k阶线性递推数列_20110410
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������
= ∑ ������ ������−������ ������[������, ������] ;
������=0
≫ 下面考虑这个展开式的一个递推特性:
������
∑ ������ ������−������ ������[������, ������]
������=0
= (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ ) = (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������−1 )(������ − ������������ )
������−1
= (∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������]) (������ − ������������ )
������=0 ������−1 ������−1 (������−1)−������
= ������ ∑ ������
������
= ∑ ������(������−������)+������ ������[������, ������]
������=0 ������−1 ������−1
= ∑ ������(������−������)+(������+1) ������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������(������−������)+������ ������[������ − 1, ������]
准备
≫ 为了研究以下问题,先考虑一个一元 ������ 次方程,它一定可以写成以下形式: (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ ) = 0 。
≫ 考虑它的展开形式: (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ )
������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������] 。
������=0
∗ 以上是前提准备。
问题引入
≫ 一个 ������ 阶线性递推数列是指符合以下递推式的数列: ������(������−������)+������ ������������ + ������(������−������)+������ ������������ + ������(������−������)+������ ������������ + ⋯ + ������(������−������)+������ ������������ = ������ ; 其中������������ , ������������ , ������������ , … , ������������−������ 已知。
������=0 ������=0
∗ 这里使用了与上面对方程展开式相同的变化方式; ∗ 这个结论并不是显然的,这里只是类比解释而已����[������]������ = ∑ ������(������−������)+������ ������[������, ������] ,那么就有:
������
= ∏(������ − ������������ ) = ������
������=1 ������−0
������0 + ������ ������−1 ������1 + ������ ������−2 ������2 + ⋯ + ������ ������−������ ������������
������ ∗ 为了表示方便,以下规定:������[������ − ������]������ = ������[������ − 1]0 ,取“对于 ������[������ − 1]������ 的 ������������ 项的系数”之意 ;
∗ ������[������ − 1]������ 是与 ������ 无关的系数。
≫ 将其转化为与一元 ������ 次方程类似的形式: ������(������−0)+������ ������0 + ������(������−1)+������ ������1 + ������(������−2)+������ ������2 + ⋯ + ������(������−������)+������ ������������ = ������(������−0)+������ ������[������, 0] + ������(������−1)+������ ������[������, 1] + ������(������−2)+������ ������[������, 2] + ⋯ + ������(������−������)+������ ������[������, ������] ∗ 转化关系: ������ ������−������ ↔ ������(������−������)+������ ∗ 鉴于这个一元 ������ 次方程与数列递推式的关系,所以称这个方程为这个数列的特征方程。
������ 阶线性递推数列 Tanzx proudly 20110410
目录
������ 阶线性递推数列.......................................................................................................................................................................................... 1 准备 ................................................................................................................................................................................................. 2 问题引入 ......................................................................................................................................................................................... 3 通项公式推导:无重根情况 ......................................................................................................................................................... 3 有重根的情况 ................................................................................................................................................................................. 6 总结 ................................................................................................................................................................................................. 7 附录:函数 S——遗留的证明 ..................................................................................................................................................... 8
������=0 ������−1
������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������]
������=0 ������−1
= ∑ ������
������=0
1+(������−1)−������
通项公式推导:无重根情况
≫ 下面推导 ������ 阶线性递推数列的通项公式。 ������[������]������ = 0 ; ������[������ − 1]������+1 − ������������ ������[������ − 1]������ = 0 ; ������[������ − 1]������+1 = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������ ������[������ − 1]������ = ������������ ������[������ − 1]0 ;
������=������
������[������]������ = ������[������ − ������]������+������ − ������������ ������[������ − ������]������ ; 而一个 ������ 阶线性递推数列就是指符合 ������[������]������ = ������ 的数列。
������ ������[������ − 1]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ;
∗ 这里使用了等比数列的通项公式; ∗ 等比数列的通项公式可以很简单地通过数学归纳法得到。
������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������������ − ������������−1 ������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������������ − ������������−1 ������ ������ ������������ ������������ ������[������ − 1]������ ������������−1 ������������ ������[������ − 1]������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = − ; ������������ − ������������−1 ������������ − ������������−1
∗ ������������ 代表系数 = ������ ������−0 ������[������, 0] + ������ ������−1 ������[������, 1] + ������ ������−2 ������[������, 2] + ⋯ + ������ ������−������ ������[������, ������] ∗ 在这里定义:函数 ������[������, ������] 为一个一元 ������ 次方程展开式的 ������ − ������ 次项的系数。 ∗ 特别地,规定:对于任意 ������ ,都有 ������[������, ������] = ������ 。 ∗ 这个定义是抽象的,对于函数 ������[������, ������] 的具体表达式,见附录。
= ∑ ������ ������−������ ������[������, ������] ;
������=0
≫ 下面考虑这个展开式的一个递推特性:
������
∑ ������ ������−������ ������[������, ������]
������=0
= (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ ) = (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������−1 )(������ − ������������ )
������−1
= (∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������]) (������ − ������������ )
������=0 ������−1 ������−1 (������−1)−������
= ������ ∑ ������
������
= ∑ ������(������−������)+������ ������[������, ������]
������=0 ������−1 ������−1
= ∑ ������(������−������)+(������+1) ������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������(������−������)+������ ������[������ − 1, ������]
准备
≫ 为了研究以下问题,先考虑一个一元 ������ 次方程,它一定可以写成以下形式: (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ ) = 0 。
≫ 考虑它的展开形式: (������ − ������1 )(������ − ������2 )(������ − ������3 ) … (������ − ������������ )
������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������] 。
������=0
∗ 以上是前提准备。
问题引入
≫ 一个 ������ 阶线性递推数列是指符合以下递推式的数列: ������(������−������)+������ ������������ + ������(������−������)+������ ������������ + ������(������−������)+������ ������������ + ⋯ + ������(������−������)+������ ������������ = ������ ; 其中������������ , ������������ , ������������ , … , ������������−������ 已知。
������=0 ������=0
∗ 这里使用了与上面对方程展开式相同的变化方式; ∗ 这个结论并不是显然的,这里只是类比解释而已����[������]������ = ∑ ������(������−������)+������ ������[������, ������] ,那么就有:
������
= ∏(������ − ������������ ) = ������
������=1 ������−0
������0 + ������ ������−1 ������1 + ������ ������−2 ������2 + ⋯ + ������ ������−������ ������������
������ ∗ 为了表示方便,以下规定:������[������ − ������]������ = ������[������ − 1]0 ,取“对于 ������[������ − 1]������ 的 ������������ 项的系数”之意 ;
∗ ������[������ − 1]������ 是与 ������ 无关的系数。
≫ 将其转化为与一元 ������ 次方程类似的形式: ������(������−0)+������ ������0 + ������(������−1)+������ ������1 + ������(������−2)+������ ������2 + ⋯ + ������(������−������)+������ ������������ = ������(������−0)+������ ������[������, 0] + ������(������−1)+������ ������[������, 1] + ������(������−2)+������ ������[������, 2] + ⋯ + ������(������−������)+������ ������[������, ������] ∗ 转化关系: ������ ������−������ ↔ ������(������−������)+������ ∗ 鉴于这个一元 ������ 次方程与数列递推式的关系,所以称这个方程为这个数列的特征方程。
������ 阶线性递推数列 Tanzx proudly 20110410
目录
������ 阶线性递推数列.......................................................................................................................................................................................... 1 准备 ................................................................................................................................................................................................. 2 问题引入 ......................................................................................................................................................................................... 3 通项公式推导:无重根情况 ......................................................................................................................................................... 3 有重根的情况 ................................................................................................................................................................................. 6 总结 ................................................................................................................................................................................................. 7 附录:函数 S——遗留的证明 ..................................................................................................................................................... 8
������=0 ������−1
������[������ − 1, ������] − ������������ ∑ ������ (������−1)−������ ������[������ − 1, ������]
������=0 ������−1
= ∑ ������
������=0
1+(������−1)−������
通项公式推导:无重根情况
≫ 下面推导 ������ 阶线性递推数列的通项公式。 ������[������]������ = 0 ; ������[������ − 1]������+1 − ������������ ������[������ − 1]������ = 0 ; ������[������ − 1]������+1 = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������ ������[������ − 1]������ = ������������ ������[������ − 1]0 ;
������=������
������[������]������ = ������[������ − ������]������+������ − ������������ ������[������ − ������]������ ; 而一个 ������ 阶线性递推数列就是指符合 ������[������]������ = ������ 的数列。
������ ������[������ − 1]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ;
∗ 这里使用了等比数列的通项公式; ∗ 等比数列的通项公式可以很简单地通过数学归纳法得到。
������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������������ − ������������−1 ������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = ������������ ������[������ − 1]������ ; ������������ − ������������−1 ������ ������ ������������ ������������ ������[������ − 1]������ ������������−1 ������������ ������[������ − 1]������ ������[������ − 2]������+1 − ������������−1 ������[������ − 2]������ = − ; ������������ − ������������−1 ������������ − ������������−1
∗ ������������ 代表系数 = ������ ������−0 ������[������, 0] + ������ ������−1 ������[������, 1] + ������ ������−2 ������[������, 2] + ⋯ + ������ ������−������ ������[������, ������] ∗ 在这里定义:函数 ������[������, ������] 为一个一元 ������ 次方程展开式的 ������ − ������ 次项的系数。 ∗ 特别地,规定:对于任意 ������ ,都有 ������[������, ������] = ������ 。 ∗ 这个定义是抽象的,对于函数 ������[������, ������] 的具体表达式,见附录。