梁的弯曲应力

校核强度: 截面设计:
max

M max WZ
[ ]
Wz

M max [ ]
确定许用荷载: Mmax Wz [ ]
23
3、梁的切应力强度校核
（1）切应力计算公式
max

F S* Qmax Z max Izb
FQmax— 梁内最大剪力
Sz*— 面积A对中性轴静矩
Iz — 截面惯性矩
6
dθ ρ
1
2
1
2
o1
o2
y
ab
1 dx 2
o'1
z
（中性轴）
a'
dx
o'2 b'
y
1
2
y
（对称轴）
纵向纤a)维线应变变化b)规律:
c)
变形前： ab o1o2 dx
变形后: ab ( y)d o1o2 dx d
ab的伸长量： S ab dx ( y)d d yd
Pa=14.4MPa
B

FQ S zB Izb

(
200103 120000109 2.29107 1012 100103
)
Pa=10.4MPa
21
(3) 求圆形截面最大的切应力
max

4 3
FQ A
(4 3
2001003 ) Pa=19.1MPa
1 π 133.52 106
1
8.4 平面弯曲杆件的应力和变形
8.4.1 基本概念 8.4.2 梁横截面上的正应力公式 8.4.3 梁的切应力 8.4.4 梁的挠度和转角
2
8.4.1 基本概念 1、平面弯曲
梁的轴线在纵向对称面内 弯曲成一条平面曲线，这 种弯曲称为平面弯曲，或 对称弯曲。
2、纯弯曲
纵对称面
F1
F2 B
对称轴 A
4
(4) 求工字钢最大的切应力
max

FQSz Izd

FQ (Iz Sz )d

(
41.8
200 103 102 16
103
)
Pa=29.9MPa
22
7.4.1 梁的强度计算
1、 正应力强度条件
max

M max WZ
[ ]
[]— 材料的许用正应力
2、 正应力强度计算
A a)
F ＝20kN
B
C
3m
3m
b)
30
M（kNm）
11
b)
பைடு நூலகம்
解： M max 30 kN·m
(1)矩形截面
30 M（kNm）
Wz1

1 6
bh2

(1 6
1001402 )
mm3=3.27×105mm3
max1

M max Wz1

(
30 103 3.27 105 109

MC y2 Iz
30103 180103 ( 186.6106 )
Pa=28.9MPa
c max

MC y1 Iz
30103 100103 ( 186.6106 )
Pa=18.1MPa
15
由计算可知，全梁最大的拉应力为 28.9MPa，发生在C截面下边缘各点处， 最大的压应力为38.6MPa，发生在B截面 下边缘各点处。
SzA

100
(70

40)

( 70
2
40

40)mm3=165000mm3
SzB
100 (70
50) (70
50 2

50)
mm3=120000mm3
A

FQ S zA Izb
200103 165000109 ( 2.29107 1012 100103 )
140 50 40
100
A
O
z
B 25
y
解:(1) 计算矩形截面梁最大的切应力
max

3 2
FQ bh

(
3 2

200 103 100 140 106
)
Pa=21.4MPa
20
(2) 计算矩形截面梁A、B点切应力
Iz

1 12
bh3

(1 12
100 1403 )
mm4=2.29×107mm4
n' FN2
b
σ '' A
Iz—整个横截面对中性轴m 的惯n 性矩；
b — 所求剪应力处的截面宽度；
h y'
y
z
b A A* b'
n
n'
y
Sz*—所求剪应力处横线一侧c部) 分面积A*对中性轴d)静17 矩
切应力沿截面高度的变化规律：
切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化，
y=±h/2, =0; y=0, =max;
30 M（kNm）
max3

M max Wz3
30 103 (2080106 )
Pa=14.4MPa
以上计算结果表明，在承受相同荷载截面面 积相同（即用料相同）的条件下，工字形截面梁 所产生的最大拉应力最小，矩形次之，圆形最大。 反过来说，使三种截面的梁所产生的最大拉应力 相同时，工字梁所能承受的荷载最大。
思考： 若将截面倒置，则 最大的拉应力和压
应力又为多少？
16
8.4.3 梁的切应力 1、矩形截面梁
切应力分布假设：
横截面上的切应力都平行于竖向边界；
切应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴
等距处大小相等
dM
S
* Z
FQ Sa'Z*
b'
FQ—横截面上剪力dFx；σN1' IAZ
b
a
τI Z' bm'
)
Pa=91.7MPa
(2)圆形截面 d=133.5mm
Wz 2

1 32
πd 3

(π 32
133.53 )
mm3=2.34×105mm3
max 2

M max Wz 2

(
30 103 2.34105 109
)
Pa=128.2MPa
12
b)
(3)工字形截面 50C Wz3 2080 cm3
b

max

3 2
FQ bh
h
y
z τ
τ max
y
a)
b)
18
3、圆形截面梁
切应力分布假设不适用
τ max
最大切应力仍发生在中性轴上:
max

FQ
S
* Z
max
Izb

FQ
d
8
2

2d
3
d 4d
4 FQ 3A
64
A—圆截面的面积
4、薄壁圆环截面梁
max

FQ S z Izb
8.1.2 应力的概念
应力：内力在一点处的分布集度
平均应力
pm=F/A
△F△ A M
pτ σ
应力
F dF p lim
A0 A dA
正应力 ：与截面垂直的应力分量 切应力 ：与截面相切的应力分量
单位：帕斯卡，符号 Pa，常用千帕（kPa）、兆帕（MPa） 及吉帕（GPa），1Pa=1N/m2
13
例6-8 一T形截面外伸梁及其所受荷载如 图所示。试求最大的拉应力及最大的压应 力。已知截面的惯性矩 Iz 186.6106 m4。
60 180
280
A M （kN .m）
F ＝50kN
q ＝20kN/m
C
B
D
2m
2m
2m
a) 40
30 b)
220
C 形心 z
y 60 c)
14
解：MC=30kN·m MB=40kN·m
面上，故MB、C截面都可能是危险 截面。
MB

Fb 2
Fb
4
M
b)
C
Fb 4
134
86
b
b
a)
Fb 2
40
180
Fb
4 b) 120
25
弯曲强度计算的步骤
（1）画出梁的剪力图和弯矩图, 确定|FQ|max和|M|max及 其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定 在同一截面；
（2）根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的
危险点的位置，分别计算危险点的应力，即max和max
（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；
（3）对max和max分别采用正应力强度条件和切应力 强度条件进行强度计算，即满足max[] , max [26]
dA E
A

ydA 0
A
ydA 0
A
推论1 : 中性轴必通过截面形心
My
z dA E
A

zydA 0
A
zydA 0Mz
A
推论2 : z 轴为主惯性轴
M
y dA E
A

y2dA
A
其中
Iz=
y2dA
A

1 M EIz

FQ

S
z
Iz 2t

FQ 2R02t πR03t 2t

2
FQ A
A—薄壁圆环截面的面积
t
A
z y d
R0
19
y
例6-9 一矩形截面梁如图所示， 该梁某一截面上所受的剪力 FQ=200kN，试计算该截面最 大的切应力及A、B点的切应 力。若分别改用截面面积相同 圆形截面（d=133.5mm）和工 字形截面（50C），试求最大 的切应力。
40
180
F
q
＝
F b
A
C
B
D
b
b
b
a)
Fb 2
M
134
86
120
C 形心 z
y 40
Fb
4 b)
c)
29
b
解：（1）作弯矩图并判断危险截面
M
铸铁梁截面关于中心轴不对称，
中心轴到上下边缘的距离分别
为
F
q
＝
F b
y1=134Amm, y2C=86mm B
D
全梁的最大拉应b 力和最b 大的压b应
力点不一定都发生在最a) 大弯Fb矩截 2
ab的线应变: S yd y dx d
7
2、物理方面（弹性）
中性轴
E Ey
a)
b)
c)
3、静力学方面 (合力矩定理、合力定理)
FN A dA 0
My
zdA 0
A
Mz
Mz
ydA M
A
z
x
y
σ dA
y
8
FN
FR A
aF
A
C
FR B 梁变形后轴线
Fa
D
B
纯弯曲——梁弯曲时，各 横截面上只有弯矩而无剪 力的情况。
F FQ
F
M
3
Fa
8.4.2 梁横截面上的正应力公式
8.4.2.1 纯弯曲时的正应力
几何方面
物理方面
导出 应力计算公式
静力学方面
4
1、几何方面
要找出梁横截面上正应力 M
变化规律，须先找出纵向
线应变在该截面上的变化
形后梁轴线,只绕横截面内某轴(中纵性线 轴)转1 d一x 2角度 单向(纵向)受力假设: 变形后各纤维之a) 间互不挤压,
只受拉伸或压缩作用. M
M
中性层: 梁内既不伸长
b)
也不缩短的纵向纤维层 M
中性轴(z轴): 中性层与 各横截面的交线,垂直 于横截面的对称轴y
中性层
c)
z（中性轴） M
y
（对称轴）
(1) B截面
M （kN .m）
40 30 b)
t max

M B y1 Iz

(
40
103 100103 186.6 106
)
Pa=21.4MPa
c max

M B y2 Iz

(
40
103 180103 186.6 106
)
Pa=38.6MPa
(2) C截面
t max
规律。
M
横线 12
纵线
1 dx 2
a)
b)
M
z（中性轴） M
梁变形后现象：
中性层
c)
y
（对称轴）
各横向线仍为直线,只倾斜一角度
各纵向线弯成曲线,上部纵向线缩短,下部纵向线伸长
纵向线伸长区梁宽减小;纵向线缩短区梁宽增大 5
由观察变形而得的假设: 横线
平面假设: 横截面变形后仍保持平面,且1 仍2垂直于变
例7-4 如图所示一简支梁及其所受的荷载。 设材料的许用正应力[σ]＝10 MPa，梁的截 面为矩形，宽度b＝80 mm，试求所需的截 面高度。
h
10kN.m
A
B
z
2m
b
27
解：（1）由正应力强度条件确定截面高度
该梁的最大弯矩为
M max

1 8
ql 2

(1 8
10 22 )
kN·m=5kN·m
EIz — 梁的弯曲刚度
正应力计算公式
z
x
y
σ dA
y
Ey EyM My EIz Iz
My IZ
M — 横截面上的弯矩 y — 所计算点到中性轴的距离 Iz — 截面对中性轴的惯性矩9
最大正应力 危险截面: 最大弯矩所在截面 Mmax
危险点：距中性轴最远边缘点 ymax
b — 截面宽度或腹板厚度
（2）切应力强度条件
max

F S* Q max z max
Izb


[] —材料弯曲时许用切应力
24
说明
设计梁时必须同时满足正应力和切应力 的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条 件是主要的，一般按正应力强度条件设计， 不需要校核切应力强度，只有在个别特殊情 况下才需要校核切应力强度。
max

M max Iz
ymax
令Iz /ymax=Wz ,则max=Mmax/Wz
Wz —弯曲截面系数
应力正负号确定
M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉;
M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.
在拉区为正，压区为负
10
例6–7 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分 别采用截面面积相同的矩形截面、圆形截面和 工字形截面，试求以上三种截面梁的最大拉应 力。设矩形截面高为140mm，宽为100mm，面 积为140×100 mm2。
Wz ≥
M max
[ ]
(150110036 )
m3=5×10-4m3
对于矩形截面
Wz

1 6
bh2
h ≥（ 6 5104 ）m=0.194m 0.08