根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题
主编：闫老师
准备知识回顾：
1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为
)04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x ; 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆
（1） 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根;
（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根;
（3） 当0<∆时,方程没有实数根;
反之：方程有两个不相等的实数根,则 ；方程有两个相等的实数根,则 ；方程没有实数根,则 ;
韦达定理相关知识
1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x ;我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理;
2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x ;
3、以21x x 和为根的一元二次方程二次项系数为1是0)(21212=•++-x x x x x x
4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ；有一根为1,则=++c b a ；有一根为1-,则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数,则=b ;
5、二次三项式的因式分解公式法
在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方
程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.
基础运用
例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根
是 ,=k ;
解：
变式训练：
1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少
2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少
例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的
值：
12221x x + 2)1)(1(21++x x 3
2
111x x + 4221)(x x - 变式训练：
1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值：
1有两个实数根; 2有两个正实数根; 3有一个正数根和一个负数根; 4两个根都小于2;
2、已知关于x 的方程022=+-a ax x ;
1求证：方程必有两个不相等的实数根;
2a 取何值时,方程有两个正根;
3a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大;
4a 取何值时,方程到少有一根为零
选用例题：
例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1,则b
a 与是多少
例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的
平方和比两个根的积大16,求m 的值;
例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值;
基础训练：
1．关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根的情况是
A 有两个相等的实数根
B 有两个不相等的实数根
C 没有实数根
D 不能确定
2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2
221x x +的值是
A15 B12 C6 D3
3．下列方程中,有两个相等的实数根的是
（A ） 2y 2+5=6yBx 2+5=2错误!xC 错误!x 2－错误!x+2=0D3x 2－2错误!x+1=0
4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是
（A ） y 2+5y －6=0 By 2+5y ＋6=0 Cy 2－5y ＋6=0 Dy 2－5y －6=0
5．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,
那么x 1·x 2等于
A2 B －2 C1 D －1
6.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是
A 有两个相等的实数根
B 有两个不相等的实数根
C 没有实数根
D 不能确定
7.设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是
A15 B12 C6 D3
8．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝
9．如果关于x的方程2x2－4k+1x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是
10．已知x
1,x
2
是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x
1
＋x
2
＝ ,x
1
·x
2
＝ ,x
1
－x
2
2＝
11．若关于x的方程m2－2x2－m－2x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝ .
二、能力训练：
1、不解方程,判别下列方程根的情况：
1x2－x=5 29x2－6错误!+2=0 3x2－x+2=0
2、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、已知关于x的方程10x2－m+3x+m－7=0,若有一个根为0,则m= , 这时方程的另一个根是；若两根之和为－错误!,则m= ,这时方程的
两个根为 .
4、已知3－错误!是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值;
5、求证：方程m2+1x2－2mx+m2+4=0没有实数根;
6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－错误!和1+错误!;
7、设x
1,x
2
是方程2x2+4x－3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：
1 x
1+1x
2
+1 2错误!+ 错误!3x
1
2+ x
1
x
2
+2 x
1
8、如果x2－2m+1x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;
9、方程2xmx－4=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;
10、已知方程2x－1x－3m=xm－4两根的和与两根的积相等,则m= ;
11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ;
12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x
1,x
2
,不解方程,求下列各式的值:
1 x
12+x
2
2 2x
1
－x
2
3
2
1
x
x 4x1x22＋错误!x1
13、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数
式错误!的值;
14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－错误!a 2x 2－a 2－1=0有无实根
15、求证：不论k 为何实数,关于x 的式子x －1x －2－k 2都可以分解成两个一次因式的积;
16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根
训练一
1、不解方程,请判别下列方程根的情况；
12t 2+3t －4=0, ; 216x 2+9=24x, ;
35u 2+1－7u=0, ;
2、若方程x 2－2m －1x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;
3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2－错误!,则p= ,q= ;
4、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;
5、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;
6、m,n 是关于x 的方程x 2-2m-1x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式 m n = ;
7、已知关于x 的方程x 2－k+1x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;
8、如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;
9、已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程a 2+b 2+c 2x 2+2a+b+cx+3=0有两个相 等的实数根,求证：这个三角形是正三角形
10.取什么实数时,二次三项式2x 2－4k+1x+2k 2－1可因式分解.
11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋23－ｍｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝错误!＋错误!,求ｓ的取值范围;
训练二
1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;
2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;
3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;
4、若方程x 2+a 2－2x －3=0的两根是1和－3,则a= ;
5、方程4x 2－2a-bx －ab=0的根的判别式的值是 ;
6、若关于x 的方程x 2+2m －1x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;
7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：
1x 12x 2+x 1x 22 2 错误!－错误!
10．m 取什么值时,方程2x 2－4m+1x+2m 2－1=0
（1）有两个不相等的实数根,2有两个相等的实数根,3没有实数根；
11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值;
12．是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足
2
1x x ＝错误!,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由; 一元二次方程根与系数关系专题训练
主编：闫老师
1、如果方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根是x 1、x 2,
那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= ;
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,
那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2
111x x + ；
x 21+x 22= ；x 1+1x 2+1= ；｜x 1－x 2｜= ;
3、以2和3为根的一元二次方程二次项系数为1是 ;
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是 ,a 的值为 ;
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= ;
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等,则m= ;
7、一元二次方程px 2+qx+r=0p ≠0的两根为0和－1,则q ∶p= ;
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数,则m= ;
9、已知关于x 的一元二次方程a 2－1x 2－a+1x+1=0两根互为倒数,则a= ;
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=－2,则
m= ,x 1+x 221x x ⋅= ;
11、已知方程3x 2+x －1=0,要使方程两根的平方和为9
13,那么常数项应改为 ;
12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 ;
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+2－αβ2=0,则以α、β为根的一元二次方
程为 ;其中二次项系数为1
14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2m －1x+m 2=0;若方程的两根互为倒数,则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= ;
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ；β
= ；m= ;
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2m －1=0的两根为x 1、x 2,且4
3x 1x 121-=+,则m= ;
18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0,当 时,方程有两个正数根；当m
时,方程有一个正根,一个负根；当m 时,方程有一个根为0;
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m= ;
20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍,则所求的方程
为 ;
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系
是 ;
22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5,求方程的另一根及m的值;
23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根,求另一根和k的值;
24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数A、B均为有理数,
那么另一个根必是A－B;
25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大
26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x21－x222
29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x1－x2
30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x51·x22+x21·x52
32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2－6;
33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数;
34、造一个方程,使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；1大3；22倍；3相反数；4
倒数;
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足：1一个根比另一
个根大2；2一个根是另一个根的3倍；3两根差的平方是17;
36、已知关于x的方程2x2－m－1x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1,求m的值及
两个根;
37、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足
100
91)1)(1(=---βα,求m 的值; 38、已知一元二次方程8x 2－2m+1x+m －7=0,根据下列条件,分别求出m 的值： 1两根互为倒数；
2两根互为相反数；
3有一根为零；
4有一根为1；
5两根的平方和为64
1; 39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－m －2x －16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根;
40、已知关于x 的二次方程x 2－2a －2x+a 2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,
求a 的值;
41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等
于29,求b 、c 的值;
42、设：3a 2－6a －11=0,3b 2－6b －11=0且a ≠b,求a 4－b 4的值;
43、试确定使x 2+a －bx+a=0的根同时为整数的整数a 的值;
44、已知一元二次方程2k －3x 2+4kx+2k －5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的
底边长,求：当k 取何整数时,方程有两个整数根;
45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+m －2x+1=0的两根,求1+m α+α21+m β+β2的值;
46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根,x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根,求常数p 、q 的值;
47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程
y 2+5my+7=0的两个实数根,且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2,求m 、n 的值;
48、关于x 的方程m 2x 2+2m+3x+1=0有两个乘积为1的实根,x 2+2a+mx+2a －m 2+6m －
4=0有大于0且小于2的根;求a 的整数值;
49、关于x 的一元二次方程3x 2－4m 2－1x+mm+2=0的两实根之和等于两个实根的倒
数和,求m 的值;
50、已知：α、β是关于x 的二次方程：m －2x 2+2m －4x+m －4=0的两个不等实根; 1若m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；
2若α2+β2=6时,求m 的值;
51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等,方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍;
求证：方程x 2－k+nx+k －m=0一定有实数根;
52、关于x 的方程22n 4
1mx 2x +-=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长;
1求证：这个方程有两个不相等的实根；
2若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长;
53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2x 1≠x 2,在数轴上,
表示x 2的点在表示x 1的点的右边,且相距p+1,求p 的值;
54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x 的方程x 2+α+1x+β2=0与x 2+β+1x+α2=0有唯一的公共根,求a 、b 、c 的关系式;
55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2m+3x+m 2+3=0有两个实数根α、β,那
么α－12+β－12的最小值是多少
56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x 2－2nx+8m=0的两根相等mn ≠0;求
证：对任意实数k ,方程mx 2+n+k －1x+k+1=0恒有实数根;
57、1方程x 2－3x+m=0的一个根是2,则另一个根是 ;
2若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m ,n 应满足 ;
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x 2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x 2－2x －1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x 2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x 2+5x=0;
62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2,求它的另一个根及m 的值;
63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2,求它的另一个根及t 的值;
64、设x 1,x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的
值：
1x 1－4x 2－4；
2x 13x 24+x 14x 23； 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+12213131x x x x ；
4x 13+x 23;
65、设x 1,x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根,求｜x 1－x 2｜的值;
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2,方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7
和x 2+7, 求m 和n 的值;
67、以2,－3为根的一元二次方程是 +x+6=0 +x －6=0
－x+6=0 －x －6=0
68、以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 －2x+3=0 +2x －3=0
－6x －9=0 +6x －9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 +2x －3=0 －2x+3=0
+2x+3=0 －2x －3=0
70、以－3,－2为根的一元二次方程为 , 以213-,2
13+为根的一元二次方程为 , 以5,－5为根的一元二次方程为 ,
以4,4
1为根的一元二次方程为 ; 71、已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数;
72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ,b ,利用根与系数的关系,求一个一
元二次方程 ,使它的两个根分别是：
1a++1 2b
a a
b 2,2
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27
cm 2,求这个直角三角
形斜边的长 ;
74、在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与－3；小王看错了
q ,解得方程的根为4与－2;这个方程的根应该是什么
75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1,则a= ,另一个根
是 ;
76、若分式1
322+--x x x 的值为0,则x 的值为 A.－1 B.3 C.－1或3 D.
－3或1
77、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则
=0且n ≥0 =0且m ≥0C.m=0且n ≤0 =0且m ≤0
78、已知x 1,x 2是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式
的值：
12x 1－32x 2－3；
2x 13x 2+x 1x 23;
79、已知a 2=1－a ,b 2=1－b ,且a ≠b ,求a －1b －1的值;
80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根
为 ;
81、已知m 2+m －4=0,04112=-+n n ,m ,n 为实数,且n
m 1≠,则n
m 1+= ; 82、两根为3和－5的一元二次方程是
－2x －15=0 －2x+15=0
+2x －15=0 +2x+15=0
83、.设x 1,x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的
值：
1x 12+2x 22+2；
22x 1+12x 2+1；
3x 1－x 22;
84、.已知m ,n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根,求2m 2+3n 2+2m 的值;
85、已知方程x 2+5x －7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别
是已知方 程的两个根的负倒数;
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根之比为2∶1,求证：
2b 2=9ac ;
87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11,求m 的值;
88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0;1证明：不论a 取何值,这个方程总有两
个不相等的 实数根；2a 为何值时,方程的两根之差的平方等于16
89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0;1当a 为何值时,方程有一正、一负两个
根2此 方程会有两个负根吗为什么
90、已知关于x 的方程x 2－2a －1x+4a －1=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积;
91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1,x 2,且4x 1+x 2=0,又知根的判别式∆=25,求a ,b 的值;
92、已知一元二次方程8y 2－m+1y+m －5=0;1m 为何值时,方程的一个根为零2m
为何值时 ,方程的两个根互为相反数3证明：不存在实数m ,使方程的两个相互为倒数;
93、当m 为何值时,方程3x 2+2x+m －8=0：1有两个大于－2的根2有一个根大于－
2,另一个 根小于－2
94、已知2s 2+4s －7=0,7t 2－4t －2=0,s ,t 为实数,且st ≠1;求下列各式的值： 1
t
st 1+；; 2t s st 323+-; 95、已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且
x 12+x 22+x 1+x 22=3,
5222221=+x x ,求m 和n 的值;。