【步步高】高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示配套名师课件 新人教B版选修2-1

④解方程组，取其中的一个解，即得其中的一个法向量．
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3.2.2
例 1 已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个
法向量． 解 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． 由题意得A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)． ∵n⊥A→B且 n⊥B→C，∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y＝ 0，0，
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(2)∵n1＝(1Hale Waihona Puke 3,0)，n2＝(－3，－9,0)，
∴n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β.
(3)∵n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)， ∴n1·n2＝8－6－2＝0，∴n1⊥n2，∴α⊥β.
3.2.2
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3.2.2
例2 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD ＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求 证：平面 BEF⊥平面 ABC.
答案 －8
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3.2.2
4．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，证明：平面 A1BD∥平面
CB1D1. 证明 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在 直线为 x，y，z 轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1.
则 D(0,0,0) ， A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ， D1(0,0,1) ，
3.2.2
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取向量 v∥a，则 v∥α， 且 v⊥B→C，∵AB⊥α，a⊂α， ∴v⊥A→B，又A→C＝A→B＋B→C， ∴A→C·v＝A→B·v＋B→C·v＝0， ∴v⊥A→C，得 a⊥AC.
3.2.2
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3.2.2
问题 2 三垂线定理中，把 a⊂α，改为 a∥α，其他条件不变， 三垂线定理仍然成立吗？ 答案 成立．
B1(1,1,1)，C(0,1,0)． ∴A→1D＝(－1,0，－1)，A→1B＝(0,1，－1)，D→1B1＝(1,1,0)，D→1C
＝(0,1，－1)，设平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
则 nn11··AA→→11BD＝＝00，
⇒－ y1－x1－ z1＝z1＝ 0，0，
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3.2.2
探究点一 平面的法向量 问题 1 平面的法向量有何作用？是否唯一．
答案 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面 的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系． 平面的法向量不唯一，它们都是共线的．
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3.2.2
问题 2 怎样求一个平面的法向量？ 答案 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
则易得 B(0,0,0)，C

23a，
23a，0，
D(0，
3a,0)，E

43a，
43a，a2，
F(0， 23a，a2)，
故A→B＝(0,0，－a)，B→C＝ 23a， 23a，0.
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设平面 ABC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴A→B＝(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)，
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)． 依题意，应有 n·A→B＝0，n·A→C＝0. 即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝00 ，解得xz＝＝02y .令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
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3.2.2
小结 例题是利用向量法来完成证明的，并且给出了求平 面法向量的方法．向量法证明线面关系的优越性体现在不 必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只 需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公 式化”．
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3.2.2
跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、 F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证： (1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.2.2
1．平面的法向量：已知平面 α，如果向__量___n_的__基__线__与__平__面__α__垂__直__， 则向量 n 叫做平面 α 的法向量或说向量 n 与平面 α 正交．
2．平面的向量表示：设 A 是空间任一点，n 为空间内任一向量， 则适合_A_→_M__·n_＝__0__的点 M 构成的图形是过空间内一点 A 并且 与 n 垂直的平面．这个式子称为平面的向量表示式．
直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，
c1)，b＝(a2，b2，c2)．
③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
n·a＝0， n·b＝0.
即aa12xx＋ ＋bb12yy＋ ＋cc12zz＝ ＝00.，
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3.2.2
小结 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常 用方法，其基本环节有三个．
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跟踪训练 3 如图，已知 PO⊥平面 ABC，且 O 为△ABC 的垂心，求证：AB⊥PC. 证明 ∵PO⊥平面 ABC，O 为垂足． ∴PC 在平面 ABC 内的射影为 OC. 又 O 为△ABC 的垂心，∴AB⊥OC. 据三垂线定理得 AB⊥PC.
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3.2.2
探究点二 利用平面的法向量判断平面与平面平行、垂直 问题 1 设 n1，n2 分别是平面 α，β 的法向量，如何利用法向
量来判断 α，β 的关系？
答案 α∥β 或 α 与 β 重合⇔n1∥n2(如图 1)．
图1
图2
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0(如图 2)．
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)， A→E＝(0,2,1)．
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3.2.2
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3.2.2
问题 2 根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平 面的位置关系． (1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， n＝(－1,2，－1)； (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)； (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)． 解 (1)∵a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)， ∴a·n＝－3＋4－1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α 或 l∥α.
设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01＝0
，得xz11＝＝－0 2y1 ，
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1.
3.2.2
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【学习要求】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直． 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 【学法指导】
在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同 的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、 集体交流的好习惯.
令 x＝1，得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
小结 求平面的法向量直接使用待定系数法即可．其中平
面内的两个不共线向量可以任找，平面的法向量不唯一．
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3.2.2
跟踪训练 1 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)， C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量．
3．设 n1，n2 分别是平面 α、β 的法向量，则 α∥β 或 α 与 β 重合⇔___n_1_∥__n_2________. α⊥β⇔__n_1⊥__n__2 _⇔_n_1_·_n_2＝___0__.
4．三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
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3.2.2
例 3 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心， E 为 CC1 的中点．求证：EO⊥平面 A1DB.
证明 方法一 取 F、G 分别为 DD1 和 AD 的中点． 连接 EF、FG、GO、AC. 由正方体的性质知 FG 为 EO 在平面 ADD1A1 内的 射影． 又 A1D⊥FG， ∴A1D⊥EO(三垂线定理)． 又 AC⊥BD，∴EO⊥BD(三垂线定理)． 又 A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面 A1BD.
3.2.2
2．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1,2，－1)，v＝
(－3，－6,3)，则
(A )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β 相交但不垂直 D．以上均不正确
解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.故 α∥β.
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3.2.2
3．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量 为1，12，2，则 m＝________. 解析 ∵(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0. ∴m＝－8.
则nn11··AB→→BC＝ ＝00， ，
即－ x1＋azy1＝1＝00 ，取 x1＝1，
∴n1＝(1，－1,0)为平面 ABC 的一个法向量． 同理可得 n2＝(1,1，－ 3)，
∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－ 3)＝0. ∴平面 BEF⊥平面 ABC.
3.2.2
又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
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3.2.2
(2)∵C→1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法 向量．由 n2⊥F→C1，n2⊥C→1B1，
得nn22··CF→→1CB1＝ 1＝22yx2＋2＝z02＝0
，得xz22＝＝－0 2y2 .
令 z2＝2，得 y2＝－1，所以 n2＝(0，－1,2)， 因为 n1＝n2，所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
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探究点三 三垂线定理及应用 问题 1 如图，AB，AC 分别是平面 α 的垂
线和斜线，BC 是 AC 在 α 内的射影，a⊂α， 试用三垂线定理或其逆定理说明在上述条 件下 a⊥BC 和 a⊥AC 的关系．如何证明？ 答案 依据三垂线定理，若 a⊥BC，则 a⊥AC； 依据三垂线定理的逆定理，若 a⊥AC，则 a⊥BC. 证明(三垂线定理)
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3.2.2
方法二 连接 AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为 2， 由法一已证 BD⊥OE，又 OE2＝( 2)2＋12＝3. A1O2＝22＋( 2)2＝6，A1E2＝(2 2)2＋12＝9. 所以 A1E2＝OE2＋A1O2. ∴A1O⊥OE，又 A1O∩BD＝O， ∴OE⊥平面 A1DB.
3.2.2
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3.2.2
1．若 a＝(1,2,3)是平面 γ 的一个法向量，则下列向量中能作
为平面 γ 的法向量的是
(B )
A．(0,1,2)
B．(3,6,9)
C．(－1，－2,3)
D．(3,6,8)
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．
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3.2.2
令 z1＝1，得 x1＝－1，y1＝1.
∴平面 A1DB 的一个法向量为 n1＝(－1,1,1)．