【数学】江西省吉安市一中2013-2014学年高二上学期期中考试(理)

江西省吉安一中2013-2014学年度上学期高二年级期中考试
数学试卷（理科）
说明：考试时间：120分钟，试卷满分：150分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可知这四个几何体依次分别为（ ）
A. 三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B. 三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C. 三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D. 三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
2. 下列四个结论：
（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
其中正确的命题个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. π
D. 43
π 3. 几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A. 3π
B. 23π
C. 2
D. 3
4. 圆C 1：22460x y x y +-+=和圆C 2：2260x y x +-=交于A ，B 两点，则AB 的垂直
平分线的方程是（ ）
A. 30x y ++=
B. 250x y --=
C. 390x y --=
D. 4370x y -+=
5. a ＝3是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充
C. 充要
D. 既不充分也不必要
6. 设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,m ⊥αn ∥α，则m n ⊥； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若⊥αγ，⊥βγ，则α∥β，
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④
7. 点M （00,x y ）是圆222(0)x y a a +=>内不为圆心的一点，则直线：200x x y y a
+=与该圆的位置关系是（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 相切或相交
8. 给出如下四个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a>b ，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；
③命题“对任意的x ∈R ，2
11x +≥”的否定是“存在2,11x R x ∈+<”；
④在△ABC 中，“A>B ”是“cosA<cosB ”的充要条件，
其中不正确．．．
的命题的个数是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 1
B. D. 3
10. 如图，动点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面交于M ，N ，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f （x ）的图像大致是（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）
11. 已知直线0ax by c ++=（abc ≠0）与圆221x y +=相切，若△ABC 的三边长分别为
||,||,||a b c ，则该三角形为______（判断三角形的形状）。

12. 将直线20x y -+=λ，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为________。

13. 一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1个单位长度，则图形的实际面积为__________。

14. 已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么r 是q 的________条件。

15. 下列命题中：
①“若220x y +≠，则x ，y 不全为零”的否命题；
②“若m>0，则2
0x x m +-=有实根”的逆否命题；
③若过定点M （－1，0）且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部
分有交点，则k 的取值范围是0k ≤≤
④已知二面角l --αβ的平面角的大小是60°，P ∈α，Q ∈β，R 是直线l 上的任意一点，过点P 与Q 作直线l 的垂线，垂足分别为P 1，Q 1，且1111||2,||3,||5PP QQ PQ ===，
则||||PR QR +的最小值为
以上命题正确的为__________（把所有正确的命题序号写在答题卷上）。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
16. （本小题满分12分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3）。

（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求AB 边的高所在直线方程。

17.（本小题满分12分）给定两个命题，P ：对任意实数都有210ax ax ++>恒成立； Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根；如果P 或Q 为真，P 且Q 为假，
求实数a 的取值范围。

18. （本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，AC ∩BD ＝O 。

将菱
形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B-ACD ，点M 是棱BC 的中点，DM =
（1）求证：OM ∥平面ABD ；
（2）求证，平面DOM ⊥平面ABC ；
（3）求三棱锥B-DOM 的体积。

19. （本小题满分12分）已知方程22240x y x y m +--+=。

（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m 的值。

20. （本小题满分13分）在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB 、SB 的中点。

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的大小；
（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。

21. （本小题满分14分）如图，经过B （1，2）作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交y 轴正半轴于点A ，2l 交x 轴正半轴于点C 。

（1）若A （0，1），求点C 的坐标；
（2）试问是否总存在经过O ，A ，B ，C 四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由。

18. （1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以OM ∥AB 。

因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以OM ∥平面ABD ……4分
（2）因为在菱形ABCD 中，OD ⊥AC ，所以在三棱锥B-ACD 中，OD ⊥AC 。

在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠BAD ＝60°，所以BD ＝4。

因为O 为BD 的中点， 所以122OD BD ==。

因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以122
OM AB ==。

因为2228OD OM DM +==，所以∠DOM ＝90°，即OD ⊥OM 。

因为AC ⊂平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，AC OM O = ，所以OD ⊥平面ABC 。

因为OD ⊂平面DOM ；所以平面DOM ⊥平面ABC ……………8分
（3）由（2）得，OD ⊥平面BOM ，所以OD 是三棱锥D-BOM 的高。

因为OD ＝2，11sin 6022222
BOM S OB BM ∆=
⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯=
所以11233B DOM D BOM BOM V V S OD --∆==⨯== 12分 19. 解：（1）22240x y x y m +--+=，2,4,D E F m =-=-=
2242040,5D E F m m +-=-><
5分 （2）由22240240
x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 得251680y y m -++= 1212168,55
m y y y y +∴+==，且0∆> OM ON ⊥ 得出：12120x x y y +=
1212858()160,5y y y y m ∴-++=∴=，经检验85
m =符合题意。

∴85m = 12分 20. 解法一：（Ⅰ）取AC 中点D ，连接SD 、DB 。

,SA SC AB BC == ，∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，
∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，
∴AC ⊥SB 4分
（Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，
∴平面SDB ⊥平面ABC 。

过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF ，则NF ⊥CM 。

∴∠NFE 为二面角N CM B --的平面角。

∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC 。

又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD 。

1,2SN NB NE SD =∴=== ED ＝EB 。

在正△ABC 中，由平几知识可求得1142
EF MB ==，
在Rt △NEF 中，tan ∠NFE ＝EN EF
=，
∴二面角N CM B --的大小是arctan 9分
（Ⅲ）在Rt △NEF 中，32NF ==，
1122
CMN CMB S CM NF S BM CM ∆∆∴=⋅==⋅= 设点B 到平面CMN 的距离为h ，
B CMN N CMB V V --= ，NE ⊥平面CMB ，1133
CMN CMB S h S NE ∆∆∴⋅=⋅，
3
CMB CMN S NE h S ∆∆⋅∴==， 即点B 到平面CMN
的距离为3 13分
解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ，连结OS 、OB 。

,,SA SC AB BC AC ==∴ ⊥SO 且AC ⊥BO 。

∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC
∴SO⊥平面ABC ，SO BO ∴⊥。

如图所示建立空间直角坐标系O xyz -。

则(2,0,0),(2,0,0),(1A B C S M N -。

(4,0,0),AC SB ∴=-= ，
(4,0,0)0,AC SB AC SB ⋅=-⋅=∴⊥ 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(1CM MN ==- 。

设(,,)n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，
则有300n CM x n MN x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =
，则x y =
n ∴=
，又OS = 为平面ABC 的一个法向量， 1cos ,3
||||n OS n OS n OS ⋅∴<>==⋅ ∴二面角N CM B --的大小为1arccos 3 9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）
（Ⅱ）得(1MB n =-= 为平面CMN 的一个法向量， ∴点B 到平面CMN
的距离||
n MB d n ⋅== 13分
21. 解：（1）由直线1l 经过两点A （0，1），B （1，2），得1l 的方程为10x y -+=。

由直线21l l ⊥，且直线2l 经过点B ，得2l 的方程为30x y +-=。

所以，点C 的坐标为（3，0） …………………………6分
（2）因为AB ⊥BC ，OA ⊥OC ，
所以总存在经过O ，A ，B ，C 四点的圆，且该圆以AC 为直径。

①若1l y ⊥轴，则2l ∥y 轴，此时四边形OABC 为矩形，||AC ②若1l 与y 轴不垂直，则两条直线斜率都存在。

不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k
-。

所以直线1l 的方程为2(1)y k x -=-，从而(0,2)A k -；
直线2l 的方程为12(1)y x k
-=--，从而C （2k ＋1，0）。

令20,210,k k ->⎧⎨+>⎩解得1,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，注意到0k ≠，所以1,02k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(0,2) 。

此时2222||(2)(21)555,||AC k k k AC =-++=+>>所以半径的最小值为2。

此时圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ 14分。