高中数学四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(结)

人教版必修四
2. 4。

2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（结）
命题方向1 数量积的坐标运算
例1。

已知向量a∥b，b＝(1，2）,｜a·b｜＝10.
（1)求向量a的坐标．
(2）若a、b同向，c＝（2,－1），求（b·c）·a，(a·b)·c.
[分析] 解答本题可根据a与b共线设出a的坐标，再利用已知条件构建方程（组）求得a的坐标，进而进行求解．
[解析］(1)设a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y.
∵a∥b,∴y＝2x。

由错误!解得错误!或错误!
∴a＝(2，4）或a＝（－2,－4）．
（2）∵a、b同向，∴a＝(2,4)．
∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)］·a＝0·a＝0。

命题方向2 求向量的夹角
例2. （1)已知a＝（1，3)，b＝(3＋1，错误!－1），求a与b的夹角;
（2)已知A(2，1），B（3,2），C(－1，5),求证△ABC是锐角三角形．［分析］（1)分别求出a·b，｜a|，｜b｜，代入夹角公式求解；
(2)△ABC 是锐角三角形,即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．
[解析］ (1）解：由a ＝(1，错误!），b ＝（错误!＋1，错误!－1），得a ·b ＝错误!＋1＋错误!×（错误!－1)＝4，|a |＝2,｜b ｜＝2错误!.
设a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝错误!＝错误!，
又0≤θ≤π,所以θ＝错误!.
（2）证明:由条件得错误!＝(1,1），错误!＝(－4，3)，CA ＝(3，－4)， 因为AB →
·错误!＝－4＋3＝－1〈0，
所以错误!、错误!的夹角是钝角，从而∠ABC 为锐角．
同理∠BCA ，∠BAC 也为锐角，所以△ABC 是锐角三角形． 命题方向3 利用平行、垂直求参数
例3。

在△ABC 中，错误!＝（2，3）,错误!＝(1，k ），且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．
[分析] 本题条件中无明确指出哪个角是直角,所以需分情况讨论,讨论要注意分类的全面性,同时要注意坐标运算的准确性．
[解析] 当∠A ＝90°时，错误!·错误!＝0，
∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23。

当∠B ＝90°时,错误!·错误!＝0，错误!＝错误!－错误!＝(1－2，k －3）＝（－
1,k－3），
∴2×（－1）＋3×（k－3）＝0.∴k＝错误!.
当∠C＝90°时，错误!·错误!＝0,
∴－1＋k（k－3）＝0。

∴k＝错误!.
综上所述:k＝－错误!或错误!或错误!。

命题方向4 已知夹角求参数
例4 设a＝（2,x),b＝（－4,5),若a与b的夹角为钝角,求x的取值范围．
［分析] θ为钝角,则cosθ〈0.
[解析］由cosθ<0得x〈错误!，
因为a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－错误!，当x＝－错误!时，a＝(2,
－5
2
）＝－
1
2
b，
所以a与b反向，θ＝π，故x〈错误!且x≠－错误!。