2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理_11

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题
理
一、选择题（本题共12小题、每小题5分、共60分）
1、抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
2、命题“，使是”的否定是（）
A．，使得B．，使得.
C．，使得D．，使得
3、下列命题中正确的是（）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
4、已知为等差数列的前n项和，若，则
（）
A.18
B.99
C.198
D.297
5、以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A．B．C．
D．
6、已知等比数列的前项和为，，，则
（）
A．B．C．D．
7、“”是“成立”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、不等式的解集是（）
A．B． C．D．
9、若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于( )
A.－28
B.－26
C.28
D.26
10、关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
11、已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
12、设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4小题每题5分共20分）
13、过抛物线的焦点作弦，点，，且
，则_________．
14、设满足约束条件，则的最大值为 .
15、已知，，，则的最小值为________．
16、已知等比数列是递减数列，是的前项和，若
是方程的两个根，则__________．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、设是等差数列，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值.
18、已知数列的前n项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为,求证．
19、已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点
（I）求抛物线C的方程；
（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；
20、已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点．
求：（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．
21、如图，在三棱柱中，，，且
，底面，为中点,点为上一点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
22、在四棱锥中，底面为菱形，，侧面
为等腰直角三角形，，点为棱的中点．
（1）求证：面面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
参考答案
1、【答案】D
2、【答案】D
3、【答案】A
4、【答案】B
5、【答案】B
6、【答案】C
7、【答案】A
8、【答案】A
9、【答案】C
10、【答案】D
11、【答案】A
12、【答案】C
13、【答案】14
14、【答案】5.
15、【答案】9
16、【答案】
17、【答案】（1）
（2）
试题分析：（1）根据题意列方程组，解方程组即可得出，再写出数列的通项公式即可。

（2）解出得到，即等差数列的前5项为负，第6项为0，其前n项和的最小值为前5项或者前6项的和。

【详解】
（1）由题意知
解得，
所以
（2）解得，
所以
【点睛】
本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。

18、【答案】（1）．（2）证明见解析
试题分析：（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式
即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．
【详解】
解：（1）,
当时,,
又满足上式,
．
（2）证明：,
,
．
,,
．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．
19、【答案】（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）
试题分析：（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．
（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值．
（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．
【详解】
（I）∵准线方程x=-,得=1，
∴抛物线C的方程为
（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=
要使+的最小，则P，A，B三点共线
此时+=+=4·
（III）直线MN的方程为y=x-·
设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得
-3x+=0
∵△=9-4×1×＝8＞0
∴+=3，=
线段MN中点的横坐标为，纵坐标为
线段MN中点的坐标为（）
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．
20、【答案】（1）（2）中点坐标为，弦长
试题分析：（1）根据已知得到，利用求得，从而得到标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到根与系数的关系，利用中点坐标公式求得中点坐标；再利用弦长公式求得所求弦长.
【详解】
（1）椭圆的焦点为和，长轴长为
椭圆的焦点在轴上，，
椭圆的标准方程为：
（2）设，，线段的中点为
由，消去得：
，
弦的中点坐标为
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆弦长及弦中点的求解，主要考查对于韦达定理、弦长公式的掌握，属于基础题型.
21、【答案】（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）连接交于O，连接EO，证明，推出平面．
（2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．
【详解】
（1）连接交于，连接，
因四边形为矩形，，为对角线，所以为中点，又为中点，
所以，平面，平面，
所以//平面．
（2）因为底面，所以底面，
又，所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，，．，，
设平面的法向量为,则有，即令，则．
由题意底面，所以为平面的法向量，
所以，又由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为。

【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22、【答案】（1）见解析；（2）
试题分析：（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线
的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.
【详解】
（1）证明：∵，为棱的中点，∴，
又∵为菱形且，∴，
∵，∴面，
∵面，∴面面；
（2）解：∵，，∴，，
又，∴，则．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，得．
设直线与平面所成角为．
所以
【点睛】
本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题
理
一、选择题（本题共12小题、每小题5分、共60分）
1、抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
2、命题“，使是”的否定是（）
A．，使得B．，使得.
C．，使得D．，使得
3、下列命题中正确的是（）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
4、已知为等差数列的前n项和，若，则（）
A.18
B.99
C.198
D.297
5、以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A．B．C．D．
6、已知等比数列的前项和为，，，则（）A．B．C．D．
7、“”是“成立”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、不等式的解集是（）
A．B． C．D．
9、若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于( )
A.－28
B.－26
C.28
D.26
10、关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( ) A．B．C．D．
11、已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
12、设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且
，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4小题每题5分共20分）
13、过抛物线的焦点作弦，点，，且，则
_________．
14、设满足约束条件，则的最大值为 .
15、已知，，，则的最小值为________．
16、已知等比数列是递减数列，是的前项和，若是方程的两个根，则__________．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、设是等差数列，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值.
18、已知数列的前n项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为,求证．
19、已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点
（I）求抛物线C的方程；
（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；
20、已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于
A、B两点．
求：（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．
21、如图，在三棱柱中，，，且，底面
，为中点,点为上一点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
22、在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，点为棱的中点．
（1）求证：面面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
参考答案
1、【答案】D
2、【答案】D
3、【答案】A
4、【答案】B
5、【答案】B
6、【答案】C
7、【答案】A
8、【答案】A
9、【答案】C
10、【答案】D
11、【答案】A
12、【答案】C
13、【答案】14
14、【答案】5.
15、【答案】9
16、【答案】
17、【答案】（1）
（2）
试题分析：（1）根据题意列方程组，解方程组即可得出，再写出数列的通项公式即可。

（2）解出得到，即等差数列的前5项为负，第6项为0，其前n项和的最小值为前5项或者前6项的和。

【详解】
（1）由题意知
解得，
所以
（2）解得，
所以
【点睛】
本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。

18、【答案】（1）．（2）证明见解析
试题分析：（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可
得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．
【详解】
解：（1）,
当时,,
又满足上式,
．
（2）证明：,
,
．
,,
．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．
19、【答案】（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）
试题分析：（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．
（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值．
（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．
【详解】
（I）∵准线方程x=-,得=1，
∴抛物线C的方程为
（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=
要使+的最小，则P，A，B三点共线
此时+=+=4·
（III）直线MN的方程为y=x-·
设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得-3x+=0
∵△=9-4×1×＝8＞0
∴+=3，=
线段MN中点的横坐标为，纵坐标为
线段MN中点的坐标为（）
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．
20、【答案】（1）（2）中点坐标为，弦长
试题分析：（1）根据已知得到，利用求得，从而得到标准方程；（2）将直线方
程代入椭圆方程，得到根与系数的关系，利用中点坐标公式求得中点坐标；再利用弦长公式求得所求弦长.
【详解】
（1）椭圆的焦点为和，长轴长为
椭圆的焦点在轴上，，
椭圆的标准方程为：
（2）设，，线段的中点为
由，消去得：
，
弦的中点坐标为
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆弦长及弦中点的求解，主要考查对于韦达定理、弦长公式的掌握，属于基础题型.
21、【答案】（1）详见解析；（2）.
试题分析：（1）连接交于O，连接EO，证明，推出平面．（2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．
【详解】
（1）连接交于，连接，
因四边形为矩形，，为对角线，所以为中点，又为中点，
所以，平面，平面，
所以//平面．
（2）因为底面，所以底面，
又，所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，，，．，，
设平面的法向量为,则有，即令，则
．
由题意底面，所以为平面的法向量，
所以，又由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为。

【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22、【答案】（1）见解析；（2）
试题分析：（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为
轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.
【详解】
（1）证明：∵，为棱的中点，∴，
又∵为菱形且，∴，
∵，∴面，
∵面，∴面面；
（2）解：∵，，∴，，
又，∴，则．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，得．
设直线与平面所成角为．
所以
【点睛】
本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.。