专题5—指数函数、对数函数-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习

专题5—指数函数、对数函数
考试说明：1、了解指数函数模型的实际背景；
2、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图像通过特殊点；
3、理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
4、理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。

5、知道指数函数、对数函数是一类重要的函数模型。

高频考点：1、指数幂、对数式的化简与求值；
2、指数函数、对数函数的图像与性质的应用；
3、指数函数、对数函数的综合应用问题。

指数函数、对数函数是非常重要的基本函数，是高考中的高频考点，在选择题、填空题中考查其基本性质，在大题中，与导数结合的解答题年年必考。

一、典例分析
1．（2019•新课标Ⅰ）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
2．（2013•重庆）函数21
log (2)
y x =-的定义域为( )
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(2，3)(3⋃，)+∞
D ．(2，4)(4⋃，
)+∞
3．（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与
亮度满足121252E
m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是
26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A ．10.110
B ．10.1
C ．10.1lg
D ．10.110-
4．（2020•新课标Ⅲ）已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则(
)
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
5．（2016•新课标Ⅰ）若0a b >>，01c <<，则( ) A ．log log a b c c <
B ．log log c c a b <
C ．c c a b <
D ．a b c c >
6．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数10lgx y =的定义域和值域相同的是( ) A ．y x =
B ．y lgx =
C ．2x y =
D ．1y x
=
7．（2014•山东）已知函数log ()(a y x c a =+，c 为常数，其中0a >，1)a ≠的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，
01c <<
8．（2020•新课标Ⅰ）若242log 42log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >
B ．2a b <
C ．2a b >
D ．2a b <
分析：先根据指数函数以及等式的性质得到2222log 2log a b a b +<+；再借助于函数的单调性即可求解结论．
解答：解：因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+；
因为2222222log 2log 22log 1b b b b b b +<+=++即2222log 2log 2a b a b +<+； 令2()2log x f x x =+，由指对数函数的单调性可得()f x 在(0,)+∞内单调递增； 且f （a ）(2)2f b a b <⇒<； 故选：B ．
点评：本题主要考查指数函数和对数函数的应用，属于基础题．
9．（2014•山东）已知实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是( ) A ．33x y >
B ．sin sin x y >
C ．22(1)(1)ln x ln y +>+
D ．
2211
11
x y >
++ 分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 解答：解：实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，x y ∴>，
A ．当x y >时，33x y >，恒成立，
B ．当x π=，2
y π
=
时，满足x y >，但sin sin x y >不成立．
C ．若22(1)(1)ln x ln y +>+，则等价为22x y >成立，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立．
D ．若
221111
x y >
++，则等价为2211x y +<+，即22
x y <，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y <不成立． 故选：A ．
点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
二、真题集训
1．（2020•新课标Ⅲ）设3log 2a =，5log 3b =，2
3
c =，则( ) A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
2．（2018•新课标Ⅲ）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( ) A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
3．（2016•全国）若函数([1x y a x =∈-，1])(0a >且1)a ≠的最大值与最小值之和为3，则
22(a a -+= ) A ．9
B ．7
C ．6
D ．5
4．（2017•全国）设01a <<，则( ) A ．22
log log a a >
B ．2
2log
log a a >
C ．22
log log
a a <
D ．22log log a a <
5．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1
log ()(02
a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2019•新课标Ⅲ）函数3
222x x
x y -=+在[6-，6]的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2015•四川）某食品保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C)︒满足函数关系
( 2.718kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在22C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是( ) A ．16小时
B ．20小时
C ．24小时
D ．28小时
8．（2014•山东）已知实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是( ) A ．
2211
11
x y >
++ B ．22(1)(1)ln x ln y +>+ C ．sin sin x y >
D ．33x y >
9．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = ． 10．（2013•北京）函数12,1()2,1
x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为 ．
11．（2015•福建）若函数6,2
()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨
+>⎩
且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 ．
12．（2014•重庆）函数22()log log (2)f x x x =的最小值为 ．
典例分析答案
1．（2019•新课标Ⅰ）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
分析：由指数函数和对数函数的单调性易得2log 0.20<，0.221>，0.300.21<<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．
解答：解：22log 0.2log 10a =<=， 0.20221b =>=， 0.3000.20.21<<=，
0.30.2(0,1)c ∴=∈， a c b ∴<<，
故选：B ．
点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 2．（2013•重庆）函数21
log (2)
y x =-的定义域为( )
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(2，3)(3⋃，)+∞
D ．(2，4)(4⋃，
)+∞
分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
解答：解：要使原函数有意义，则2
20
(2)0x log x ->⎧⎨-≠⎩，
解得：23x <<，或3x >
所以原函数的定义域为(2，3)(3⋃，)+∞． 故选：C ．
点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．
3．（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252E
m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是
26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A ．10.110
B ．10.1
C ．10.1lg
D ．10.110-
分析：把已知熟记代入1212
52E
m m lg E -=，化简后利用对数的运算性质求解．
解答：解：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.45m =-， 由题意可得：12
51.45(26.7)2E
lg E ---=，
∴1250.510.15E lg
E ==，则10.112
10E E =． 故选：A ．
点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
4．（2020•新课标Ⅲ）已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则(
)
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
分析：利用中间值比较即可a ，b ，根据由8log 50.8b =<和13log 80.8c =>，得到c b >，即可确定a ，b ，c 的大小关系． 解答：解：由5833
5844log log =，
3
4
5553log log >，而34
8885log log < 58log 3log 5∴<，
即a b <；
5458<，554log 8∴<，5log 8 1.25∴>，8log 50.8b ∴=<； 45138<，1345log 8∴<，13log 80.8c ∴=>，c b ∴>，
综上，c b a >>． 故选：A ．
点评：本题考查了三个数大小的判断，指数对的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．
5．（2016•新课标Ⅰ）若0a b >>，01c <<，则( ) A ．log log a b c c <
B ．log log c c a b <
C ．c c a b <
D ．a b c c >
分析：根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
解答：解：0a b >>，01c <<， log log c c a b ∴<，故B 正确；
∴当1a b >>时，
0log log a b c c >>，故A 错误；
c c a b >，故C 错误； a b c c <，故D 错误；
故选：B ．
点评：本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．
6．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数10lgx y =的定义域和值域相同的是( )
A ．y x =
B ．y lgx =
C ．2x y =
D ．1y x
=
分析：分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 解答：解：函数10lgx y =的定义域和值域均为(0,)+∞， 函数y x =的定义域和值域均为R ，不满足要求； 函数y lgx =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，不满足要求； 函数2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，不满足要求； 函数1y x
=
的定义域和值域均为(0,)+∞，满足要求；
故选：D ．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
7．（2014•山东）已知函数log ()(a y x c a =+，c 为常数，其中0a >，1)a ≠的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，
01c <<
分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论． 解答：解：函数单调递减，01a ∴<<，
当1x =时log ()log (1)0a a x c c +=+<，即11c +>，即0c >， 当0x =时log ()log 0a a x c c +=>，即1c <，即01c <<， 故选：D ．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．
8．（2020•新课标Ⅰ）若242log 42log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >
B ．2a b <
C ．2a b >
D ．2a b <
分析：先根据指数函数以及等式的性质得到2222log 2log a b a b +<+；再借助于函数的单调性即可求解结论．
解答：解：因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+；
因为2222222log 2log 22log 1b b b b b b +<+=++即2222log 2log 2a b a b +<+； 令2()2log x f x x =+，由指对数函数的单调性可得()f x 在(0,)+∞内单调递增； 且f （a ）(2)2f b a b <⇒<； 故选：B ．
点评：本题主要考查指数函数和对数函数的应用，属于基础题．
9．（2014•山东）已知实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是( ) A ．33x y >
B ．sin sin x y >
C ．22(1)(1)ln x ln y +>+
D ．
2211
11
x y >
++ 分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 解答：解：实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，x y ∴>，
A ．当x y >时，33x y >，恒成立，
B ．当x π=，2
y π
=
时，满足x y >，但sin sin x y >不成立．
C ．若22(1)(1)ln x ln y +>+，则等价为22x y >成立，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立．
D ．若
22
11
11
x y >++，则等价为2211x y +<+，即22x y <，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y <不成立． 故选：A ．
点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
真题集训 答案
1
．解：32log 23
a log log ==，
52log 33
b log log ==>=， 23
c =
， a c b ∴<<．
故选：A ．
2．解：0.20.3log 0.35lg a lg ==
-，20.3
log 0.32
lg b lg ==， ∴5
0.30.30.30.3(52)2252525
lg lg
lg lg lg lg lg a b lg lg lg lg lg lg -+=
-==， 100.30.30.3325
25
lg lg lg lg ab lg lg lg lg ⋅=-
⋅=，
105
32
lg
lg >，0.3025lg lg lg <， 0ab a b ∴<+<．
故选：B ．
3．解：函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1-，1]上单调，
∴当1x =-时，1y a -=；当1x =时，y a =．则13a a -+=，
两边同时平方得：2229a a -++=，227a a -∴+=． 故选：B ．
4．解：01a <<
，201a a ∴<<<，
∴在A
中，2log a =A 错误；
在B
中，>，故B 正确；
在C
中，2log a >，故C 错误； 在D
中，log >，故D 错误． 故选：B ． 5．解：由函数1x y a =
，1
log ()2
a y x =+，
当1a >时，可得1x y a
=是递减函数，图象恒过(0,1)点， 函数1log ()2a y x =+，是递增函数，图象恒过1(2
，0)； 当10a >>时，可得1x
y a =是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数1log ()2a y x =+，是递减函数，图象恒过1(2
，0)； ∴满足要求的图象为：D
故选：D ．
6．解：由3
2()22x x
x y f x -==+在[6-，6]，知 33
2()2()()2222x x x x
x x f x f x ----==-=-++， ()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C
又f （4）11
82721
=>+，因此排除A ，D ． 故选：B ．
7．解：( 2.718kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数）． 当0x =时，192b e =，
当22x =时2248k b e +=，
224811924k e ∴=
= 1112
k e = 192b e =
当33x =时，3311331()()()192242
k b k b e e e +==⨯= 故选：C ．
8．解：实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<， x y ∴>，
A ．取2x =，1y =-，不成立；
B ．取0x =，1y =-，不成立
C ．取x π=，y π=-，不成立；
D ．由于3y x =在R 上单调递增，因此正确
故选：D ．
9．解：函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=， 可得：2log (9)1a +=，可得7a =-．
故答案为：7-．
10．解：当1x 时，1122
()10f x log x log ==；
当1x <时，10()222x f x <=<=．
所以函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(,2)-∞． 故答案为(,2)-∞．
11．解：由于函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[4，)+∞， 故当2x 时，满足()64f x x =-． ①若1a >，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递增， 当2x >时，由()3log 4a f x x =+，log 1a x ∴，log 21a ∴，12a ∴<． ②若01a <<，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递减， ()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[4，)+∞． 综上可得，12a <， 故答案为：(1，2]．
12．解：22()log log (2)
f x x x
=
21()
log (2)2
f x x ∴= 2
1log (2)
4
x x
=
1
2)4
x x =+
12)4x x =+ 21
1(1)44=+-， ∴当10x +=
即x时，函数()
f x的最小值是
1
4 -．
故答案为：
1 4 -。