{3套试卷汇总}2018年河北省名校九年级上学期数学期末学业水平测试试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是( )
A．64 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，
则：S=1
2
AC•BD=
1
2
x（16-x）=-
1
2
（x-8）2+32，
当x=8时，S最大=32；
所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，
故选D．
【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2．下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．平行四边形对角线相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．如果a＞b，那么a2＞b2
【答案】C
【解析】根据绝对值的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，不等式的性质判断即可．
【详解】A、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故错误；
B、平行四边形对角线不一定相等，故错误；
C、两直线平行，同旁内角互补，故正确；
D、如果a＝1＞b＝﹣2，那么a2＜b2，故错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了绝对值，不等式的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【详解】由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×2=4cm.
考点：含30°的直角三角形的性质.
4．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
【答案】D
【详解】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
∵AD=DE，
∴AD DE
=，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；
∵AD2=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；
∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：AC=BD：AB，
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，
故选：D．
考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定
5．下列根式是最简二次根式的是()
A
2B50C
2
7
D22
【答案】D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A
2
2
2
=，不符合题意；
5052
=
C.214
77
=，不符合题意；
D.22是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义
.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：()1被开方数不含分母；()2被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．如图，ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则ADE的面积为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，可得S ADE=1．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
1
=
2 AD
AB
，
∴△ADE∽△ABC，
∴S ADE：S△ABC=1：4
∵△ABC的面积为12
∴S ADE=1.
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是()
A．sinA=3
5
B．cosA=
3
5
C．tanA=
3
5
D．cosA=
4
5
【答案】B
【分析】利用勾股数求出BC=4，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴sinA=45，故A 错误； cosA=35
，故B 正确； tanA=43
，故C 错误； cosA=35
，故D 错误； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A ．2(4)6y x =--
B ．2(1)3y x =--
C ．2(2)2y x =--
D ．2(4)2y x =--
【答案】D
【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-，
所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．已知反比例函数7y x
=-图像上三个点的坐标分别是()()()1232,1,2,A y B y C y -、、，能正确反映123y y y ，，的大小关系的是（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．213y y y >>
D ．231y y y >>
【分析】根据反比例函数关系式，把－2、1、2代入分别求出123、、y y y ，然后比较大小即可.
【详解】将A 、B 、C 三点横坐标带入函数解析式可得12377722y y y =
=-=-，，， ∵77722
>->-， ∴132y y y >>.
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标，正确利用函数表达式求点的坐标是解题关键.
10．在Rt △ABC 中，∠90C =︒，如果4AC =，3BC =，那么cos A 的值为（ ）
A ．45
B ．35
C ．43
D ．34
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出AB 的长度，从而cos AC A AB =
可求. 【详解】∵∠90C =︒，4AC =，3BC =
∴2222435AB AC BC +=+= ∴4cos 5
AC A AB =
= 故选A
【点睛】
本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
11．下列事件是随机事件的是（ ）
A ．在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾
B ．购买一张福利彩票就中奖
C ．有一名运动员奔跑的速度是50米/秒
D ．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【答案】B
【解析】根据事件的类型特点及性质进行判断.
【详解】A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、是不可能事件，选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.
12．已知二次函数y＝x2﹣6x+m（m是实数），当自变量任取x1，x2时，分别与之对应的函数值y1，y2满足y1＞y2，则x1，x2应满足的关系式是（）
A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|
【答案】D
【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得到|x1-3|＞|x2-3|．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=-
-6
21
=3,
∵y1＞y2，
∴点（x1，y1）比点（x2，y2）到直线x=3的距离要大，
∴|x1-3|＞|x2-3|．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC 长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
【答案】2
【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．
【详解】解：根据题意可知
当小颖在BG处时，CBG CAP
△△
∴BG CB AP CA =，即1.514
AP = ∴AP=6 当小颖在DH 处时, EDH
EAP △△ ∴DH DE AP AE =，即1.5633
DE DE =++ ∴1.596DE DE +=
∴DE=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等． 14．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．
【答案】1：1
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们对应角的角平分线之比为1：4=1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
15．如图，从一块直径为12cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为90︒的扇形ABC ，使点,,A B C 在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________cm ．
【答案】322 【分析】连接BC ，根据圆周角定理求出BC 是⊙O 的直径，BC=12cm ，根据勾股定理求出AB ，再根据弧长公式求出半径r.
【详解】连接BC ，
由题意知∠BAC=90°，
∴BC 是⊙O 的直径，BC=12cm ，
∵AB=AC ，
∴222AB BC =,
∴2
12622
AB ==（cm ）， 设这个圆锥的底面圆的半径是rcm ，
∵2BC l r π=，
∴90622r ππ⨯=， ∴r=322
（cm ）， 故答案为：
322.
【点睛】
此题考查圆周角定理，弧长公式，勾股定理，连接BC 得到BC 是圆的直径是解题的关键.
16．已知m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣4＝0的一个根，则2m 2﹣4m ＝_____．
【答案】8
【分析】根据方程的根的定义，将m 代入方程得2240m m --=，仔细观察可以发现，要求的代数式分解因式可变形为()
222m m -，将方程二次项与一次项整体代入即可解答.
【详解】解：将m 代入方程可得2240m m --=， ∴224m m -=，
()2224228m m m m ∴-=-=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义和代数求值，运用整体代入的数学思想可以方便解答。

17．如图，已知点A 是双曲线y ＝1
x
在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x （k ＜0）上运动，则k 的值是_____．
【答案】-1．
【分析】连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，设A 点坐标为（a ，1a
），利用反比例函数的性质得到点A 与点B 关于原点对称，则OA ＝OB ，再根据等腰直角三角形的性质得OC ＝OA ，OC ⊥OA ，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO ＝∠AOE ，则根据“AAS ”可判断△COD ≌△OAE ，所以OD ＝AE ＝
1a ，CD ＝OE ＝a ，于是C 点坐标为（
1a ，﹣a ），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C 点所在的函数图象解析式．
【详解】解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，
设A 点坐标为（a ，1a
）， ∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝
1a 的交点， ∴点A 与点B 关于原点对称，
∴OA ＝OB
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴OC ＝OA ，OC ⊥OA ，
∴∠DOC+∠AOE ＝90°，
∵∠DOC+∠DCO ＝90°，
∴∠DCO ＝∠AOE ，
在△COD 和△OAE 中，
DCO AOE CDO AEO OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COD≌△OAE，
∴OD＝AE，CD＝OE，
∴点C的坐标为（1
a
，﹣a），
1
a
×（﹣a）＝﹣1，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题是一道综合性较强的题目，用到的知识点有，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力.此类题目往往需要借助辅助线，使题目更容易理解. 18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则tan ABC
∠=______.
【答案】1 2
【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．
【详解】连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝2，AB＝22，
则tan∠ABC＝
1
2 AC
AB
=，
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为．
【答案】（1）答案见解析；（2）1．
【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．
【详解】解：（1）作法如下：
①作线段AB的垂直平分线，
②作线段BC的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；
（2）连接OA，OC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵AC＝1，
∴OA＝OC＝1，即圆的半径是1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．
20．已知：AB为⊙O的直径．
（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；
（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为三角形．
【答案】（1）见解析；（2）等边．
【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；
（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以
∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．
【详解】解：（1）如图，CD为所作；
（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，
∵CD垂直平分OB，
∴OC＝CB，DO＝DB，
∴OC＝BC＝OB＝BD，
∴△OCB、△OBD都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．
21．一个不透明的口袋中有1个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，1．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【答案】（1）1
2
；（2）
2
3
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，
然后根据公式求解．
【详解】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率2142==； 故答案为12
； （2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率82123
=
=． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式． 22．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(1
0)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC △的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值; （3）点Q 为抛物线上一点，若8QAB S =，求出此时点Q 的坐标.
【答案】（1）223y x x =--；（2）(1,2)P -，1032（3）1(122,4)Q - ，
2(122,4)Q + ，3(1,4)Q - 【分析】(1)把(1
0)A -，、(30)B ，代入抛物线2
y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC △的周长;
(3)根据△QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解. 【详解】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩
解得23b c =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线的解析式为：2
23y x x =--;
(2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,
∵223y x x =--
∴C(0,-3),对称轴x=1
设直线BC 为y=kx+b,
把(30)B ，
, C(0,-3)代入y=kx+b 求得k=1,b=-3, ∴直线BC 为y=x-3
令x=1，得y=-2，
∴P （1，-2），
∴PAC △的周长=AC+AP+CP=AC+BC=[]22(10)0(3)--+--+[]2
2(30)0(3)-+--=1032+;
(3)∵△QAB 的底边为AB=4, 182
QAB S
AB H =⨯= ∴三角形的高为4,
令y =4，即2234x x --=± 解得x 1=122-2=122+3=1
故点Q 的坐标为1(122,4)Q - ， 2(122,4)Q + ，3(1,4)Q -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.
23．某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．
（1）求y 与x 之间的关系式；
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？
【答案】（1）y=600-5x （0≤x ＜120）；（2）7到13棵
【分析】（1）根据增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，然后根据函数关系式y=-5x 2+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．
【详解】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：
y=600-5x （0≤x ＜120）；
（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，
则w=（600-5x ）（100+x ）
=-5x 2+100x+60000
当y=-5x 2+100x+60000=60420时，
整理得出：x 2-20x+84=0，
解得：x 1=14，x 2=6，
∵抛物线对称轴为直线x=1002(5)
-⨯-=10， ∴增种7到13棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键． 24．如图，双曲线11k y x
=（0x >）与直线22y k x b =+交于点(2,4)A 和(,2)B a ，连接OA 和OB ．
（1）求双曲线和直线的函数关系式．
（2）观察图像直接写出：当12y y >时，x 的取值范围．
（3）求AOB ∆的面积．
【答案】（1）18y x
=
，26y x =-+；（2）02x <<或4x >；（3）6 【分析】（1）把点A 坐标代入11k y x =可求出双曲线的关系式，进而可得点B 坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x 的取值范围即可；
（3）过点A 作x 轴平行线交y 轴于点C ，过点B 作y 轴平行线交x 轴于点D ，所作两直线相交于E ，如图，利用AOB ODEC AOC BOD ABE S S S S S =---代入数据计算即可．
【详解】解（1）∵点()2,4A 在双曲线上11k y x =
上， ∴1248k =⨯=，
∴18y x
=， ∵点(),2B a 也在双曲线18y x =
， ∴4a =，
∵点()2,4A 和点()4,2B 在直线22y k x b =+上，
∴22
2442k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线关系式为26y x =-+；
（2）当12y y >时，x 的取值范围是：02x <<或4x >；
（3）过点A 作x 轴平行线，交y 轴于点C ，过点B 作y 轴平行线，交x 轴于点D ，所作
两直线相交于E ，如图，则点E （4，4），
∴AOB ODEC AOC BOD ABE S S S S S =---11
1442424226222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键．
25．天猫商城某网店销售童装，在春节即将将来临之际，开展了市场调查发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件；如果每件童装降价1元，那么平均每天可售出2件.
（1）假设每件童装降价x 元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用含x 人代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最多？每天最多盈利多少元？
【答案】（1）20+2x ，40x -；（2）降价为15元时，盈利最多为1250元
【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，
故答案为：（20+2x ），（40-x ）；
（2）设每件童装降价x 元，盈利y 元，
根据题意得，y=（20+2x ）（40-x ）=-2x 2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
答：每件童装降价15元时，每天可获得最多盈利，最多盈利是1250元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
26．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为BD的中点，且BD＝8，AC＝9，
sinC＝1
3
，求⊙O的半径．
【答案】⊙O的半径为25
6
．
【解析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。

【详解】解：如图，连接OA．交BC于H．
∵点A为BD的中点，
∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，
∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵
1AH
sin C
3AC
==，AC＝9，
∴AH＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，
∴r＝25
6
，
∴⊙O的半径为25
6
．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C；D（）；
②⊙D的半径＝（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为；（结果保留π）
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．
【答案】（1）①答案见解析；②答案见解析；（2）①C（6，2）；D（2，0）；②25；③5
4
π；④相切，
理由见解析．
【分析】（1）①按题目的要求作图即可②根据圆心到A、B、C距离相等即可得出D点位置；（2）①C（6，2），弦AB，BC的垂直平分线的交点得出D（2，0）；
②OA，OD长已知，△OAD中勾股定理求出⊙D的半径=25；
③求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积；
④△CDE中根据勾股定理的逆定理得∠DCE=90°，直线EC与⊙D相切．
【详解】（1）①②如图所示：
（2）①故答案为：C（6，2）；D（2，0）；
②⊙D的半径2216425
OA OD
++=
故答案为：5
③解：22
2+6=2105
AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°．
扇形ADC的弧长9025
5π
π
⨯
圆锥的底面的半径
5，
圆锥的底面的面积为π（5）2=5
4
π
；
故答案为：5
4π；
（4）直线EC与⊙D相切．
证明：∵CD2+CE2=DE2=25，）
∴∠DCE=90°．
∴直线EC与⊙D相切．
【点睛】
本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，圆的圆心D是关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．圆B．正方形C．矩形D．平行四边形
【答案】D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．
2．如图，若x为正整数，则表示
()2
2
21
441
x
x x x
+
-
+++
的值的点落在（）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵
22
22
(2)1(2)1
441(2)1
x x
x x x x x
++
-=-=
+++++
1
1
11
x
x x
-=
++
．
又∵x为正整数，∴1
21
x
x
≤
+
＜1，故表示
2
2
(2)1
441
x
x x x
+
-
+++
的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
3．如图，在△ABC中，cosB＝2
，sinC＝
3
5
，AC＝5，则△ABC的面积是()
A．21
2
B．12 C．14 D．21
【答案】A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=
2
2
，sinC=
3
5
，AC=5，
∴cosB=
2
2
=
BD
AB
，
∴∠B=45°，
∵sinC=3
5
=
AD
AC
=
5
AD
，
∴AD=3，
∴CD=22
53
=4，∴BD=3，
则△ABC的面积是：1
2
×AD×BC=
1
2
×3×（3+4）=
21
2
．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．4．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB′：OB为（）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
【答案】A
【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC 的相似比为2：3， ∴23OB OB '= ， 故选A ．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
5．如图，点A ，B 为直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x
=
（0x >）于C 、D 两点.若2BD AC =，则224OC OD -的值为（ ）
A ．12
B ．7
C ．6
D ．4
【答案】C 【分析】延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．设A 、B 的横坐标分别是a ，b ，点A 、B 为直线y=x 上的两点，A 的坐标是(a ，a)，B 的坐标是(b ，b)．则AE=OE=a ，BF=OF=b ．根据BD=2AC 即可得到a ，b 的关系，然后利用勾股定理，即可用a ，b 表示出所求的式子从而求解．
【详解】延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．
设A 、B 的横坐标分别是a ，b ．
∵点A 、B 为直线y=x 上的两点，
∴A 的坐标是(a ，a)，B 的坐标是(b ，b)．则AE=OE=a ，BF=OF=b ．
∵C 、D 两点在交双曲线1y x =
(x ＞0)上，则CE 1a =，DF 1b =， ∴BD=BF ﹣DF=b 1b
-
，AC=a 1a -． 又∵BD=2AC ， ∴b 1b -
=2(a 1a
-)， 两边平方得：b 221b +-2=4(a 221a +-2)，即b 221b +=4(a 221a
+)﹣1． 在直角△OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2=a 221a +，同理OD 2=b 221b
+， ∴4OC 2﹣OD 2=4(a 221a +)﹣(b 221b +)=1． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．6．圆心角为140°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm1．
A．πB．3πC．9πD．6π
【答案】D
【解析】试题分析：扇形面积的计算公式为：
2
π2409
S6π
360360
n rπ
⨯⨯
===，故选择D．
7．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）
A．70°B．80°C．110°D．140°
【答案】C
【解析】分析：作AC对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．
详解：作AC对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P=1
2
∠AOC=
1
2
×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的
方向依次不断移动，每次移动1m ．其行走路线如图所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，…，第n 次移动到A n ．则△OA 2A 2018的面积是（ ）
A ．504m 2
B ．10092m 2
C ．10112m 2
D ．1009m 2
【答案】A 【分析】由OA 4n =2n 知OA 2017=
20162
+1=1009，据此得出A 2A 2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】由题意知OA 4n =2n ， ∴OA 2016=2016÷2=1008，即A 2016坐标为(1008，0)，
∴A 2018坐标为(1009，1)，
则A 2A 2018=1009－1=1008(m)，
∴22018OA A S ＝12⨯A 2A 2018×A 1A 2＝12
×1008×1＝504(m 2). 故选：A.
【点睛】
本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
9．若点()1,3P 在反比例函数1k y x +=
的图象上，则关于x 的二次方程220x x k +-=的根的情况是（ ）．
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定 【答案】A
【分析】将点P 的坐标代入反比例函数的表达式中求出k 的值，进而得出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】∵点()1,3P 在反比例函数1k y x
+=
的图象上， ∴13k +=，即2k =，
∴关于x 的二次方程为2220x x +-=，
∵2448120b ac ∆=-=+=>，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A ．
【点睛】
本题考查利用待定系数法求解反比例函数的表达式，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 10．抛物线y ＝x 2+6x+9与x 轴交点的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【分析】根据题意，求出b 2﹣4ac 与0的大小关系即可判断.
【详解】∵b 2﹣4ac ＝36﹣4×1×9＝0
∴二次函数y ＝x 2+6x+9的图象与x 轴有一个交点．
故选：B ．
【点睛】
此题考查的是求二次函数与x 轴的交点个数，掌握二次函数与x 轴的交点个数和b 2﹣4ac 的符号关系是解决此题的关键.
11．二次函数()2214y x =-+-下列说法正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴为直线1x =
C ．顶点坐标为()1,4
D ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大
【答案】D
【分析】根据解析式即可依次判断正确与否.
【详解】∵a=-20<，
∴开口向下，A 选项错误；
∵()2214y x =-+-，
∴对称轴为直线x=-1，故B 错误；
∵()2214y x =-+-，
∴顶点坐标为（-1，-4），故C 错误；
∵对称轴为直线x=-1，开口向下，
∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故D 正确.
故选：D.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键.
12．如图，半径为3的⊙O 内有一点A ，，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ）。