初二数学 全等三角形双等腰旋转知识点总结附解析(1)

初二数学 全等三角形双等腰旋转知识点总结附解析(1)
一、全等三角形双等腰旋转
1．如图，△ABC 和△CEF 中，∠BAC ＝∠CEF ＝90°，AB ＝AC ，EC ＝EF ，点E 在AC 边上． （1）如图1，连接BE ，若AE ＝3，BE ＝58，求FC 的长度；
（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数； （3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．
答案：（1）；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE ＝BP ，见解析
【分析】 （1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题； （2）分三种情形分别画出图形，利用等
解析：（1）42；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE ＝2BP ，见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题；
（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；
（3）结论：CF ＋AE ＝2BP ．如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
在Rt △ABE 中，AB ()2222583497-=
-==BF AE ，
∴AC ＝AB ＝7，
∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4，
∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3， ∴CF 22224442+=+=EF CE
（2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时，
α＝∠MCE＝∠ECN＝1
2
∠ACB＝22.5°．
如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．
如图2﹣3中，当CN＝CM时，
∠NCE＝1
2
∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°．
综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF＋AE＝2BP．
理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝2AE，
∵P是BF的中点，
∴BP＝1
2
BF，
∵BP＝1
2BF＝
1
2
（2EF＋DE），CF＝2EF，DE＝2AE，
∴BP＝1
2
（2CF＋2AE），
∴CF＋AE＝2BP．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC 于点G，点M是BC边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝26，求CE的长；
（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝22HM；
（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．
答案：（1）；（2）见解析；（3）∠NAE＋2∠MNE＝2∠AMH
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；
解析：（122）见解析；（3）∠NAE＋2∠MNE＝2∠AMH
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可； （3）根据对称的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AE ，
∴△BAE 为等腰直角三角形，
∵AG ⊥BE ，
∴AH 是△BAE 的中线，
∴BE ＝2AH ＝4，
∵∠BEA ＝45°，
∴∠BEC ＝135°，
在△BCE 中，过点C 作CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ，如图1，
∵∠DEC ＝45°，
∴△DEC 是等腰直角三角形，
设ED ＝x ，则DC ＝x ，CE ＝2x ，
在Rt △BCD 中，BC 2＝BD 2＋DC 2，
即222(26)(4)x x =++ ，
∴x 1＝1或x 2＝﹣5（舍去），
∴CE ＝2；
（2）如图2，过H 作HD ⊥HM 交AM 于点D ，连接BD ，
∵AB ＝AE ，∠BAC ＝90°，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∵AG ⊥BE ，
∴△ABH 为等腰直角三角形，
∴BH ＝AH ，∠BAH ＝45°，∠BHA ＝90°，
∵AB ＝BM ，
∴∠BAM ＝∠BMA ，
∵∠HMG ＝∠MAH ，
∴∠BAM ﹣∠MAH ＝∠BMA ﹣∠HMG ，
即∠BAH ＝∠AMH ＝45°，
∵HD ⊥HM ，
∴△DHM 为等腰直角三角形，
∴DH ＝HM ，∠DHM ＝90°，
∵∠BHD ＝∠BHA ＋∠AHD ，∠AHM ＝∠DHM ＋∠AHD ，
∴∠BHD ＝∠AHM ，
在△BHD 与△AHM 中，
BH AH BHD AHM DH MH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BHD ≌△AHM （SAS ），
∴∠DBH ＝∠MAH ，BD ＝AM ，
∴∠BHA ＝∠BDA ＝90°，
∵BA ＝BM ，
∴D 是AM 的中点，
∴AM ＝2DM ＝
HM ，
即AM ＝
HM ；
（3）∵H 是BE 的中点，M 是BC 的中点，
∴MH 是△BCE 的中位线，
∴MH ∥CE ，
∴∠AMH ＝∠MAC ，
∵∠BAC ＝90°，
∴AM ＝BM ，
∴∠MAB ＝∠ABM ，
∵点B 与点N 关于线段AM 对称，
∴∠ABM ＝∠ANM ，AB ＝AN ，
∴AE ＝AN ，
∴∠AEN ＝∠ANE ，
在△AEN 中，∠NAE ＋2∠ANE ＝180°①，
∵∠ANE ＝∠ANM ＋∠MNE ，∠ABM ＝∠ANM ＝∠MAB ＝90°﹣∠MAC ，
∴∠ANE ＝90°﹣∠MAC ＋∠MNE ，
∴∠ANE ＝90°﹣∠AMH ＋∠MNE ②，
将②代入①，得：∠NAE ＋2×（90°﹣∠AMH ＋∠MNE ）＝180°，
∴∠NAE ＋180°﹣2∠AMH ＋2∠MNE ＝180°，
∴∠NAE ＋2∠MNE ＝2∠AMH ．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形中位线的判定及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；
（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．
（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，
33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．
答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；
（2）把绕点
解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】
（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；
（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到
ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；
（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD
∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △
∴DAE 90BAC ∠=∠=︒
∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠
∴D CAE BA ∠=∠
∵BA=CA ，AD=AE
∴
ABD ACE ≅
∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD
∵ACB 45B ∠=∠=︒
∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD
故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；
（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，
则
ACE ABG ≅
∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒
∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒
∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
ADG ADE ≅
∴ED=GD
∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=
即222BD EC DE +=
（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，
∴
AEC AFB ≅
∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒
∵CAB 120∠=︒，AB=AC
∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒
∴FBD 60∠=︒
∵
EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒ ∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD ∴ADE ADF ≅
∴DF=DE
∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形
∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形
∴BDF 是直角三角形
若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+
∴BD 1=
∴DE 3=
∴BE BD DE 13=+=+
若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒
∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==
∵()BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+
∴BF 1=
∴BD=2，DE 3=
∴BE 23=+
【点睛】
此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，15AD =，6DM =．
（1）在旋转过程中，
①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长；
②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长；
（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90︒，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2
D 处，即1290D AD ︒∠=，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ︒∠=，2202CD =
2BD 的长．
答案：（1）①21或9；②或；（2）
【分析】
（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然不能为直角．当为直角时，根据，计算即可，当时，根据，计算即可． （2）连接．首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的
解析：（1）①21或9；②321或329；（2）252
【分析】
（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可．
（2）连接1CD ．首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可．
【详解】
解：（1）①由题意可得：
21AM AD DM =+=，
或9AM AD DM =-=．
②显然MAD ∠不能为直角．
当AMD ∠为直角时，22222156189AM AD DM =-=-=，
321AM ∴=或321-（舍弃）．
当90ADM ∠=︒时，22222156261AM AD DM =+=+=，
293AM ∴=或932-（舍弃）．
综上所述，满足条件的AM 的值为321或329．
（2）如图2中，连接1CD ．
由题意：1290D AD ∠=︒，1215AD AD ==，
2145AD D ∴∠=︒，12152D D =
2135AD C ∠=︒，
2190CD D ∴∠=︒，
()()22221212202152252CD CD D D ∴=+=+=
1290BAC D AD ∠=∠=︒，
2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠，
21BAD CAD ∴∠=∠，
AB AC =，21AD AD =，
21()BAD CAD SAS ∴∆≅∆，
21252BD CD ∴==．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．已知：平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，将OB 绕O 点顺时针转60°至OA ．
（1）如图1，试判定△ABO 的形状，并说明理由．
（2）如图1，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，问：AP 与AO 之间有何数量关系，试证明你的结论．
（3）如图2，若BC ⊥BO ，BC ＝BO ，作BD ⊥CO ，AC 、DB 交于E ，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE ．
答案：（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP ＝2AO ，证明见解析；（3）见解析
【分析】
（1）在三角形AOB 中，AB=BO ，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；
（2）可通过证明△
解析：（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP ＝2AO ，证明见解析；（3）见解析
【分析】
（1）在三角形AOB 中，AB=BO ，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；
（2）可通过证明△ABG 与△OBE 全等，得到∠APO ＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP ＝2AO ；
（3）做辅助线在AC 上截取AM ＝EC ，连接BM ，可得AM+EM ＝CE+EM ，即AE ＝CM ， 再通过边角转换证明△ABE 与△CBM 全等，即可得到△BEM 为等边三角形，从而可证AE ＝AM+EM ＝CE+BE.
【详解】
解：（1）如图1，△AOB 为等边三角形，理由是：
∵将绕OB 绕O 点旋转至OA
∴∠AOB=60°，
∵AO ＝AB
∴△AOB 为等边三角形；
（2）AP ＝2AO ，理由为：
证明：∵△AOB 与△BGE 都为等边三角形，
∴BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，
∴∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，
在△ABG 和△OBE 中，
BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABG ≌△OBE （SAS ），
∴∠BAG ＝∠BOE ＝60°，
∴∠GAO ＝∠GAB+∠BAO ＝120°，
∵∠GAO 为△AOP 的外角，且∠AOP ＝90°，
∴∠APO ＝30°
在Rt △AOP 中，∠APO ＝30°，
则AP ＝2AO ．
（3）补全图形，
在AC 上截取AM ＝EC ，连接BM ，可得AM+EM ＝CE+EM ，即AE ＝CM ，
∵△AOB 为等边三角形，△BOC 为等腰直角三角形，
∴∠OBC ＝90°，∠ABO ＝60°，
∵D 为CO 的中点，
∴BD 平分∠OBC ，即∠CBD ＝∠OBD ＝45°，
∴∠ABD ＝105°，∠ABC ＝150°，
∴∠BAC ＝∠BCA ＝15°，
∴∠AEB ＝15°+45°＝60°，
在△ABE 和△CBM 中，
∵AB CB BAE BCM AE CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△CBM （SAS ），
∴BM ＝BE ，
∴△BEM 为等边三角形，
∴BE ＝EM ，
∴AE ＝AM+EM ＝CE+BE ；
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.
6．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．
（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；
（2）求证：//BF AC ；
（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．
答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；
（2）先根
解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得
60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；
（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；
（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1）AEG △是等边三角形，理由如下：
如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，
60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，
60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；
（2）ABC 和EFC 是等边三角形，
,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，
ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，
在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACE BCF SAS ∴≅，
60CBF CAE ∴∠=∠=︒，
CBF ACB ∴∠=∠，
//BF AC ∴；
（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，
DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，
ED EC =，
D AC
E ∴∠=∠，
由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，
D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，
60ABC EFC ∠∴∠==︒，
在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， 在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，
在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADE BEF AAS ∴≅，
AD BE ∴=，
AB BE AE AD BF ∴=+=+．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．
7．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．
（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；
（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；
（3
）已知BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．
答案：（1）见解析；（2）BE=CD ，理由见解析；（3）EF= ．
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥
解析：（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形
∴∠CAB =∠ABD = 45°，BD
AB
BC =2BC =2AC
∴AC ∥BD
又∵G 为BD 的中点，
∴BD =2DG ，
∴AC =DG ，AC ∥DG
∴四边形ACGD 为平行四边形；
（2）BE =CD ，理由如下
∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD
∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，
∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，
∴∠EAB =∠CAD ，
在△DAC 与△BAE 中， AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAC ≌△BAE ，
∴BE =CD ；
（3） ∵△DAC ≌△BAE
∴∠AEB=∠ACD
又∵∠EAC=90°
∴∠EFC=∠DFB=90°
∴ △DBF 是直角三角形
∵BC =2， ∴BD =22， 根据勾股定理得CD =10，
∴
11••22CD BF BC BD = ∴1210⨯BF =12
2⨯•22 ∴BF =2105
∴EF =BE -BF =CD -BF = 102105-
= 3105． 【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
8．如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°，点C 、D 分别在边OA 、OB 上的点．连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH ．
（1）如图1，求证：OH ＝12
AD ，OH ⊥AD ； （2）将△COD 绕点O 旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．
答案：（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】
（1）只要证明△AOD ≌△BOC （SAS ），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：OH=AD ，OH ⊥AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，证明
解析：（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】
（1）只要证明△AOD ≌△BOC （SAS ），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：OH=12AD ，OH ⊥AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，证明△BEH ≌△CHO （SAS ），可得OE=2OH ，∠EBC=∠BCO ，证明△BEO ≌△ODA （SAS ）即可解决问题；
【详解】
（1）∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°．
∴OC ＝OD ，OA ＝OB
在△AOD 与△BOC 中
OA OB AOD BOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOD ≌△BOC （SAS ）
∴∠ADO ＝∠BCO ，∠OAD ＝∠OBC ，BC ＝AD
∵点H 是BC 的中点，∠AOB ＝90°
∴OH ＝HB ＝12
BC ∴∠OBH ＝∠HOB ＝∠OAD ，OH ＝
12AD ∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°
∴∠ADO ＋∠BOH ＝90°
∴OH ⊥AD
（2）（1）中结论成立；如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连接BE ，CE
∵CH ＝BH
∴四边形BOCE是平行四边形
∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝1
OE
2
∴∠EBO＋∠COB＝180°
∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°
∴∠1＝∠COB
∵∠AOD＋∠1＝180°
∴∠AOD＝∠EBO
∴△BEO≌△ODA
∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD
∴OH＝1
AD
2
∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°
∴OH⊥AD
【点晴】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.
9．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为
____________；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．
答案：（1）CD+CF=AC；（2）不成立，CD-CF=AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得
∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△B
解析：（1）2AC；（2）不成立，2AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可得出BC=CD+CF，根据等腰直角三角形
的性质可得
AC，进而可得答案；
（2）同（1）可证明△BAD≌△CAF，可得BD=CF，即可得出CD=BC+CF，根据等腰直角三
角形的性质可得
AC，可得
AC，即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAF+∠DAC=90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB AC
BAD CAF AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD+CF=CD+BD=BC，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴
AC，
∴
AC．
故答案为：
AC
（2）不成立，
AC．理由如下：
同（1）可证△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD=BC+BD=BC+CF，
∵
AC，
∴
AC．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，
OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．
答案：（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD 且AC ⊥BD ；证明见解析
【分析】
（1）根据等式的性质可得AC 与BD 的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC 与BD 的位置关系；
（2）证
解析：（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD 且AC ⊥BD ；证明见解析
【分析】
（1）根据等式的性质可得AC 与BD 的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC 与BD 的位置关系；
（2）证明△OCA ≌△ODB ，即可得到AC=BD ；
（3）证明△OCA ≌△ODB ，可得AC=BD ，∠BDO=∠ACO ，进而可证∠DEF=90°．
【详解】
解：（1）∵OA=OB ，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD ，
∴AC=BD ．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO ⊥BO ，
∵C 、D 分别在OA 、OB 上，
∴AC ⊥BD ；
（2）在△OCA 和△ODB 中，
90OC OD
COA BOD AO BO
=⎧⎪∠==⎨⎪=⎩，
∴△OCA ≌△ODB ，
∴AC=BD ；
（3）AC=BD ，AC ⊥BD ．
理由：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，
∴∠AOC=∠BOD ，
在△OCA 和△ODB 中，
OC OD COA BOD AO BO =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴△OCA ≌△ODB ，
∴AC=BD ，∠BDO=∠ACO ，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE ，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，
∴AC ⊥BD ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
二、全等三角形手拉手模型
11．如图，已知等边ABC ，点D 为ABC 内的一点，连接
,150DA DB DC ADB ∠=︒、、，以CD 为边向CD 上方作等边CDE △，连接AE （060ACE ︒<∠<︒）．
（1）求证：BDC AEC △≌△．
（2）请判断ADE 的形状，并证明你的结论．
（3）若,2AD AE CD a ==，求ACD ∠的度数及ABD △的面积（用含a 的代数式表示）．
解析：（1）见解析；（2）△ADE 为直角三角形，理由见解析；（3）2ADB 12S a =． 【分析】
（1）利用“SAS”即可证明△BDC ≅△AEC ； （2）设∠ABD =x ，求得∠EAC=∠DBC =60x ︒-，∠DAB=30x ︒-，∠DAC 30x =︒+，从而推出△ADE 为直角三角形；
（3）可证明△EDA 为等腰直角三角形，求得AE=AD=2a ，过点B 作AD 的垂线交AD 的延长线于点F ，再推出DB=DA 2a =，求得BF=
12DB=22a ，即可求得2ADB 12
S a =． 【详解】
（1）∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB=60︒，CB=CA ，
∵△EDC 为等边三角形，
∴∠ECD=60︒，CD=CE ，
∴∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD ，
∴∠DCB =∠ECA ，
在△BCD 和△ACE 中， CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≅△AEC(SAS)；
（2）△ADE 为直角三角形，理由如下，
设∠ABD =x ，则∠DBC=60x ︒-，
由（1）可知：∠EAC=∠DBC =60x ︒-，
∵∠ABD =150︒，
∴∠DAB=18015030x x ︒-︒-=︒-，
∴∠DAC=∠CAB-∠DAB =60()3030x x ︒-︒-=︒+，
∴∠DAE=∠EAC+∠DAC=60()3090x x ︒-+︒+=︒，
∴△ADE 为直角三角形；
（3）∵△EDC 为等边三角形，
∴∠ECD=60︒，CD=CE=DE=2a ，
在△ADC 和△AEC 中，
AD AE DC EC CA CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≅△AEC(SSS)；
∴∠EAC=∠DAC=45︒，
又∵AE=AD ，∠EAD=90︒，DE=2a ，
∴△EDA 为等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠BAC-∠DAC =60︒-4515︒=︒，
根据勾股定理求得AE=AD=2a ，
过点B 作AD 的垂线交AD 的延长线于点F ，
∵∠ADB =150︒，
∴∠BDF=18015030︒-︒=︒，
∴∠DAB=∠DBA 15=︒，
∴DB=DA 2a =，
∴BF=122， ∴2ADB 112122222
S AD BF a a a =⋅=⋅=． 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，判断出△EDA 为直角三角形是解本题的关键．
12．如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB CE >，连接,BG DE ．
（1）求证：BG DE =；
（2）连接BD ，若CG //BD ，BG BD =，求BDE ∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）60BDE ∠=︒．
【分析】
（1）结合正方形的性质利用SAS 证明BCG DCE ∆≅∆，进而可证明结论；
（2）连接BE ，通过证明BCG BCE ∆≅∆可得BDE ∆为等边三角形，进而求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，
∴,,90BC DC CG CE BCD GCE ==∠=∠=︒，
∴BCD DCG GCE DCG ∠+∠=∠+∠，
∴BCG DCE ∠=∠，
在BCG ∆和DCE ∆中，
BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()BCG DCE SAS ∆≅∆，
∴BG DE =；
（2）连接BE ，
∵//CG BD ，
∴45DCG BDC ∠=∠=︒，
∴9045135BCG BCD DCG ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∵90GCE ∠=︒，
∴36036013590135BCE BCG GCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
∴BCG BCE ∠=∠．
在BCG ∆和BCE ∆中
BC BC BCG BCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ΔΔBCG BCE SAS ≅，
∴BG BE =，
∵由（1）可知BG DE =，
∴BD BE DE ==，
∴BDE ∆为等边三角形，
∴60BDE ∠=︒．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，能证明相关三角形全等是解题的关键．
13．（1）问题：如图1，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图2，在Rt △ABC 与Rt △ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 延长线上，试证明BD 2+CD 2=2AD 2；
（3）应用：如图3，在四边形ABCF 中，∠ABC =∠ACB =∠AFC =45°．若BF =9，CF =3，直接写出AF 的长为 ．
解析：（1）BC=DC+EC ；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△BAD ≌△CAE ，得到BD=CE ，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF ≌△CAG ，得到BF=CG=9，证明△CFG 是直角三角形，根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
（1）BC=DC+EC ，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ，
∴BC=BD+CD=EC+CD ，
故答案为：BC=DC+EC ；
（2）如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∵△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴DE 2=CE 2+CD 2，
∵AD=AE ，∠DAE=90°，
∴2AD ，
∴2AD 2=BD 2+CD 2；
（3）如图3，将AF 绕点A 逆时针旋转90°至AG ，连接CG 、FG ，
则△FAG 是等腰直角三角形，
∠AFG=45°，
∵∠AFC=45°，
∴∠GFC=90°，
同理得：△BAF ≌△CAG ，
∴CG=BF=9，
Rt △CGF 中，∵CF=3，
∴22229362CG CF -=-=
∵△FAG 是等腰直角三角形，
∴AF=FG 2sin 45262⋅︒==． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，问四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，AC BD ⊥. 试证明：2222AB CD AD BC +=+；
(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结,,CE BG GE .已知30,1CAB CB ∠=︒=，求GE 的长.
解析：(1)是，理由见解析； (2)见解析；（3）13
【分析】
（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【详解】
解：（1）是
AD AB，
理由：=
∴A在BD的垂直平分线上.
=，
∵CD CB
∴C在BD的垂直平分线上.
∴AC垂直平分BD.
∴四边形ABCD为垂美四边形.
（2）如图2，连接AC和BD，
AC BD，
222
∴=+，
AH AO BO
222
DC CO CO
=+，
222
=+，
AD AO DO
222
=+.
BC BO CO
222222
∴+=+++.
AB DC AO BO CO DO
222222
+=+++.
BC AD BO CO AO DO
2222
∴+=+；
AB DC BC AD
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB 和△CAE 中，
AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△CAE （SAS ），
∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，
∴四边形CGEB 是垂美四边形，
由（2）得，CG 2+BE 2=CB 2+GE 2，
∵30,1CAB CB ∠=︒=，
∴AC=3，AB=2，CG=6，BE=22，
∴GE 2=CG 2+BE 2-CB 2=13，
∴GE=13.
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，已知A （3，0），以OA 为一边在第一象限内画正方形OABC ，D （m ，0）为x 轴上的一个动点，以BD 为一边画正方形BDEF （点F 在直线AB 右侧）．
（1）当m ＞3时（如图1），试判断线段AF 与CD 的数量关系，并说明理由． （2）当AF=5时，求点E 的坐标；
（3）当D 点从A 点向右移动4个单位，求这一过程中F 点移动的路程是多少？
解析：（1）AF CD =，理由见解析；（2）点E 的坐标为(7,1)E 或(1,7)E --；（3）这一过程中F 点移动的路程是向上移动4个单位．
【分析】
（1）先根据正方形的性质得出,,90AB CB BF BD ABC BDF ==∠=∠=︒，再根据角的
和差求出CBD ABF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；
（2）分点D 在点A 的右侧和点D 在点A 的左侧，分别画出图形．①如图1，先利用（1）的结论可得5CD =，再利用勾股定理求出4OD =，从而可得1AD =，然后过点E 作EG x ⊥轴于点G ，根据三角形全等的判定定理与性质可得1,3GE GD ==，从而可得7OG =，由此即可得；②如图2，同①的方法，利用三角形全等的判定定理与性质得出7,3HE HD ==，从而可得1OH =，由此即可得；
（3）参照（2）①的方法，求出点F 的坐标，从中可发现点F 的坐标与m 的关系，由此即可得出答案．
【详解】
（1）AF CD =，理由如下：
四边形OABC 和四边形BDEF 都是正方形
,,90AB CB BF BD ABC BDF ∴==∠=∠=︒
ABC ABD BDF ABD ∴∠+∠=∠+∠，即CBD ABF ∠=∠
在BAF △和BCD 中，AB CB ABF CBD BF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BAF BCD SAS ∴≅
AF CD ∴=；
（2）由题意，分以下两种情况：
①如图1，点D 在点A 的右侧
四边形OABC 和四边形BDEF 都是正方形，(30)A ，
3OC AB OA ∴===，BD DE =，90OAB BDE ∠=∠=︒
90ABD ADB GDE ADB ∴∠+∠=∠+∠=︒，即ABD GDE ∠=∠
由（1）可知，5AF CD ==
在Rt COD
中，4OD ===
431AD OD OA ∴=-=-=
过点E 作EG x ⊥轴于点G
在ABD △和GDE △中，90BAD DGE ABD GDE BD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD GDE AAS ∴≅
1,3AD GE AB GD ∴====
437OG OD GD ∴=+=+=
此时点E 的坐标为(7,1)E
②如图2，点D 在点A 的左侧
由（1）可知，5AF CD ==
在Rt COD 中，2222534OD CD OC =-=-=
437AD OD OA ∴=+=+=
过点E 作EH x ⊥轴于点H
同理可证：ABD HDE ≅
7,3AD HE AB HD ∴====
431OH OD HD ∴=-=-=
此时点E 的坐标为(1,7)E --
综上，点E 的坐标为(7,1)E 或(1,7)E --；
（3）由题意，只需求出点D 在点A 的右侧，即3m >时，点F 的坐标即可解决问题 如图1，过点F 作FM x ⊥轴于点M
由（1）已证：BAF BCD ≅
AF CD ∴=，BAF BCD ∠=∠
90BAD BCO ∠=∠=︒
BAD BAF BCO BCD ∴∠-∠=∠-∠
FAM DCO ∴∠=∠
在AFM △和CDO 中，90AMF COD FAM DCO AF CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AFM CDO AAS ∴≅
3,MA OC MF OD m ∴====
336OM OA MA ∴=+=+=
此时点F 的坐标为(6,)F m
由此可知，当D 点从A 点向右移动4个单位时，点F 向上移动4个单位
即这一过程中F 点移动的路程是向上移动4个单位．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、点的坐标变换规律等知识点，较难的是题（2），依据题意，分两种情况讨论，然后分别通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
16．已知ABC ∆中，AB AC =．
（1）如图1，在ADE ∆中，若AD AE =，且DAE BAC ∠=∠，求证：CD BE =； （2）如图2，在ADE ∆中，若60∠∠︒DAE BAC ==，且CD 垂直平分AE ，3AD =，4CD =，求BD 的长；
（3）如图3，在ADE ∆中，当BD 垂直平分AE 于H ，且2BAC ADB ∠=∠时，试探究2CD ，2BD ，2AH 之间的数量关系，并证明．
解析：（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2=BD 2+4AH 2，证明见解析；
【分析】
（1）求出∠DAC=∠BAE ，再利用“边角边”证明△ACD 和△ABE 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接BE ，先求出△ADE 是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD ，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）过B 作BF ⊥BD ，且BF=AE ，连接DF ，先求出四边形ABFE 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF ，设∠AEF=x ，∠AED=y ，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD ，从而得到∠CAD=∠FED ，然后利用“边角边”证明△ACD 和△EFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF ，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
（1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE ，
即∠DAC=∠BAE ．
在△ACD 与△ABE 中，
AD AE DAC BAE AC AB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△ABE （SAS ），
∴CD=BE ；
（2）如图2，连接BE ，
∵CD 垂直平分AE
∴AD=DE ，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE 是等边三角形，。