2019-2020学年洛阳市名校数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2019-2020学年洛阳市名校数学高二第二学期期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在△ABC 中内角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =+-，则角A = A ．60° B ．120°
C ．30°
D ．150°
【答案】A 【解析】
分析：利用余弦定理即可。

详解：由余弦定理2222a b c cosAbc =+-可知1
2
cosA =，所以60A =︒。

点睛：已知三边关系求角度，用余弦定理。

2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则
13
(log 12)f 的值为（） A ．1
3
- B ．
13
C ．53
-
D ．
53
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得：13
3
4
(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。

【详解】 由于
133
(log 12)(log 12)f f =-；
因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期； 所以33334
(log 12)=(log 12)(log 122)(log )3
f f f f --=--=-
又因为34
0log 13<<，所以34
log 3133
441(log 12)(log )=(31)(1)333f f =---=--=-；
故答案选A 【点睛】
本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。

3．曲线cos y x =在3
x π
=处的切线斜率是( )
A ．12
-
B ．
12
C
． D
．
2
【答案】C 【解析】
根据已知对cos y x =求导，将3
x π
=代入导函数即可.
【详解】
∵y′=(cosx)′=-sinx ， ∴当3
x π
=时，3=3
2
y sin
π
'=--
. 故选C. 【点睛】
本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.
4．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个相异实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-
【答案】B 【解析】
分析：将方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程x
e k x =-恰有两个不同的实根，在转化为一
个函数x
y e =的图象与一条折线y k x =-的位置关系，即可得到答案.
详解：方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程x
e k x =-恰有两个不同的实根，
令x
y e =，y k x =-，
其中y k x =-表示过斜率为1或1-的平行折线，
结合图象，可知其中折线与曲线x
y e =恰有一个公共点时，1k =，
若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1,)+∞，故选B.
点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问
5．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率． 【详解】
因为5道题中有3道理科题和2道文科题，
所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题， 第2次抽到理科题的概率为
．故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．
6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，
用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆy
x b =+，则ˆb 为 x 2 4 5 6 8 y 25
35
60 55
75
A ．5
B ．10
C ．12
D ．20
【答案】B 【解析】
分析：先求样本中心x y （，），代入方程求解即可。

详解：2456855x ++++==，2535605575
505
y ++++==，代入方程5085b =⨯+，解得10b =，
故选B
点睛：回归直线方程必过样本中心x y （，）。

7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A ．在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫
==+≥ ⎪⎝⎭
由此归纳出{}n a 的通项公式
B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒ 【答案】D 【解析】
分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
详解：A 在数列{a n }中，a 1=1，()111122n n n a a n a --⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
，通过计算a 2，a 3，a 4由此归纳出{a n }的通项
公式”是归纳推理．
B 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理
C 选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；
D 选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理. 综上得，D 选项正确 故选：D ．
点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论． 8．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球 【答案】C 【解析】 【详解】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.
9．已知y 与x 及μ与υ的成对数据如下，且y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.20.6y
x =+，则μ关于υ的回归直线方程为（ ） x 1 2 3 4 5 y
2 3 4 5 7 υ
10 20 30 40 50 μ
20
30
40
50
70
A ．126μυ=+
B ． 1.20.6μυ=+
C ．0.126μυ=+
D ． 1.26μυ=+
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题意求出μ与υ，根据回归直线过样本中心，即可得出结果. 【详解】 由题意可得：2030405070425μ++++=
=，1020304050
305
v ++++==，
因为回归直线方程过样本中心，根据题中选项，所以μ关于υ的回归直线方程为 1.26μυ=+. 故选D 【点睛】
本题主要考查回归直线方程，熟记回归直线方程的意义即可，属于常考题型. 10．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果. 【详解】
第1步：a ＝7-2n ＝5，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝5，n ＝2； 第2步：a ＝7-2n ＝3，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝8，n ＝3； 第3步：a ＝7-2n ＝1，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝1，n ＝4； 第4步：a ＝7-2n ＝－1，a ＞0不成立，退出循环，输出S ＝1． 选D. 【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.
11．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则
(|)P B A = A ．1247 B ．
211 C ．2047
D ．1547
【答案】D 【解析】
分析：先求取出的两个球颜色不同得概率，再求取出一个黄球，一个绿球得概率可，最后根据条件概率公式求结果. 详解：因为22
1212545343475315
(),(),6666
P A P AB C C ⨯+⨯+⨯⨯=
=== 所以()15(|)()47
P AB P B A P A ==,
选D.
点睛：本题考查条件概率计算公式()
(|)()
P AB P B A P A =
，考查基本求解能力. 12．函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的x ∈R ，都有()ln 2()f x f x '>⋅成立，则（ ） A ．4(3)(5)f f >
B ．4(3)(5)f f <
C ．4(3)(5)f f =
D ．4(3)f 与(5)f 大小关系不确定
【答案】B 【解析】 【分析】
通过构造函数()()2
x
f x h x =
,由导函数()()()
'222ln22
x x x
f x f x h x -⋅=
',结合()()ln2f x f x >'⋅,可知函
数()h x 是R 上的增函数，得到()()35h h <,即可得到答案. 【详解】 构造函数()()2
x
f x h x =
，则()()()
()()
'222ln2ln202
2
x x x
x
f x f x f x f x h x -⋅-⋅'=
'=
>，
故函数()h x 是R 上的增函数，所以()()35h h <，即()()3
5
352
2
f f <
，则()()435f f <.
故选B. 【点睛】
本题的难点在于构造函数,由()()ln2f x f x >'⋅,构造()()2
x
f x h x =是本题的关键,学生在学习中要多积累
这样的方法.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．表面积为π的球的体积为__________． 【答案】1
6
π 【解析】
分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.
详解：2
142
S R R ππ==⇒=
Q ， 34136V R ππ∴==，故答案为16
π.
点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 14．已知ABC V 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，且2a =，135B ∠=︒，4ABC S ∆=，则b =____
【答案】【解析】
11
sin 24222
ABC S ac B c =
=⋅⋅⋅=V ，∴c =，由余弦定理得
2222cos 43222522
b a
c ac B =+-=++⨯⨯=，∴b =15．若6
1ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为160-，则展开式中4x 的系数为__________. 【答案】192- 【解析】 【分析】
首先求出6
1ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a 的值，再利用通项公式求4x 的系数. 【详解】
61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()66621661C C r
r r r r r
r T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当3r =时，常数项为3
3
3
6
C 20160a a ==-，所以2a =-．当1r =时，154
26
C T a x =，6
1ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中4
x 的系数为
()5
16C 2192-=-．
【点睛】
本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题. 16．抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是______． 【答案】(0,1)F 【解析】 抛物线21y x 4=
即2x 4y =，2,12
p
p ∴== ，所以焦点坐标为()0,1. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设函数32()441f x x x x =-+-. （1）求该函数的单调区间;
（2）求该函数在[1,3]-上的最小值．
【答案】（1） 递增区间为2
(,),(2,)3-∞+∞，递减区间为2(,2)3
；（2）-10 【解析】 【分析】
（1）2
'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--，解'()0,'()0f x f x ><得单调区间即可；（2）由(1)的单调
性知,()f x 在[1,3]-上的最小值只可能在12x x =-=或处取,代入求值即可
【详解】
（1）2
'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--Q
22
'()02,'()0233
f x x x f x x ∴>⇒<><⇒<<或
()f x ∴的递增区间为2(,),(2,)3-∞+∞，递减区间为2
(,2)3
.
(2)由(1)的单调性知,()f x 在[1,3]-上的最小值只可能在12x x =-=或处取,
(1)10,(2)1,f f -=-=-Q
()f x ∴在[1,3]-上的最小值为(1)10f -=-.
【点睛】
本题考查导数的综合运用：求单调区间，极值，最值，考查运算能力，属于中档题． 18．已知函数()2121f x x x =+--，x ∈R （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集；
（Ⅱ）若方程
()
2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
，；（Ⅱ）1122
a -
<< 【解析】 【分析】
（Ⅰ）分别在12x ≤-
、1122x -<<、1
2
x ≥三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为1122a x x x =+--+，分类讨论得到()11
22
h x x x x =+--+的图象，通过数形结合求得取值范围. 【详解】
（Ⅰ）当12x ≤-
时，()()212121f x x x =--+-=-≤，可得：1
2
x ≤- 当1122x -<<时，()212141f x x x x =++-=≤，解得：1124x -<≤
当1
2
x ≥时，()21212f x x x =+-+=，则()1f x ≤无解
综上所述：不等式()1f x ≤的解集为：1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
（Ⅱ）由方程
()2
f x a x
+=可变形为：1122a x x x =+--+
令()
1122h x x x x =+--+，则
()11,211,2211,2x x h x x x x x ⎧
+<-⎪⎪
⎪
=--≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
作出函数()h x 的图象如下图所示：
结合图象可知：1122h a h ⎛⎫⎛⎫<<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1122h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1122h ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
11
22
a ∴-<<
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解. 19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE ．
（1）证明：∠D=∠E ；
（2）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）由四点共圆性质可得∠D=∠CBE.再结合条件∠CBE=∠E,得证（2）由等腰三角形性质得OM⊥AD,即得AD∥BC, 因此∠A=∠CBE=∠E.而∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.
试题解析：解: (1)由题设知A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE.
由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)设BC 的中点为N,连结MN,则由MB=MC 知MN⊥BC,故O 在直线MN 上.又AD 不是☉O 的直径,M 为AD 的中点,故OM⊥AD,
即MN⊥AD. 所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.
20．某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量ξ表示该游戏者所得分数.
（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）
23（2）见解析 【解析】
分析：⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为112p =、213p =、316
p =，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件A ．则()()()12121211P A p p p p p p =-+-+；
(2)由题意可知，ξ的可能取值为0、3、6、7、10，分别求出()0P ξ=，()6P ξ=，()7P ξ=， ()10P ξ=，得到ξ的分布列及数学期望．
详解：
⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为112p =、213p =、316
p =，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件A ． 则()()()1212122113
P A p p p p p p =-+-+=
； 答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23 (2)由题意可知，ξ的可能取值为0、3、6、7、10，
()()()1210113P p p ξ==--=， ()()()()()12312355531111183612
P p p p p p p ξ==--+--=+=，
()()12356136P p p p ξ==-=， ()()()123123211711363612P p p p p p p ξ==-+-=+=， ()12311036
P p p p ξ===， 所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望
155115303671031236123618
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．
21．如图所示，在△ABC 中，a ＝b·cos C ＋c·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，在四面体P-ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
【答案】S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ
【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.
证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，
就是平面PAB 与底面ABC 所成的二面角，则
， ，
同理，，
又，S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.
考点：类比推理. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
6cos 80ρρθ++=.
（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）设M ，N 分别为1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围.
【答案】（1）1C ：2
214y x +=，2C ：()2231x y ++=；（2）[]1,5 【解析】
【分析】
（1）参数方程消参即可得普通方程，极坐标方程利用cos ,sin x y ρθρθ==变形可得普通方程； （2）设()cos ,2sin M ϕϕ，()23,0C -，利用距离公式求出2MC ，再求最值即可.
【详解】
解：（1）由题意得2
222sin cos 12y x ϕϕ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
， 所以1C 的直角坐标方程2
214y x +=， 由26cos 80ρρθ++=得22680x y x +++=
所以2C 的直角坐标方程为()2231x y ++=；
（2）设()cos ,2sin M ϕϕ，()23,0C -， 所以()()22
22cos 34sin 3cos 116MC ϕϕϕ=++=--+ 所以224MC ≤≤， 由2211MC MN MC -≤≤+知15MN ≤≤，
所以MN 的取值范围是[]1,5.
【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程，考查参数方程的应用，对于最值问题应用参数方程来解决比较方便，是基础题.。