第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
方向向量为u,平面α的法向量为n,则 sin θ=|cos<u,n>|=
u·
|u|||
离就是在直线 l 上的投影向量的长度.因此 PQ=

·
||
=
·
||
=
| ·|
.
||
常用结论
最小角定理:cos θ=cos θ1cos θ2.
如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为
平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所
题组三 连线高考
7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( D )
√3
A.
2
√10
B.
10
3
C.
5
2
D.
5
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空
是向量a,b的夹角.( × )
3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b
的夹角的大小.( × )
4.利用||2= ·可以求空间中有向线段的长度.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正
解析 由题得,B(1,0,0),B1(1,0,2),C(0,1,0),
∴ 1 =(0,0,2), =(-1,1,0).
·1 = 2 = 0,
设平面 BCC1B1 的法向量为 n=(x,y,z),∴
· = - + = 0.
取 x=1,则 y=1,z=0,∴n=(1,1,0)为平面 BCC1B1 的一个法向量.
BCC1B1的距离为1.
(1)证明:A1C=AC;
(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.
∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
∴A112 +A1C2=C12 ,即 1+x2+1+(2-x)2=4,解得 x=1,
2
2
∴A1C= 1 + = √12 + 12 = √2,
AC=
2
2
1 -1
=
22 -(√2)2 = √2,故 A1C=AC.
(2)解 (方法1)连接BA1.
∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=B12 ,
在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2,又AC=A1C,∴AB=BA1.
过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,
则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2.
∴A1D=1,A1B= 1 2 + 2 = √5,∴BC= 1 2 -1 2 = √3,
cos θ=|cos<n1,n2>|=
1 · 2
| 1 || 2 |
=
| 1 · 2 |
.
| 1 || 2 |
误区警示利用公式求二面角的平面角时,要注意<n1,n2>与二面角大小的关
系是相等还是互补,需要结合图形进行判断.
3.利用空间向量求距离
(1)点到直线的距离
如图,直线 l 的单位方向向量为 u,向量 在直线 l 上的投影向量为 ,则△APQ
则
· = + = 0,
· =
1

2
取 y=-2,可得 x=2,z=1,∴n=(2,-2,1),
+ = 0,
∴点 M 到截面 ABCD 的距离
|·|
d=
||
=
2
22 +(-2)2 +12
=
2
.
3
第1课时
线线角与线面角
研考点
精准突破
考点一
异面直线所成的角
例 1(2024·河北石家庄模拟)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形
2
2
1
1
2 2 1
(1)1 =(-1,-1,- ),u=
=(- ,- ,- ),1 1 =(0,-1,0).设
2
3 3 3
|1 |
a=1 1 =(0,-1,0),
2
∴a =1,a·
u= ,∴点 A1 到直线 B1E 的距离为 2 -(·)2
3
1
1
(2)∵ =(-1,0,2),1 =(-1,0,2),∴ = 1 ,∴AE∥FC1,
固本增分
知识梳理
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l
上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,
使得 O=λa.
把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法
- 10
4
2
=
√30
5
.
√5
3
.
6.(人教A版选择性必修第一册习题1.4第2题改编)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC, AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示空间直角坐
(1,1,0)(答案不唯一)
标系,则平面BCC1B1的法向量为______________________.
|cos<, >|=
||||
=
12
2√6×3√6
=
1
.
3
[对点训练 1]
如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,
=λ ,0≤λ≤1,若异面直线 D1E 和 A1F
1
__________.
3
3 √2
所成角的余弦值为 ,则
2025
高考总复习
第6节 空间角与距离的计算
课标解读
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面
的夹角.
3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、
相互平行的平面间的距离问题和夹角问题.体会向量方法在
研究几何问题中的作用.
目录索引
1
2
强基础
方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.则
√5
(1)点A1到直线B1E的距离为__________;
3
√30
(2)直线FC1到直线AE的距离为__________.
5
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则
1
1
A1(1,0,1),B1(1,1,1),E(0,0, ),F(1,1, ),C1(0,1,1),A(1,0,0).
由(1)知 AC=A1C=A1C1=√2,取 A1A 中点 E,连接 BE,则 BE⊥A1A.
∴BE=2,∴AB=√5,则 BC=√3.
√2
√2
则 A(√2,0,0),A1(0,0,√2),C1(-√2,0,√2),O(- ,0, ),B1(-√2, √3, √2).
2
4
19
=
=
∴点 F 到直线 AE 的距离即为直线 FC1 到直线 AE 的距离.

2√5 √5
1
u= =(- 5 ,0, 5 ), =(0,1,2).设
||
∴直线 FC1 到直线 AE 的距离为
1
√5
2 5
a= =(0,1,2),∴a =4,a·
u=10,
2 -(·)2
=
5 √5
成的角,即线面角,θ2为直线OB与OC所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.设a,b是异面直线l1,l2的方向向量,则直线l1与l2所成的角就是向量a,b的夹
角.( × )
2.设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α所成的角就
则B(6,0,0),C(6,6,0),P(0,0,6),E(3,6,0),F(0,0,3),
由=2 ,得 =
2

3
=
2
(6,6,-6)=(4,4,-4),
3
则 H(4,4,2),故=(-2,4,2), =(3,6,-3),
所以异面直线 BH 与 EF 所成角的余弦值为
|·|
=
|u·|
.
|u|||
线面角与两个向量所成的锐角是互余的关系
(3)平面与平面的夹角
平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的
二面角称为平面α与平面β的夹角.
若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2
的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则
向量.
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.利用空间向量求角
(1)异面直线所成的角
两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求
得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则
cos θ=|cos<u,v>|=
u·v
|u||v|
=
|u·v|
.
|u||v|
如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,
又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.
∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.
∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.
又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.
又CC1=AA1=2,
设 CO=x,则 C1O=2-x,则 A112 =A1O2+C1O2=1+(2-x)2,A1C2=A1O2+CO2=1+x2,
2
顶点,那么点M到截面ABCD的距离是__________.
3
解析 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
可得 A(0,0,0),B(1,1,0),D
1
0, ,1
2
∴ =(0,1,0), =(1,1,0), =
,M(0,1,0),
1
0, 2 ,1
.
设 n=(x,y,z)为平面 ABCD 的法向量,
∴AB1= (2√2)2 + (√2)2 + (√3)2 = √13,
易知 A 到平面 BCC1B1 的距离 d=1,
则 AB1 与平面

BCC1B1 所成角的正弦值为
1
=
1
√13
=
√13
13
.
(方法2 空间向量法)
∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.
如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.
是直角三角形,设向量=a,点 P 到直线 l 的距离为
2
2 -(·

)
PQ= || -| | =____________________.
2
2
(2)点到平面的距离
已知平面 α 的法向量为 n,A 是平面 α 内的定点,P 是平面 α 外一点.过点 P 作平
面 α 的垂线 l,交平面 α 于点 Q,则 n 是直线 l 的方向向量,且点 P 到平面 α 的距
10
λ 的值为
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的
空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0).
所以1 =(0,2,-1),1 = 1 + = 1 +
ABCD 是正方形,PA=AB,H=2H ,E,F 分别是棱 CD,PA 的中点,则异面直线 BH
与 EF 所成角的余弦值是( A )
1
A.
3
√3
B.
3
√6
C.
3
2√2
D.
3
解析 以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
令PA=AB=6,而E,F分别是棱CD,PA的中点,
间直角坐标系.
则M
所以
1
1, 2 ,1
,N
1
1,1, 2
,A(1,0,0),C(0,1,0),所以 =
·
cos<, >=
||||
=
1
2
1 2 +12 × 12 + 1
2
2
2
1
0, 2 ,1Leabharlann 122= 5 = 5.
4
, =
1
1,0, 2
,
8.(2005·辽宁,14)如图,正方体的棱长为1,C,D分别是两条棱的中点,A,B,M是
=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2),0≤λ≤1,
|1 ·1 |
所以|cos<1 , 1 >|=
|1 ||1 |
解得
1
λ= 或
3
1
λ=- (舍去).
3
=
2
2 2 +1× √5
=
3√2
,
10
考点二
直线与平面所成的角
例2(2023·全国甲,理18)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面