理论力学：CHA3 点的复合运动

ae
ar
aa rO + xi + yj + zk + xi+ yj+ zk
+ 2 xi+ yj+ zk
z M(M')
rM
z' r' k' j'
rO' i' O' y'
xO
x' y
aa = ae ar +2 xi+ yj+ zk
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
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实例分析
第三章 点的复合运动
用几个简单的运动可以合 成一个复杂的运动
研究同一物体（或点）在 不同参考系中运动的关系。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工返程回力首学页系
第三章 点的复合运动
§3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动 §3.2 点的速度合成定理 §3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §3.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
dk dt
ωe
k
aa ae ar +2ωe vr
令 aC 2ωe vr ,称为科氏加速度。
aa ae ar aC
1832年Coriolis (法国物 理学家)研究水轮机发现。
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第三章 点的复合运动
§ 3.3 点的加速度合成定理
theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系33点的加速度合成定理第三章点的复合运动theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系33点的加速度合成定理第三章点的复合运动theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系水流方向右岸冲刷的强度比左岸大因此右岸比左岸陡长江三峡theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系theoreticalmechanics山东大学土建与水利学院工程力学系地球自转对大气环流的影响科里奥利力与角动量守恒原理也使热带气旋的云系围绕着中心旋转
z k
(相对导数)
ar
dvr ＝x i dt
y
Байду номын сангаасj
z k
rM
z' r' k' j'
rO' i' O' y'
xO
x' y
牵连速度ve，牵连加速度ae为
r= xi+ yj+ zk
ve = rM x,y,zconstant rO + xi+ yj+ zk
rM = rO + xi+ yj+ zk (x, y, z constant)
(相对轨迹、
点
速度与加速度)
的
复
合
动系
运
动
动点
牵连运动 (刚体运动)
(绝对轨迹、 速度与加速度)
定系 (牵连速度与加速度)
动系上与动点 重合的点(牵连点)
合成
相对运动+牵连运动 绝对运动
分解
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§3.2 点的速度 合成定理
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aet OM aen OM 2
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绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
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第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
如图杆长l，绕O轴以角速度 转动， 圆盘半径为r，绕o轴以角速度
转动。求圆盘边缘M1和M 2 点的牵 连速度和加速度。
d vr dt
•绝对（加）速度：动点相对定系的（加）速度
va xi yj zk
aa xi yj zk
•相对（加）速度：动点相对动系的（加）速度
vr x'i' y' j' z'k'
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ar x'i' y' j'z'k'
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aa rO + xi+ yj + zk+ xi+ yj+ zk+ 2 xi+ yj+ zk
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第三章 点的复合运动
§ 3.2 点的速度合成定理
动点的相对速度vr，相对加速度ar为
z M(M')
vr
dr＝x i dt
y
j
(条件导数)
ae = ve x,y,zconstant rO + xi+ yj+ zk
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第三章 点的复合运动
§ 3.2 点的速度合成定理
vr＝xi y j z k
z M(M')
ve = rO + xi+ yj+ zk
rM
第三章 点的复合运动
§ 3.3 点的加速度合成定理
aa = ae ar +2 xi+ yj+ zk
1、牵连运动为平动时， i j k 0
aa ae ar
牵连运动为平动时的加速度合成定理：当牵连运动为平动 时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速 度与相对加速度的矢量和。
一般形式： aan aat aen aet arn art
解：静系取在地面上，动系取在 杆上，则
ve1 (l r)
a ve 2 e2
M2
o
ve1
ae1
M1
o
ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
ae2 l 2 r 2 2
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第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
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§3.3-4 点的加速度合 成定理
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第三章 点的复合运动
§ 3.3 点的加速度合成定理
ar x i y j z k
ae = rO + xi+ yj+ zk
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝 对速度（ va ）和绝对加速度（ aa ）。
相对运动：动点相对动系的运动
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相 对速度 （ vr ）和相对加速度（ ar ）。
牵连运动：动系相对于静系的运动
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§3.1 相对运动. 牵连运动.绝对运动
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运动的相对性
第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
不同的观察者观察的结果不同。车上的人以车厢为参考系 观察到车轮边缘一点在做圆周运动。站在地面上的人以大地为 参考系观察到车轮边缘一点的轨迹如图中所示。
地球
y
金星
x
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第三章 点的复合运动
地 心 参 考 系 中 行 星 的 运 动
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y
x
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第三章 点的复合运动
地
心
参
考
系
中
金
星
的
运
动
轨
金星的运动轨迹
迹
选取适当的参考系, 可使描述运动的形式简单
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x
O
z'
r' k' j'
rO'
y' O'
i'
x' y
rM = rO + r = rM r = xi+ yj+ zk rM = rO + xi+ yj+ zk
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第三章 点的复合运动
§ 3.2 点的速度合成定理
绝对导数：矢量在静参考系中观察到的对时间 的变化率。
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第三章 点的复合运动
在不同参考系下研究点的运动
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第三章 点的复合运动
日 心 参 考 系 中 行 星 的 运 动 轨 迹
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因此这种类型的运动就称为点的合成运动。
合成
相对运动+牵连运动 绝对运动
分解
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第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动系上的点。
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第三章 点的复合运动
§ 3.3 点的加速度合成定理
aa = ae ar +2 xi+ yj+ zk
di
dt
ωe
i
2、牵连运动为转动时，
dj
dt
ωe
j
2 xi y j z k
2ωe vr
2ωe x i y j z k
z M(M')
相对导数：矢量在动参考系中观察到的对时间 的变化率。
动点的绝对速度va，绝对加速度aa为
va = rM
(绝对导数)
x
rM
O
z'
r' k' j' rO' i' O' y'
x' y
= rO + xi+ y j+ zk+ xi+ yj+ zk
rM = rO + xi+ yj+ zk
aa va rM = rO + xi+ y j+ zk+ xi+ yj+ zk +xi + yj + zk+ xi+ yj+ zk
相对运动？ 牵连运动？
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第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
实例分析
水流从喷管射出，喷管又绕O轴转动，转动角速度
为ω ，角加速度为α 。试分析水滴的运动。
α
aet
aen ve vr ar
动点：水滴Ｍ
静坐标系？
O
M (M ')
A
动坐标系？
ve OM
第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
合成运动的概念
如果没有相对运动，则动点随同 动坐标系所作的运动（牵连运动）就 是它的绝对运动；
反之，如果没有牵连运动，则动 点的相对运动就是它的绝对运动。
可见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也决
定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运动的合成，
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第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
z'
r xi yj zk
z
o'
x'
r' M
r' x'i' y' j' z'k'
ro'
o
x
y' r
y
ro' xo'i yo' j zo'k r ro' r'
vr
dr dt
d r dt
ar
dvr dt
第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
注： 1、动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可
能作直线运动或曲线运动； 牵连运动则是指参考系的运动，实际上是刚体的运动，
它可能作平动、转动或其他较复杂的运动。 2、动系是无限延伸的。
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位
瞬
于
时
动
性
系
上
相 伴 性 牵连速度(ve): 牵连点的速度
牵连加速度(ae): 牵连点的速度
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实例 分析
第三章 点的复合运动
§ 3.1 相对运动.牵连运动.绝对运动
y
大梁不动时
x
动点: A
静坐标系？
动坐标系？
绝对运动？
ar vr
v an
( A' ) e
e
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第三章 点的复合运动
本章重点、难点
⒈重点
点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。
⒉难点
牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念， 以及动点、动坐标系的选择。
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第三章 点的复合运动
§ 3.2 点的速度合成定理
动点:M
动参考系:Ox yz
z M(M')
静参考系：Oxyz
rM rO —动参考系原点O 在定参考系中的矢径
rM —动点M在定系中的矢径
r —动点M在动系中的矢径
M —动系上与动点重合的点（牵连点）
它在定系中的矢径为rM
ω / / vr
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aC 0
山东大学 土建与水利学院工程力学2系9
第三章 点的复合运动
z' r' k' j'
va = rO + xi+ y j+ zk+ xi+ yj+ zk
ve
vr
xO
rO' i' O' y' x' y
va = ve vr
点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和 。