高中数学人教B版必修二学案：2.3.3 直线与圆的位置关系

2.3.3 直线与圆的位置关系
[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系
.
[知识链接]
1.直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)，直线恒过定点(x 0，y
0).
2.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(其中D 2＋E 2－4F >0)
3.点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2.
[预习导引]
1.直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离 公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2
d <r d ＝r d >r
代数法：由⎩
⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
消元得到一元二次方程
的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
(1)经过圆x 2＋y 2＝r 2上的点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
(2)经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上的点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.
要点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆
与直线
(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，
∴当Δ>0时，即m >0或m <－4
3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m ＝0或m ＝－4
3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－4
3<m <0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.
圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m
2
.
当d <2时，即m >0或m <－4
3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d ＝2时，即m ＝0或m ＝－4
3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d >2时，即－4
3<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
规律方法 直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪演练1 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A.l 与C 相交 B.l 与C 相切
C.l 与C 相离
D.以上三个选项均有可能
答案 A
解析 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3,0)在圆内.
∴过点P 的直线l 必与圆C 相交. 要点二 圆的切线问题
例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外.
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2
＋1
＝1，即|k ＋4|＝
k 2＋1，
所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－15
8.
所以切线方程为y ＋3＝－15
8(x －4)，
即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，
圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.
规律方法 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.
2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不已知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式. 跟踪演练2 求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程.
解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)， 即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|
k 2
＋1＝5.
解得k ＝43或k ＝－3
4
.
∴所求切线方程为y ＋7＝4
3
(x －1)
或y ＋7＝－3
4(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.
要点三 圆的弦长问题
例3 求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长.
解 方法一 由⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －6＝0，
x 2＋y 2
－2y －4＝0，得交点A (1,3)，B (2,0)，
∴弦AB 的长为|AB |＝
(2－1)2＋(0－3)2＝10.
方法二 由⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －6＝0，
x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y 得x 2－3x ＋2＝0.
设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
＝(x 2－x 1)2＋[－3x 2＋6－(－3x 1＋6)]2 ＝(1＋32)(x 2－x 1)2＝
10[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
10×(32－4×2)＝10，
即弦AB 的长为10.
方法三 圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r ＝5， 点(0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12
＝10
2，
所以半弦长为|AB |
2＝
r 2－d 2＝
(5)2－⎝⎛
⎭
⎫1022＝102，
所以弦长|AB |＝10.
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.
(2)
代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.
跟踪演练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.4 6
答案 C
解析 圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝
|1＋4－5＋5|
12＋22
＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.
1.直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A.过圆心 B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×(－1)＋12|32＋42
＝11
5<r .
2.直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A.0或2 B.2 C. 2 D.无解 答案 B
解析 由直线与圆心的距离d ＝
|m |
2
＝m ，解得m ＝2. 3.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 D
解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2. 4.由点P (1,3)引圆x 2＋y 2＝9的切线，则切线长为________. 答案 1
解析 点P 到原点O 的距离为|PO |＝10，∵r ＝3， ∴切线长为
10－9＝1.
5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0
解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于
12－⎝⎛⎭⎫222
＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上.于是
有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.
2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.。