(整理版)等比数列的判定方法

等比数列的判定方法
例1 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(123)n n n a S n n ++=
=，，，…，证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．
证明：因为11n n n a S S ++=-，又12n n n a S n
++=
，所以1(2)()n n n n S n S S ++=-． 整理，得12(1)n n nS n S +=+，所以121n n S S n n +=+∶． 故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． 二、 通项公式法：n n a cq =〔c q ，均是不为0的常数，n *∈N 〕{}n a ⇔是等比数列
例2 数列{}lg n a 是一个等差数列，第p 项等于q ，第q 项等于()p p q ≠，试判断数列{}n a 是否为等比数列，假设是，写出其通项公式．
解：由题意有11lg (1)lg (1)a p d q a q d p +-=⎧⎨+-=⎩，，解得11lg 1d a p q =-⎧⎨=+-⎩，，
所以1lg lg (1)n a a n d p q n =+-=+-．
解得1101010n
p q n p q n a +-+⎛⎫== ⎪⎝⎭·．所以1110n n a a +=． 所以数列{}n a 是等比数列，通项10p q n n a +-=．
三、 等比中项法：212n n n a a a ++=·{}12(0)n n n n a a a n a *++≠∈⇔N ，，，是等比数列 例3 在数列{}n a 中，123a a a ，，成等差数列，234a a a ，，成等比数列，345a a a ，，的倒数成等差数列，证明：135a a a ，，成等比数列．
证明：由，有2132a a a =+， ①
2324a a a =·， ②
435
211a a a =+， ③ 由③得354352a a a a a +=·，所以35435
2a a a a a =+·． ④ 由①得1322
a a a +=． 将④， ⑤代入②，得21335335
22a a a a a a a +=+··． 所以135335
()a a a a a a +=+，即335513()()a a a a a a +=+． 化简，得2315a a a =·．
又因为1350a a a ≠，，，所以135a a a ，，成等比数列．
四、 前n 项和公式法：111(1)111
n n n n a q a a S q kq k q q q -==-=----〔11a k q =-是不为零的常数，且01q ≠，
〕{}n a ⇔是等比数列 例 4 数列{}n a 的前n 项和n n S a b =+〔a b ，为常数且01a ≠，〕，问{}n a 是等比数列
吗？假设是，写出通项公式；假设不是，说明理由． 解：当1b ≠-时，数列{}n a 显然不是等比数列； 当1b =-时，数列{}n a 是等比数列．
由n n S a b =+，得111n n n S a a =-=-·，111n n S a --=-， 所以1(1)n n a a a -=-．
所以当1b ≠-时，数列{}n a 不是等比数列； 当1b =-时，数列{}n a 是等比数列，其通项公式为1(1)n n a a a -=-．。