备战2018年高考数学(文)之高频考点解密-解密05导数及其应用含解析

∴ f ( x)
极小值 ＝ f (
-
3)
2ax2＋ 2x- 1＝0 有正根．当
a≥０
1
1
时，显然满足题意；当 a<0 时，需满足 Δ≥0，解得 - 2≤ a<0. 综上， a≥- 2.
☆技巧点拨☆ 导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难
度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下： （ 1）已知切点 P( x0， y0) ，求 y=f ( x) 过点 P的切线方程：求出切线的斜率 f ′（x0) ，由点斜式写出方程； （ 2）已知切线的斜率为 k，求 y=f ( x) 的切线方程：设切点 P( x0， y0) ，通过方程 k=f ′（x0) 解得 x0，再由点斜式写
4
4
上， α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则
ex 1
α 的取值范围是 ________．
【解析】∵ y
4 ex
，∴
1
y
4ex (ex 1)2
4ex
4
e2 x
2ex 1
ex
1 ex
.
2
∵ ex >0，∴ ex
1 ex
2 ，当且仅当 ex
1 ex ，即 x＝ 0 时等号成立．
∴ y′∈ [ - 1， 0) ，∴ tan α∈ [ - 1， 0) ．又 α ∈ [0 ， π ) ，∴ α ∈ [ 3π, π) . 4
调研 5 已知 a 为常数，若曲线 y＝ ax2＋ 3x- ln x 存在与直线 x＋y- 1＝ 0 垂直的切线，则实数
a 的取值范围是
1 A． － 2，＋∞
1 B． －∞，－ 2
C．[ - 1，＋∞ )
D． ( - ∞， - 1]
【答案】 A
【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为
1，所以
1 y′＝ 2ax＋ 3- x＝1 有正根，即
（ 3）若已知 f x 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f x 的单调区间，令 I 是其单调区间
的子集，从而可求出参数的取值范围 . 4．利用导数解决函数的零点问题时， 一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，
断在所给区间内的单调性，由此求解 .
再利用导数判
与 g( x) 的图象相切的直线方程为：
y＝
3
ax20－
1 2
x-
2ax30
-
2 3e，
ln x0
∴
x0
1
3ax
2 0
1
2 ，解之得 x0ln
2ax03 2 3e
1 x0＝ - ，
e
1 易求得 x0＝ e，
e2 ∴ a＝ 6 .
☆技巧点拨☆
函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现
又 f ′（- 3) ＝ f ′(0) ＝ f ′(2) ＝ 0， ∴ f ( x) 在 ( - ∞， - 3) 上单调递减，在 ( - 3，0) 上单调递增；在 (0 ， 2) 上单调递减，在 (2 ，＋∞ ) 上单调递增，
∴当 x＝ - 3 或 x＝ 2 时， f ( x) 取得极小值；当 x＝ 0 时， f ( x) 取得极大值，
2015 课标全国 I 、 II 21
应用 .
考点 1 导数的概念及计算 题组一 导数的计算 调研 1 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ′（x) ，且满足 f ( x) ＝ 2xf ′(1) ＋ ln x，则 f ′(1) ＝
A．- e
B． - 1
C．1
D． e
【答案】 B 1
【解析】∵ f ( x) ＝ 2xf ′(1) ＋ ln x，∴ f ′（x) ＝ [2 xf ′(1)] ′＋ (ln x) ′＝ 2f ′(1) ＋ x，∴ f ′(1) ＝ 2f ′(1) ＋ 1，即 f ′(1) ＝ - 1. 故本题选 B．
考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、
21
导数的应用
填空题， 也有解答题中的一问， 难度一般较大， 常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导
2016 课标全国 I 12 、 21 2016 课标全国 II 20、III
★★★★★
数与函数单调性、极值与最值之间的关系，理
21
解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的
12
4a
0 ，即
a＝3，所以
f
(
x)
＝
-
x3＋
3x
2
-
4.
根据函数 f ( x) 的单调性，可得函数 f ( m) 在 [ - 1， 1] 上的最小值为 f (0) ＝- 4， 又 f ′（n) ＝- 3n2＋ 6n 在 [ - 1，1] 上单调递增，所以 f ′（n) 的最小值为 f ′（- 1) ＝ - 9. 所以 [ f ( m) ＋f ′（n)] ＝ min f ( m) ＋ min f ′（n) ＝ min - 4- 9＝- 13. 调研 4 已知 f ( x) ＝ ex ( x3＋ mx2- 2x＋ 2) ．
【解析】（ 1）当 m＝ - 2 时， f ( x) ＝ ex( x3- 2x2- 2x＋ 2) ，其定义域为 ( - ∞，＋∞ ) ．
则f
′（x)
x
＝e (
x3-
2x2-
2x＋
2)
＋
x
e (3
x2-
4x-
2)
＝
x
x
e(
x2
＋x-
6)
＝
(
x＋
3)
x(
x-
2)e
x
，

∴当 x∈ ( - ∞， - 3) 或 x∈ (0 ， 2) 时， f ′（x)<0 ；当 x∈( - 3， 0) 或 x∈ (2 ，＋∞ ) 时， f ′（x)>0 ，
题组二 利用导数研究函数的极值与最值 调研 3 已知函数 f ( x) ＝ - x3＋ ax2- 4 在 x＝2 处取得极值， 若 m，n∈ [ - 1，1] ，则 f ( m) ＋ f ′（n) 的最小值是 ________．
【答案】 - 13
【解析】 f
′（x
)
＝
-
3x
2
＋
2
ax，根据已知得
f (2)
3．求较复杂函数的导数的方法
对较复杂的函数求导数时，先化简再求导 . 如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有
理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类
减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导
.
题组二 导数的几何意义
ln x 调研 2 曲线 y＝ x 在点 (1 ，0) 处的切线方程为 ________．
k=f ′（x0) 求出切点坐标 ( x0， y0) ，最后写出切线方程．
（ 5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线， P 一定在曲线上 . ②过点 P的切线即切线过点 P，P不一定是切点． 因此在求过点 P 的切线方程时， 应首先检验点 P 是否在已知曲 线上．
考点 2 导数的应用
题组一 利用导数研究函数的单调性
调研 1
已知函数
f ( x) ＝ 1x2＋ 2ax- ln x，若 f ( x) 在区间
1 ， 2 上是增函数，则实数
a 的取值范围为 _________．
2
3
4 【答案】 3，＋∞
【解析】由题意知
f
′（x) ＝ x＋ 2a- 1 ≥０在 x
1 3， 2 上恒成立，即
∵( x
1 ) max x
8
8
＝ 3，∴ 2a≥ 3，即
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
.
2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数
y f ( x) 在开区间 ( a，b) 内的导数的基本步骤：
（ 1）分析函数 y f (x) 的结构和特征；
（ 2）选择恰当的求导公式和运算法则求导；
（ 3）整理得结果 .
出方程； （ 3）已知切线上一点 ( 非切点 ) ，求 y=f ( x) 的切线方程：设切点 P( x0， y0) ，利用导数求得切线斜率 f ′（x0) ，再
由斜率公式求得切线斜率，列方程 ( 组 ) 解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （ 4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由
初等函数的求导法则 .
2017 课标全国 I 14
2015 课标全国 I 14
2016 课标全国 III 16
★★★★★
2015 课标全国 II 16
2016 课标全国 II 20 （ I ）
导数的应用也一直是高考的热点， 尤其是
导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考
考查的重点内容， 一般以基本初等函数为载体， 2017 课标全国 I 、II 、III
（ 1）假设 m＝ - 2，求 f ( x) 的极大值与极小值；
（ 2）是否存在实数 m，使 f ( x) 在 [ - 2， - 1] 上单调递增？如果存在，求 m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】（ 1）f ( x) 的极大值为 2，极小值为 - 37e- 3 和 - 2e2；（2）存在， m∈ ( - ∞， 4].
1 【解析】（ 1）∵ f ′（x) ＝ ln x＋ 1，由 f ′（x)>0 ，得 x> ，
e
1 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 e，＋∞ .
（ 2） f
′（x) ＝ ln
x
＋
1
，
g′（x
)
＝
3
ax2-
1 ，
2
a 的值．
设公切点的横坐标为 x0，则与 f ( x) 的图象相切的直线方程为： y＝ (ln x0＋ 1) x- x0，
f x 0 ( 或 f x 0 )( f x 在该区间的任意子
区间内都不恒等于 0) 恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（ 2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是
f ( x) 0 ( 或 f (x) 0 ) 在该区间上存在解集，这样就
把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
备战 2018 年高考数学（文）之高频考点解密
高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
从近三年高考情况来看， 导数的概念及计
算一直是高考中的热点，对本知识的考查主要
是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义
导数的概念 等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有
及计算
时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函
数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本
【答案】 y＝x- 1
ln x
1－ ln x
ln x
【解析】设 f ( x) ＝ x ，则 f ′（x) ＝ x2 ，所以 f ′(1) ＝ 1. 所以曲线 y＝ x 在点 (1 ， 0) 处的切线方程为 y
＝ x- 1.
调研 3 若在曲线 y＝e-x 上的点 P处的切线平行于直线 2x＋ y＋1＝ 0，则点 P 的坐标是 ________．
☆技巧点拨☆
1．导数计算的原则和方法
（ 1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
（ 2）方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
4 a≥ 3.
调研 2
已知函数
f ( x) ＝ x·ln
x，
g(
x)
＝
ax3-
1 2x
-
2 3e
.
2a≥ - x＋
1在 x
1 3， 2
上恒成立，
（ 1）求 f ( x) 的单调递增区间；
（ 2）若函数 y＝ f ( x) 与函数 y＝g( x) 的图象在交点处存在公共切线，求实数
1
e2
【答案】（ 1）f ( x) 的单调递增区间为 e，＋∞ ；（ 2） 6 .
【答案】 ( - ln 2 ， 2)
【解析】设 P( x0， y0) ，∵ y
1 ex
，∴ y′＝ - e-x，∴点
P 处的切线斜率为
k
＝
-
e
-
x 0
＝
-
2
，
∴ - x0＝ln 2 ，∴ x0 ＝- ln 2 ，∴ y0＝ eln 2 ＝2，∴点 P 的坐标为 ( - ln 2 ， 2) ．
调研 4 已知点 P在曲线 y 【答案】 [ 3π, π)
. 常见的题型及其解法如下：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
f (x) 0（ f ( x) 0 ）在
给定区间上恒成立．一般步骤为：
（ 1）求 f ′（x) ； （ 2）确认 f ′（x) 在 ( a， b) 内的符号； （ 3）作出结论， f ( x) 0 时为增函数， f ( x) 0 时为减函数． 注意： 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数
集 R 可以省略不写 . 在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续
点和不可导点 .
3．由函数 f x 的单调性求参数的取值范围的方法
（ 1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上