2）⊥（2﹣），
∴（+2）•（2﹣）=2+3﹣2=0，
即8+3﹣2=0，∴=﹣2．
∴cos＜＞==﹣1．
∴＜＞=π．
故答案为：π．
14．某人对一地区人均工资x（千元）与该地区人均消费y（千元）进行统计调查，y与x
有相关关系，得到回归直线方程=0.66x+1.56．若该地区的人均消费水平为7.5千元，则该
地区的人均工资收入为9（千元）．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据y与x具有线性相关关系，把消费水平的值代入线性回归方程，可以估计该地区的人均工资收入．
【解答】解：∵y与x具有线性相关关系，满足回归方=0.66x+1.56．
该地区人均消费水平为y=7.5，
∴可以估计地区的职工均工资水平7.5=0.66x+1.56，
∴x=9．
故答案为：9．
15．曲线y=1+（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4只有一个公共点时，实数k的取
值范围是．
【考点】函数的图象．
【分析】曲线表示一个半圆，直线经过定点A（2，4）．由圆心到直线的距离等于半径求得k的值，求出当直线经过点（﹣2，1），（2，1）时，实数k的取值，即可求得实数k的取值范围．
【解答】解：曲线y=1+（|x|≤2）即x2+（y﹣1）2=4，表示以C（0，1）为圆心、
半径r=2的半圆（圆位于直线y=1的上方（含直线y=1））．
y=k（x﹣2）+4，经过定点A（2，4）．
由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=，
当直线经过点（﹣2，1）时，直线的斜率为=，
当直线经过点（2，1）时，直线的斜率为不存在
综上所述，实数k的取值范围：．
故答案为：
16．已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣2=0有唯一解，则实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】构造函数，根据函数奇偶性的性质得到方程的根为0，解方程即可得到结论．
【解答】解：设f（x）=x2+2alog2（x2+2）+a2﹣2，
则函数f（x）为偶函数，
若方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣2=0有唯一解，
则等价为f（x）=0有唯一的解x=0，
则2alog22+a2﹣2=2a+a2﹣2=0，
得a=﹣1±，
当a=时，f（x）=x2+2（）log2（x2+2）+2﹣2在[0，+∞）上为增函数，满足条件．
当a=﹣时，f（x）=x2+2（﹣）log2（x2+2）+2+2，
f（2）=﹣2＜0，f（）=20﹣10＞0，∴此时不止一个零点，不满足条件．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，点（S n，a n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log4a n+1，c n=a n+b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）根据递推公式可得{a n}为等比数列，从而得出通项公式；
（II）求出b n，利用分项求和得出T n．
【解答】解：（I）由题意得a n+1=3S n+1，∴a n=3S n
+1（n≥2），
﹣1
两式相减得a n+1﹣a n=3a n（n≥2），即a n+1=4a n，
又a2=3a1+1=4=4a1，
∴{a n}是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴．
（II），∴，
∴．
18．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后贺车；在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；
（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分步直方图制作频率分布表，求得这20人血液中酒精含量不低于
80mg/100ml 的人数，即得所求．
（2）因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，，[80，90）范围内有2人，所有的抽法10种，恰有一人的血液酒精浓度在[80，90）范围内的情况有6种，由此求得恰有1
人属于醉酒驾车的概率．
1
故此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数为3人．
（2）因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，记为a，b，c，[80，90）范围内有2人，记为d，e，
则从中任取2人的所有情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种…．
恰有一人的血液酒精浓度在[80，90）范围内的情况有（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），共6种，…．
设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P（A）==．…．
19．如图，已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F
分别AC，AD是上的动点，且==λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为，求此时λ的值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）要证不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD 中，根据∠BCD=90°得证．
（2）根据，即可求此时λ的值．
【解答】（I）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，
所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且==λ（0＜λ＜1）
所以，不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC…
（II）解：，，．
，h=|EF|=λ•|CD|=λ，
所以
解之得…
20．已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限
弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、
B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．
【考点】椭圆的应用．
【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b，进而根据离心率和a，b和c的关系
求得a和c，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P的坐标，分别表示出
和，进而根据求得x0和y0的关系式，把点P的坐标代入椭圆方程求和
另一个关系式，联立方程求得x0和y0即P的坐标．
（2）根据（1）可知PF1∥x轴，设PB的斜率为k，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y，设出B的坐标，根据题意可求得x B的表达式，同理求得x A的表达式，
进而可知x A﹣x B的表达式，根据直线方程求得y A﹣y B，进而根据斜率公式求得直线AB的斜率，结果为定值．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1，由题意可得b=，
=，即a=c，
∵a2﹣c2=2
∴c=，a=2
∴椭圆方程为+=1
∴焦点坐标为（0，），（0，﹣），设p（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）
则=（﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣﹣y0），
∴•=x02﹣（2﹣y02）=1
∵点P在曲线上，则+=1
∴x02=，
从而﹣（2﹣y02）=1，得y0=，则点P的坐标为（1，）
（2）由（1）知PF1∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为k（k＞0），
则PB的直线方程为y﹣=k（x﹣1），由得
（2+k2）x2+2k（﹣k）x+（﹣k2）﹣4=0
设B（x B，y B），则x B=﹣1=，
同理可得，则，
y A﹣y B=﹣k（x A﹣1）﹣k（x B﹣1）=
所以AB的斜率k AB==为定值．
21．已知f（x）=（x∈R）在区间[﹣1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得
不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）==，
∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，
即x2﹣ax﹣2≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．①
设φ（x）=x2﹣ax﹣2，
方法一：φ
①⇔⇔﹣1≤a≤1，
∵对x∈[﹣1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0
∴A={a|﹣1≤a≤1}．方法二：
①⇔或
⇔0≤a≤1或﹣1≤a≤0
⇔﹣1≤a≤1．
∵对x∈[﹣1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0
∴A={a|﹣1≤a≤1}．
（Ⅱ）由，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0
∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=﹣2，
从而|x1﹣x2|==．
∵﹣1≤a≤1，∴|x1﹣x2|=≤3．
要使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[﹣1，1]恒成立，
即m2+tm﹣2≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立．②
设g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），
方法一：
②⇔g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0，g（1）=m2+m﹣2≥0，
⇔m≥2或m≤﹣2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0或m＜0，g（1）=m2+m﹣2≥0
⇔m≥2或m≤﹣2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM•MB=DF•DA．
【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；
（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．
【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…
[选修4-4；坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与
直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上
述方程即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6
t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．
（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），
把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，
（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，
当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．
所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，
所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，
即a的取值范围是（9，+∞）．
2019年7月29日。