高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编含答案解析

数学《计数原理与概率统计》高考复习知识点(1)
一、选择题
1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x(万元)
1
2
4
5
销售额y(万元)
10
26
35
49
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元
C ．56万元
D ．57万元
【答案】D 【解析】
试题分析：由表格可算出1(1245)34x =
+++=,1
(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b
=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.
考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .
2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
3
14
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；
巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1
1m m n n A nA --=
D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++=
=⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!
()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A 【点睛】
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )
A ．
85
B ．
65
C ．
45
D ．
25
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，3~(5,
)3X B m +，由3
533EX m =⨯
=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】
由题意知，3
~(5,
)3
X B m +， 3
533
EX m ∴=⨯
=+，解得2m =， 3
~(5,)5
X B ∴，
336
()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
5．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．
110
B ．
35
C ．
310
D ．
25
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255
= 故答案为D ．
6．已知()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
()
20121n
n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则
()0121n
n a a a a -+-+-L 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】
Q ()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
∴23
n n C C =，∴5n =，
令0x =，则05
1a =，
令1x =，则()015
5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，
∴2λ=，
令1x =-，则()0525
1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
7．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为
3
5
，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．
611
B ．
511
C ．
59
D ．
49
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】
如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，
所以1DN CM ==，4DM =，5AM =，
由勾股定理知3AD =，
当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6
11
AD BC p AD CD BC +==++.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
8．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不
等式即可得到11
p q
+的最小值.
【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
9．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点
数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v
共线的概率为( )
A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
112
【答案】D 【解析】 【分析】
由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r
共线的基本事件的个数，利用
古典概型及其概率的计算公式，即可求解。

【详解】
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，
又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r
共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，
所以向量p u r 与q r 共线的概率为31
3612
P =
=，故选D 。

【点睛】
本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

10．
若实数2a =，则101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A 【解析】 由题意可得：
(
)
()
1019222
10
101010
10
22222232.
a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
11．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：
根据表中数据可得回归直线方程为$$0.7y x a
=+，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ） A ．4.502亿元 B ．4.404亿元 C ．4.358亿元 D ．4.856亿元
【答案】D 【解析】 【分析】
先求 3.92x =，2y =，根据$0.7a y x =-，求解$0.744a =-，将8x =代入回归直线方程为$$0.7y x a
=+，求解即可. 【详解】 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0
3.925x ++++=
=，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825
y ++++==
$0.720.7 3.920.744a y x =-=-⨯=-即$0.70.744y x =-
令8x =，则$0.780.744 4.856y =⨯-= 故选：D 【点睛】
本题考查回归分析，样本中心点()
,x y 满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.
12．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，
()2
21331321
222228
D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】
由题意可知：()()2
21210p p p p -+-+= ， 且()2
011p <-<，()0211p p <-<，201p <<
解得：01p <<，
()()()2
211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，
()()()()()()2
2
2
2
2141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
288p p =-+，
设()411,3E p t ξ=-=∈-，
2
21113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪
⎝⎭ ()2
1122
t =-
-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2
880,2D p p t ξ=-+=∈，
2
1822p t ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭，
2
1228t p -⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，
当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，
所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.
综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
13
．3
ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
6ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
14．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）
A ．23
B ．12
C ．13
D ．14
【答案】B 【解析】 【分析】
推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =1
2
S △ABC ．由此能求出将一粒
黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】
以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r
，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，
∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的1
2
．
∴S△PBC=1 2
S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P=PBC
ABC
S
S
V
V
=
1
2
．
故选B．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
15．在二项式26
()
2
a
x
x
+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2
y x
=和圆22
x y a
+=及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）
A．
1
46
π
+B．
1
46
π
-C．
4
π
D．
1
6
【答案】B
【解析】
【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．
【详解】
（x2+
a
2x
）6展开式中，由通项公式可得122
r162
r
r r r
a
T C x x
--
+
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,
令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为
4
4
62
a
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，可得
4
4
62
a
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝15，解得a＝2．
曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为()
1
2231
111
-x-x|
442346
dx x x
πππ
⎛⎫
=--=-
⎪
⎝⎭
⎰．
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
16．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96
B ．84
C ．120
D ．360 【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
【详解】
由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为
4
44A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
17．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A ．518
B ．12
C ．59
D ．79
【答案】D
【解析】
【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率．
【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n =
==． 故选：D ．
【点睛】 本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两
种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
18．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3
E X =，则(32)D X -=（ ）
A ．59
B ．53
C ．5
D ．7
【答案】C
【解析】 【分析】
由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13
a =，12
b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．
【详解】 1()3E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：
116116
3a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329
D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=， 5(32)9()959
D X D X ∴-==⨯= 故选：C ．
【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19．若随机变量()23,X N σ
:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3 【答案】A
【解析】
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果.
【详解】
由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，
所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
20．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36
B ．72
C ．24
D ．48
【答案】A
【解析】
【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421226C C C A =种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有336A =种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案．
故选A ．
【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．。