2018-2019学年北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷含答案解析

2018-2019学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°
2．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
3．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）
A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
4．（2分）（2011•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（）
A．y＝x2B．C．D．
5．（2分）（2018秋•怀柔区期末）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（）
A．1B．2C．D．
6．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，
DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）
A．2B．3C．4D．5
7．（2分）（2018秋•怀柔区期末）若要得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
8．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）（2018秋•怀柔区期末）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是．10．（2分）（2018秋•怀柔区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tan A的值为．
11．（2分）（2010•内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为m．
12．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是．
13．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE 的大小关系是．
14．（2分）（2018秋•怀柔区期末）写出抛物线y＝2（x﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是．
15．（2分）（2010•萝岗区一模）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路L 的距离为米．
16．（2分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知：．求：．
18．（5分）（2018秋•怀柔区期末）计算：2cos30°﹣4sin45°．
19．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
20．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sin B，求AC的长．
21．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5．求证：∠DEC＝90°．
22．（5分）（2018秋•怀柔区期末）下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：在BC边上求作一点P，使得△P AC∽△ABC．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线GH；
②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；
③以点O为圆心，以OA为半径作圆；
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；
⑤连接线段AD交BC于点P．
所以点P就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD＝AC，
∴．
∴∠＝∠．
又∵∠＝∠，
∴△P AC∽△ABC（）（填推理的依据）．
23．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）若P是坐标轴上一点，当OA＝P A时．直接写出点P的坐标．
24．（6分）（2018秋•怀柔区期末）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．
25．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P 作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm．
26．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中
a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C
到x轴的距离为4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
27．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．
（1）依题意补全图1；
（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；
（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
28．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；
（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．
2018-2019学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：∵sin A，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故选：B．
2．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
3．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）
A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴S△ABC：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．
故选：C．
4．（2分）（2011•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（）
A．y＝x2B．C．D．
【解答】解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，
答案B的k＝4＞0，符合条件，
故选：B．
5．（2分）（2018秋•怀柔区期末）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（）
A．1B．2C．D．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC2．
∴正方形的边长是2，
故选：B．
6．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE，
∴，即，
∴AB＝4．
故选：C．
7．（2分）（2018秋•怀柔区期末）若要得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x﹣1）2+2．
故选：A．
8．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y（x+2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）（2018秋•怀柔区期末）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是下．【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，
∴图象的开口向下，
故答案为：下．
10．（2分）（2018秋•怀柔区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tan A的值为．
【解答】解：如图，tan A．
故答案为：．
11．（2分）（2010•内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为7m．
【解答】解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC＝7m，
故答案为：7．
12．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是．
【解答】解：根据弧长的公式l，
得到：π．
故答案为π．
13．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE 的大小关系是sin∠BAC＞sin∠DAE．
【解答】解：如图，连接NH、BC，过N作NP⊥AD于P．
∵S△ANH＝2×21×2×21×1AH•NP，
∴PN，
∴PN．
在Rt△ANP中，sin∠NAP0.6，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＞0.6，
∴sin∠BAC＞sin∠DAE．
故答案为：sin∠BAC＞sin∠DAE．
14．（2分）（2018秋•怀柔区期末）写出抛物线y＝2（x﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2的对称轴是直线x＝1，
∴这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
故答案是：（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
15．（2分）（2010•萝岗区一模）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路L 的距离为米．
【解答】解：作BE⊥L于点E．
∵∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝50米，
∴BE＝BC×sin60°＝25米．
16．（2分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），
（2.17，0.37）．则过这三个点能（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是因为这三点不在一条直线上．
【解答】解：设经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线解析式为y＝kx+b，
则，解得．
所以经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线解析式为y＝x﹣2；
当x＝2.17时，y＝2.17﹣2＝0.17≠0.37，
所以点（2.17，0.37）不在经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线上，
即三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）不在同一直线上，
所以过这三个点能画一个圆．
故答案为能，因为这三点不在一条直线上．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知：．求：．
【解答】解：∵，
∴11．
18．（5分）（2018秋•怀柔区期末）计算：2cos30°﹣4sin45°．
【解答】解：原式＝242
．
19．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4）．
20．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sin B，求AC的长．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sin B，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∵AB，
∴AD＝BD AB＝3，
∵BC＝7，
∴DC＝4，
∴在Rt△ACD中，AC5．
21．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5．求证：∠DEC＝90°．
【解答】证明：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5，
∴．
∴，
∴△ADE∽△BEC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°．
22．（5分）（2018秋•怀柔区期末）下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：在BC边上求作一点P，使得△P AC∽△ABC．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线GH；
②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；
③以点O为圆心，以OA为半径作圆；
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；
⑤连接线段AD交BC于点P．
所以点P就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD＝AC，
∴．
∴∠CAP＝∠CBA．
又∵∠ACP＝∠BCA，
∴△P AC∽△ABC（有两组角对应相等的两个三角形相似）（填推理的依据）．
【解答】解：（1）补全图形如图所示：
（2）连接CD，由作图知，AC＝CD，
∴，
∴∠CAP＝∠ABC，
∵∠ACP＝∠BCA，
∴△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似），
故答案为：，CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似．
23．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）若P是坐标轴上一点，当OA＝P A时．直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．∴3＝m+2，
∴m＝1．
∴A（1，3）
把A（1，3）代入
∴k＝3×1＝3，
∴
（2）直线和双曲线的示意图如图所示：
（3）当点P在y轴上，过点A作AE⊥PO，则OE＝3，
∵OA＝P A，AE⊥PO，
∴PE＝OE＝3，
∴OP＝6，
∴点P的坐标为（0，6）
若点P在x轴上，过点A作AF⊥PO，则OF＝1
∵OA＝P A，AF⊥PO，
∴OF＝PF＝1，
∴OP＝2
∴点P坐标为（2，0）
综上所述，P（0，6）或P（2，0）
24．（6分）（2018秋•怀柔区期末）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．
【解答】（1）证明：∵点A、C、D为⊙O的三等分点，
∴，
∴AD＝DC＝AC．
∴△ACD为等边三角形，
而点O为△ACD的外心，
∴AB⊥CD．
∵BM为⊙O的切线，
∴BE⊥AB．
∴CD∥BM；
（2）解：连接DB，如图，
∵△ACD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠ABD＝∠C＝60°，
∴∠DBE＝30°，
在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB DE m．
在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，则OB m，
在Rt△OBE中，OE m，
∴△OBE周长为2m m m＝（2）m．
25．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P 作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm．
【解答】解：（1）因为PC＝3时，P A＝PB＝3，
∴PC是⊙O的半径，
∴PC＝3cm，即x＝3时，y1＝3．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）结合图象可知：当∠ACP＝30°时，AP AC AB＝1.50cm．
根据对称性，结合图象可知：当∠CAP＝30°时，PB＝1.50cm，P A＝4.50cm．26．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中
a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C
到x轴的距离为4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线，∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，
∴抛物线的顶点C在x轴的上方，
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）．
可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1．
因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，点B的坐标是（0，3）．
连接BC．
∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，
得AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以．
即∠CAB的正切值等于．（3）如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，
∴△ACB∽△BPO，
∴，
∴，OP＝1，
∴点P的坐标是（1，0）．
27．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．
（1）依题意补全图1；
（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；
（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
【解答】解：（1）补全图形，如图所示
（2）AH＝PH，∠AHP＝120°．
理由如下：如图，由平移可知，PQ＝DC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠BDQ＝30°，
∴AD＝PQ，
∵HQ＝HD，
∴∠HQD＝∠HDQ＝30°，
∴∠ADB＝∠DQH，∠DHQ＝120°．
∵HQ＝DH，∠ADB＝∠DQH，AD＝PQ，
∴△ADH≌△PQH（SAS），
∴AH＝PH，∠AHD＝∠PHQ，
∴∠AHD+∠DHP＝∠PHQ+∠DHP，
∴∠AHP＝∠DHQ，
∵∠DHQ＝120°，
∴∠AHP＝120°．
（3）求解思路如下：
由∠AHQ＝141°，∠BHQ＝60°解得∠AHB＝81°，
a．在△ABH中，由∠AHB＝81°，∠ABD＝30°，解得∠BAH＝69°，
b．在△AHP中，由∠AHP＝120°，AH＝PH，解得∠P AH＝30°，
c．在△ADB中，由∠ADB＝∠ABD＝30°，解得∠BAD＝120°，
由a、b、c可得∠DAP＝21°，
在△DAP中，由∠ADP＝60°，∠DAP＝21°，AD＝1，可解△DAP，
从而求得DP长．
28．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；
（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，
∵A（1，0），AB＝3
∴B（1，3）或B'（1，﹣3）
∵
∴Q（1，1）或Q'（1，﹣1）
（2）∵直线OQ的解析式为y＝x，
∴∠AOQ＝45°，
∴点A关于直线y＝x的对称点在y轴上，∵A（1，0），
∴OA＝1，
由对称得，OA'＝OA＝1，
∴点A（1，0）关于直线y＝x的对称点为A′（0，1），如图1，
∴QA＝QA′
∴，
（3）①当A，B都在⊙T1上时，⊙T1与l没有交点，
∵⊙T1的半径为2，
∴此时点T1的坐标为（0，﹣4）；
②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时，过点T2作T2Q⊥图象L于点Q，交⊙T2于点N，过点Q作QD⊥x轴于点D，
∵图象L的解析式为y x（x＞0），
∴∠QOT＝60°，∠OT2Q＝30°．
∵点T2的坐标为（0，t），
∴OQ t，DQ OQ t，T2O＝t．
由“倍分点”的定义可知：OB＝2DQ，即t﹣2t，
解得：t＝4，
综上所述：t的取值范围为﹣4≤t≤4．。