山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习 二次函

山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习 二次函数考查点例
析 新人教版
一．考查二次函数的性质：
1．二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）,a 、b 、c 的符号与函数所经过象限的关系： 例1：（2008年巴中市）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4
所示，则下列说法不正确的是（ ）
A ．240b ac ->
B ．0a >
C ．0c >
D ．02b a -< 【解析】二次函数c bx ax y ++=2的图象与各系数的对应关系: ①二
次项系数a 决定抛物线的开口方向,当二次项系数a>0时,二次函数的
图象开口向上; 当二次项系数a<0时,二次函数的图象开口向下;②一次项系数b 与二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a,b 同号时对称轴位于x 轴的负半轴上（y 轴的左侧），当a,b 异号时对称轴位于x 轴的正半轴上（y 轴的右侧）,对称轴方程为x=2b a
-；③c 决定着抛物线与y 轴的交点位置,当c>0时,抛物线与y 轴的交点位于y 轴的正半轴, 当c<0时,抛
物线与y 轴的交点位于y 轴的负半轴;④二次函数与x 轴的交点个数由b 2－4ac 的值来决定：
当b 2－4ac>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点；当b 2－4ac=0时，二次函数与x 轴有
唯一的交点；当b 2－4ac<0时，二次函数与x 轴没有交点.反之,亦成立.此题由图象可判定
a>0, 0c >,240b ac ->,02b a
->,故此题选D. 2．二次函数的平移：
（四川省资阳市）在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、
向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
A ．y ＝2(x －2)2 + 2
B ．y ＝2(x + 2)2－2
C ．y ＝2(x －2)2－2
D ．y ＝2(x + 2)2 + 2
【解析】二次函数c bx ax y ++=2
的顶点坐标为（2
4,24b ac b a a --），顶点坐标的意义：当a>0时，函数有最小值，并且当x=a
b 2-，y 最小值=a b a
c 442-；当a<0时，函数有最大值，并且当x=a
b 2-，y 最大值=a b a
c 442-.当把二次函数解析式化为()2y x h k =-+的形式时，可知当x h =，其有最大值或最小值k .二次函数的平移可以转化为点的平移，进而转化为
顶点的平移。

当两个二次函数的二次项系数a 相同时，可以通过顶点的平移使两个二次函数
的图像重合。

此题抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2
个单位后顶点坐标变为（－2，－2），所以平移后的二次函数的顶点坐标为（－2，－2），观察所给的选项，B 选项的坐标为（－2，－2），故此题选B 。

3．与二次函数有关的特殊值：
（2008年甘肃省兰州市）9．已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】从图象可以看出a ＜0， c ＞0，再由对称轴x=1可得b ＞0，所以①0abc >是错误的；由抛物线与x 轴的交点的横坐标是－1和3可得②b a c <+是错误的，③420a b c ++>是正确的；由顶点在第一象限可得④240b ac ->是对的.所以本题选B.
(2008·东营市)若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,4
1y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．132y y y <<
【解析】本题考查二次函数的增减性及对称性等知识：此题由二次函数的性质和图像的知识知二次函数对称轴为x=－2且开口向上，因为1135(2)2()(2)444
-->--->---，所以213y y y <<故此题选B 。

（2008年甘肃省兰州市）9．已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 -1 O
x =1 y
【解析】从图象可以看出a ＜0， c ＞0，再由对称轴x=1可得b ＞0，所以①0abc >是错误的；由抛物线与x 轴的交点的横坐标是－1和3可得②b a c <+是错误的，③420a b c ++>是正确的；由顶点在第一象限可得④240b ac ->是对的.所以本题选B.
（2008河北天门）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图
所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c
＞0，其中正确结论的个数为（ ）．
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
【解析】由图象可以推得a ＜0，b ＞0，c ＞0，故①正确；对称轴12b a -<，解得2a ＋b ＜0，故②正确；当x=－1时，函数值大于0，故a －b ＋c>0，所以③错误；④由于纵坐标的具体单位长度没有标出a ＋c ＞0条件不足，不能确定a ＋c 与0的大小关系。

故正确的答案有2个，此题选C 。

二．二次函数与方程、不等式的关系：
1．求自变量及函数值的取值范围
(2008四川绵阳)二次函数y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ ）．
A ．x ＜0或x ＞2
B ．0＜x ＜2
C ．x ＜－1或x ＞3
D ．－1＜x ＜3
【解析】由上表中的对应值及函数的图象可以判断当y ＜0时，x 的取值范围是－1＜x ＜3.故此题选D 。

（2008福建福州）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式
22008m m -+的值为（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
【解析】二次函数和一元二次方程的关系：抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，
就是一元二次方程02=++c bx ax 的两根，所以012=--m m ，即12
=-m m ，原式=2009，选D 答案．
(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：
①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3
③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________。

(把正确的答案的序号都填在横线上) x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 -1 O
x =1
y -1 O 1 x y
【解析】解决此类问题要综合利用图像和特殊值来解题。

由二次函数的图像可判断：a ＞0，
c ＜0，得到ac ＜0；根据图像知与x 轴的交点的横坐标为-1和3得到方程ax 2＋bx ＋c=0的
根是x 1= －1, x 2= 3；当x =1时，由图像知y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0；利用抛物线的对称性由图像与x 轴的两个交点知对称轴为x=1，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，从而知①②④正确。

三．二次函数的应用：
19.（2008年河北省）如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）
【解析】由题意得y 与x 之间函数关系为：y =2242x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
(010x <≤)，所以其大致图象为D 。

（2008凉山州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设x 天后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
答案：①由题意得y 与x 之间的函数关系式30y x =+（1160x ≤≤，且x 整数） ②由题意得P 与x 之间的函数关系式2
(30)(10003)391030000P x x x x =+-=-++ x
A D C B
y x 10 O 100 A ． y x 10 O 100 B ． y x 10 O 100 C ． 5 y
x 10 O 100 D ．
③由题意得2
(391030000)301000310W x x x =-++-⨯- 23(100)30000x =--+
∴当x 100=时，30000W =最大
100160<Q 天天
∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
（也可以用抛物线的顶点坐标公式求最值） 【解析】：题目主要考查的应用二次函数的建模思想解决实际问题，重点理解好该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；所以野生菌的市场价格30y x =+，在理解好且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售，根据销售总额=单价×销售量，可知2(30)(10003)391030000P x x x x =+-=-++，可获得最大利润实际是根据利润＝销售总额－收购成本－各种费用，求出W 与x 的函数关系式，2(391030000)301000310W x x x =-++-⨯-，在配方求二次函数的最大值，注意判断x 是否在自变量的取值范围内。