人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量的数字特征(课件 共31张PPT)

(2)假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同,现从两家公司各随机
抽取一名“快递小哥”,并记录其100天的送货单数,得到如下条形图.若将频
率视为概率,回答下列问题:
①记乙快递公司的“快递小哥”的日工资为X(单位:元),求X的散布列和均
值;
②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作,如果仅从日收入
(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,
则P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)
(300≤<900)
=
(≥300)
=
0.6
0.7
=
6
.
7
故在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6
3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( × )
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回
事.( × )
(3)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( × )
=
4
C8
C12 C12 C12 C12
8
P(X=1)=
= ,
4
35
C8
C24 C22 C22
3
P(X=2)= 4 = ,
35
C8
P(X=-1)=
故 E(X)=-1×
24
,
35
24
8
3
2
+1×
+2×
=.
35
35
35 7
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
离散型随机变量的均值与方差
例1 已知随机变量X的散布列为
(4)离散型随机变量的方差反应了随机变量偏离均值的平均程度.( √ )
(5)若 a,b 为实数,则 ( + )=a ().( × )
2.已知 X 的分布列为
X
-1
0
1
2
P
1
4
3
8
1
4
1
8
则 X 的均值为( D )
A.0
E(X)=-1×
1
C.8
B.-1
1
3
1
1
+0×
+1×
+2×
4
8
4
8
=
则E(X)=1×0.2+2×0.1+3×0.2+4×0.5=3,
D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.1+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.5=1.4.
因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=7,D(Y)=4D(X)=5.6.故选BD.
能力形成点2
离散型随机变量的均值与方差的应用
解得 m=n= .
3
1
2
2
2
2
故 D(X)= ×[(1-2) +(2-2) +(3-2) ]= .
3
3
4.已知X的散布列为
设Y=2X+3,则E(Y)的值为
1
1 1
∵E(X)=-2 + 6=-3,
X
-1
0
1
P
1
2
1
3
1
6
7
3
2
7
∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3.
.
5.在一个袋中放入四种不同颜色的球,每种颜色的球各2个,这些球除颜色
1
a=4,则
X2
0
1
P
1
4
3
4
E(X)=(-1)×
1
1
1 1
+0× 4+1× 4=-4.
2
1 2
-1 + 4
1
1 2
1
故 D(X)=
× 2 + 0 + 4 × 4+
1
11
(3)因为 Y=4X+3,E(X)=-4,D(X)=16,
所以 E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
1 2 1
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的散布列为
Y
P
0
0.3
2
0.4
6
0.2
10
0.1
所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
202X
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第十一章
11.4 离散型随机变量的数字特征
课标要求
1.理解离散型随机变量的均值、方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
3.理解均值和方差的性质,并能解决一些相关问题.
外完全相同.现玩一种游戏:游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球,若抽
出的4个球恰含两种颜色,则获得2元奖金;若抽出的4个球恰含四种颜色,则
获得1元奖金;其他情况游戏参与者需交费1元.设某人参加一次这种游戏的
2
收益为X,则E(X)=
.
7
由题意知 X 的可能取值为-1,1,2,
C14 C22 C23 C12 C12
1
.
4
1
D.4
3.(多选)(2020 山东济宁期末)已知随机变量 X 的分布列如表,且 E(X)=2,则下
列说法正确的是( BC )
X
P
1
1
A.m=2,n=6
1
1
B.m=3,n=3
2
C.D(X)=3
1
D.D(X)=2
1
m
2
3
n
1
3
1
1
由已知得 m+n+ =1,E(X)=m+2n+3× =2,
3
3
1
6
天的概率是7.
解题心得在实际问题中求离散型随机变量的均值与方差,要先根据实际情
境,理解随机变量的含义,进而写出随机变量的所有可能取值,再求出随机
变量取每个值的概率,求解时注意排列组合、古典概型等知识的运用,最后
利用均值、方差的定义,求出均值、方差.
对点训练2
某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1 小
1
则 P(X=0)= × = ,P(X=40)= × + × = ,
4
6
24
4 3
2 6
4
1
1
1
2
1
1
5
1 1
1 2
P(X=80)= × + × + × = ,P(X=120)= × + ×
4
6
2
3
4
6
12
2 6
4 3
1
1
1
P(X=160)= × = .
4
6
24
所以 X 的分布列为
X
P
0
40
80
120
(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
解 (1)由已知条件和概率的加法公式,得
P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的散布列如表所示,
X
x1
x2
…
xn
P
p1p2…来自pn则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= ∑ xipi 为随机变量 X 的均值或数学期望,数
温馨提示随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的
偏离程度,反应了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量
的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
问题思考
随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有怎样的关系?
随机变量的均值、方差是一个常数,而样本均值、方差是随机变量,随着
对点训练1
(多选)已知离散型随机变量X的散布列为
X
P
1
0.2
2
0.1
3
0.2
4
q
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的有( BD )
A.q=0.2
B.E(X)=3,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=7,D(Y)=5.6
由已知得q=1-0.2-0.1-0.2=0.5.
1+4 × 4
=
11
.
16
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的散布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
2.注意均值、方差性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),方差为D(X),则
随机变量aX+b的均值为aE(X)+b,方差为a2D(X).
率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称

D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= ∑ (xi-E(X))2pi 为随机变量 X
=1
的方差,有时也记为 Var(X),并称 D(X)为随机变量 X 的标准差,记为 σ(X).
观测次数的增加或样本量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、
方差.
3.离散型随机变量的均值与方差的性质
(1)E(aX+b)= aE(X)+b .
(2)D(aX+b)= a2D(X) .
1.如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
2.E(X+Y)=E(X)+E(Y).
4 6
24
1 2
1
两人都付 40 元的概率 P2=2 × 3 = 3,
1 1
1
两人都付 80 元的概率 P3= × = ,
4 6
24
故两人所付费用相同的概率
1
1
1
P=P1+P2+P3=24 + 3 + 24
=
5
.
12
(2)由题意可知 X 的可能取值为 0,40,80,120,160,
1
1
1
1 2
1 1
160
1
24
1
4
5
12
1
4
1
24
=
1
,
4
1
1
5
1
1
E(X)=0× 24+40× 4+80× 12+120× 4+160× 24=80.
1
5
1
2
2 1
2
2 1
2
D(X)=(0-80) × +(40-80) × +(80-80) × +(120-80) × +(160-80) ×
24
4
12
4
24
4 000
时免费,超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1
小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过 1 小
1 1
1 2
时离开的概率分别为 , ;1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 , ;
4 6
2 3
两人滑雪时间都不会超过 3 小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
6-170, > 45,∈N* .
(2)①由已知得 X 的可能取值为 100,106,118,130,
10+10
例2 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的
影响如下表:
降水量 X
工期延误天数 Y
X<300
0
300≤X<700
2
700≤X<900
6
X≥900
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分
别为0.3,0.7,0.9.求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
解:(1)甲快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n的函
数解析式为y=f(n)=70+n,n∈N*.
乙快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n的函数解析
式为
y=g(n)=
100, ≤ 45,∈N* ,
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X,求X的散布列、均值
E(X)与方差D(X).
解 (1)若两人所付费用相同,则相同的费用可能为 0 元、40 元、80 元.
由题意可知甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为
1
1
1-4 − 2
=
1 1
2
,1−
4 6
3
=
1
.
6
1 1
1
则两人都付 0 元的概率 P1= × = ,
= 3 .
第三环节
学科素养提升
均值与方差在决策中的应用
典例 甲、乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下:甲公司规
定底薪70元,每单抽成1元;乙公司规定底薪100元,每日前45单无抽成,超过
45单的部分每单抽成6元.
(1)设甲、乙快递公司的“快递小哥”的日工资y(单位:元)与日送货单数n
的函数解析式分别为y=f(n),y=g(n),求f(n),g(n);
X
-1
0
1
P
1
2
1
4
a
(1)求X2的散布列;
(2)求X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
1
1
解 (1)由题意知 + +a=1,解得
2
4
1
2
故 P(X =0)=P(X=0)= ,
4
3
2
P(X =1)=P(X=-1)+P(X=1)= ,
4
1
a= .
4
所以 X2 的分布列为
(2)由(1)知