上海市2016届高三数学3月月考试题(理,有答案)AKMAHM

上海市2016届高三数学3月月考试题 理
考生注意：
1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1. 已知集合{}
{}
032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =I _______________. 2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________. 3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________. 4.已知圆锥的轴与母线的夹角为
3
π
，母线长为3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1
sin sin 3
x y ⋅=
，则x y -= . 6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .
7.圆22(2)4C x y -+=：
, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.
8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________. 9. 已知()ln()f x x a x
=+
-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的 取值范围是 ．
10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2
=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线 上的射影分别是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ． 11.在极坐标中，直线sin 3ρθ=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 .
12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ= ． 13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111
cos cos cos 1sin sin sin A B C
A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.
在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号） ①90,60,30A B C ===o o o ；②75,60,45A B C ===o o o ； ③75,75,30A B C ===o o o . 14.如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =， 点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点
A B
C
E C 1
A 1
B 1
F
C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大
距离是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15．已知数列{}n a 中，111
1,1n n
a a a +==
+，若利用下面程序框图计算该数
列的第2016项，则判断框内的条件是( ) A ．2014≤n B ．2016n ≤ C ．2015≤n D ．2017n ≤
16．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
2
2
1
sin cos 2
C C -=，则下列各式正确的是 ( )
C ．2a b c +<
D ．2a b c +≥
17．已知集合2
2
{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：
对任意的
(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实
数对”的是 ( ) A ．}4|),{(=+μλμλ
B ．}4|),{(2
2=+μλμλ C ．}44|),{(2
=-μλμλ
D ．}4|),{(2
2
=-μλμλ
18. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m ,
过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是 ( )
A ．1,1m n ==
B ．4,1m n == C. 3,4m n == D ．4,4m n ==
三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2
BAC π
∠=
，2AB AC ==， 16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．
（1）求四棱锥B AEFC -的体积；
（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值．
？结束
输出A 否是
A =
1A +1
n =n +1n =1,A =1
开始
20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分， 第（2）小题满分8分.
如图，某城市设立以城中心O 为圆心、r 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方向上一条高速公路PB 、西南方向上有一条一级公路QC ，现要在保护区边缘PQ 弧上选择一点A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆O 相切直道BC ．已知通往一级公路道路AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路AB 每公里造价为2
m a 万元，其中,,a r m 为常数，设POA θ∠=，总造价为y 万元． （1）把y 表示成θ的函数()y f θ=，并求出定义域；
（2）当
62
2
m +=
时，如何确定A 点的位置才能使得总造
价最低？
6分，第(2)小题8分.
已知椭圆22
22:1(a b 0)x y C a b
+=>>的右顶点、上顶点分别为A 、B ，坐标原点到直线AB
的距离为
43
3
，且2a b =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点， 且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP （图形上字母按此 顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l 的方程.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分
4分，第(2)
小题满分6分，第(3)小题满分6分.
对于函数(x)f ，若在定义域内存在实数x ，满足(x)(x)f f -=-，称(x)f 为“局部奇 函数”.
（1） 已知二次函数2
(x)24(R)f a x x a a =+-∈，试判断(x)f 是否为“局部奇函数”？ 并说明理由；
（2）若(x)2x
f m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）若1
2(x)423x
x f m m +=-⋅+-是定义在R 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，
第(2)小题②满分8分.
已知等比数列{}n a 的首项12015a =，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T . (1) 若36045
4
S =
，求等比数列{}n a 的公比q ； (2) 在(1)的条件下，判断|n T |与|1n T +|的大小；并求n 为何值时，n T 取得最大值； (3) 在(1)的条件下，证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d L ，则数列{}n d 为等比数列.
2015学年第二学期考试参考答案和评分标准
一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分） 1． )3,0( 2．-1 3．{}
5 4．92 5．3
π
6. 18
7.
1
2 8．8π 9. ),4[+∞ 10．223
11．（理）23 （文）6 12. （理）1.89 （文）343+ 13．② 14．（理）12+ （文）2
2
(1)(1)1x y -+-= 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15. C 16. B 17. C 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）
19．（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分.
解：（理）（1）B AEFC V -=111
(42)224332
AEFC S AB =
⋅=⋅⋅+⨯⨯=……6分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ， (2,0,2)EF =u u r ,(0,2,2)EB =-u u r
……………………7分
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则220
11,1220
n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r
r 取得， 所以(1,1,1)n =-r
……………………………9分
平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =r
，则113cos 33
n n n n θ⋅===
⋅r r r r 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值为3
3
．…12分 解：（文）（1）11111111111114
2223323
A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==
⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．8分
在CEB ∆中，22BC CE BE ===，所以60CEB ∠=o
， ………………10分
所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60o
． …………………………………12分
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分. 解：（1）Q BC 与圆O 相切于A ，∴OA ⊥BC,在∆ABC 中，tan AB r θ=……2分 同理，可得3tan(
)4
AC r π
θ=-………4分
223tan tan(
)4
y m aAB aAC m ar ar π
θθ∴=+=+- 23[tan tan(
)],(,)442
y ar m πππ
θθθ∴=+-∈………6分 （2）由（1）得
2231tan [tan tan()]ar[m tan ]41tan y ar m πθθθθθ--=+-=+- 222
[m (tan 1)m 1]tan 1
ar θθ=-+
++-…………9分
(
,),tan 1042ππ
θθ∈∴->Q ∴22
m (tan 1)22tan 1
m θθ-+≥-………12分 当且仅当2
tan 1m
θ=-时取等号，又622m +=，所以tan 3,3
π
θθ== 即A 点在O 东偏南3
π
的方向上，总造价最低。

……14分
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 解: (1) 设直线 AB 的方程为0bx ay ab +-=
原点到AB 的距离为2222224316
33a b a b a b
=⇒=++，又2a b =， 解得4,22a b ==………4分
故椭圆的方程为
22
1168
x y += ………6分 （2）由（1）得椭圆的左焦点1(22,0)F -，
易知直线l 的斜率不为0，可设直线:22l x my =-，设1122(x y ),N(x ,y )M ， 因为MOPN 为平行四边形，
得1212(x ,y y )OP OM ON x =+=++⇒u u u r u u u u r u u u r
1212P(x ,y y )x ++………8分
联立22
22
22(m 2)y 42802160
x my my x y ⎧=-⎪⇒+--=⎨
+-=⎪⎩………10分 2121212121264(m 1)0824242(y y )42x x m y y m
y y x x m ⎧∆=+>⎧-⎪+=⎪⎪⎪⇒+=⇒⎨⎨⎪⎪+=⎪⎪+=+-⎩⎩
12分
因为点P 在椭圆上，有221212(x x )2(y y )162m +++=⇒=
所以直线l
的方程为x =-14分
22. （本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (本题满分16分).
解：（1）由方程(x)(x)f f -=-有解，得2
2(x 4)0a -=有解2x ⇒=± …………4分
（2）(x)2x
f m =+，由(x)(x)f f -=-可化为2220x x
m -++=在区间[1,1]-上有解，
10分 （3）若1
2(x)423x
x f m m +=-⋅+-，由方程(x)(x)f f -=-有解，
可得2442(22)2m 60x
x
x x m --+-++-=在R 上有解，设222x x t -=+≥
则244
2x
x t -+=-，有222280t mt m -+-=在[)2,+∞上有解。

…………………12分
设2
2
(t)t 228F
mt m =-+
-，
1o 当(2)0F ≤时，成立，得11m -≤≤+； …………………14分 2o 当(2)0F >时，要使22228
0t mt m -+
-=在[)2,+∞上有解，
则须0
21(2)0m m F
∆≥⎧⎪
>⇒+≤≤⎨⎪>⎩
所以[1m ∈-…………………16分
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8
分.
(理)解: (1)、2
360452015(1)4S q q =++=，解得2
104q q ++=，12
q =-……4分 (2)11211122015
2
n n n n n n n T a a a a a T a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q
.又111020152015122<<Q ,
∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值, …6分
又10119120,0,0,0T T T T <<>>Q ,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者, ……8分 又3
101210111291201512T a a a T ⎡⎤
⎛⎫
=⋅⋅=⋅->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
Q
，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大. …10分
(3)1
120152n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
Q ,n a ∴随n 增大而减小,n a 奇数项均正,偶数项均负,
①当k 是奇数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，
，, 则1
111111222k k k k k a a a a a -+⎛⎫⎛⎫
+=-+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,1
1
2112222
k k k a a a ++⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
, 122k k k a a a ++∴+=,因此12k k k a a a ++，，成等差数列,
公差11
2
111311222
k k k k k k a d a a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；……14分
②当k 是偶数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，, 则1
111111222k
k k k k a a a a a -+⎛⎫⎛⎫
+=-+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,1
1
2112222k k k
a a a ++⎛⎫=-=-
⎪
⎝⎭
. ∴122k k k a a a +++=,因此21k k k a a a ++，
，成等差数列,
公差111
2
11311222
k k k k k k a d a a a +-++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,
综上可知,{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且1
1
32
k k a d +=, ∵12n n d d -=,∴数列{}n d 为等比数列. ……18分
（文）解: (1) 2
360452015(1)4S q q =++=
，解得2
104q q ++=，12
q =-……4分 (2) 121
111111*********n n n a S S S a S --⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=---≤⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
Q ,当1n =时,等号成立；……6分
同理232221************n n n a S S S a S --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥
⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--≥⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
,……8分 当2n =时,等号成立；21n S S S ∴≤≤.……10分 (3) 11211122015
2
n n n n n n n T a a a a a T a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q
.又111020152015122<<Q ,……12分
∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值, ……14分
又10119120,0,0,0T T T T <<>>Q ,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者, ……16分
又3
10
1210111291201512T a a a T ⎡⎤
⎛⎫=⋅⋅=⋅->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦Q ，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大. ……18分。