高考数学压轴专题最新备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编附答案

新高考数学《坐标系与参数方程》练习题
一、13
1．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则其圆心坐标为（ ） A ．2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．32,
4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．2,4π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．()2,0
【答案】B 【解析】 【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，即ρθθ=-，
即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，
所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）与曲线2
2
1613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）
A ．14
-
B ．
14
C ．12
-
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角
坐标的互化，得曲线C 普通方程为22
1164
x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．
【详解】
由直线1:1x t l y at
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ， 由曲线2
21613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为22
1164
x y +=，
设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2
2
21164
x y +=，
两式相减，可得
1212
121214
y y y y x x x x -+⋅=--+. 所以
12121
14y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14
-，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．221x y +=
B ．()2
2
10x y x +=≠ C
．0
x y x ⎧>⎪=⎨
<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上22
1,0
1,0
x x y x x ⎧->⎪=⎨--<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
4．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）
A ．2sin ,
cos x t y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数）
B ．2
tan ,
1tan x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数） C ．1,x t y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
D ．2
cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数） 【答案】B 【解析】
A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:
21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
2222
1
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围.
5．参数方程21,11x t
y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）所表示的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
消参化简整理得2
2
1x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】 将1
t x =代入211y t t
=
-，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．若点P 的直角坐标为(1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
7．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )
A ．1
B ．1-
C 1
D ．1-
【答案】C 【解析】 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设2
2
(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,
则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
8．已知22451x y +=，则2x +的最大值是（ ）
A B ．1
C ．3
D ．9
【答案】A 【解析】 【分析】
设1cos 25sin x y αα
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则25cos sin 2sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性
得到最值. 【详解】
22451x y +=，则设1cos 25sin 5x y αα
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，则25cos sin 2sin 4x y πααα⎛
⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ 当4πα=，即2410
10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时有最大值为2
故选：A 【点睛】
本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25sin x y αα⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩是解题的关键.
9．已知点是曲线：
（为参数，
）上一点，点
，则
的取值范围是 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利
用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】 曲线表示半圆：，
所以.
取，
结合图象可得
.故
选：D 。

【点睛】
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

10．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
2
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求
2x y +的最大值.
【详解】
由题可得：22
143x y +=则2cos (3x y θθθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩
为参数）， 有22cos 23x y θθ+=+
13
42con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为1sin 16πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 则： 44sin 46πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.
11．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，
3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为
（ ） A
B ．2
C ．1
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为
(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C
得)
A
αα,，联立1
C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】 曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A
的极坐标为
)
αα,，B 的极坐标为()cos ,αα．
所以
sin 2sin 3=AB πααα⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为
2．故选：B ．
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．已知曲线C
：{
2
x y a =
=+
（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P
满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r
，则实数a 的取值范围为（ ）
A
．,22⎡-⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C
．⎡⎣
D ．[]2,2-
【答案】C 【解析】
曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r
⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆
221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小
于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.
13．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，0θπ剟
）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为
4
π
，则P 点的坐标是（ ）
A ．(3,4)
B ．⎝
C ．(-3,-4)
D ．1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，
∴3
tan 4
θ=，又0θπ剟
， ∴3sin 5θ=
，4cos 5
θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯
=，312
4sin 455
y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选D. 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.
14．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极
坐标方程为sin 42a πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，0θπ剟）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2±
B ．(2,2)-
C ．[1,1)-
D ．[1,1)-或2
【答案】D 【解析】 【分析】
先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】
因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭即222
(sin cos )a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.
消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：2
2
1x y +=，由于0θπ剟，故0y ≥
如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122
O l d a -=
=∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
15．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A ．552,2-⎡⎣
B ．210,210⎡⎤-⎣⎦
C ．10,10⎡-⎣
D ．(5,5-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用参数方程，令10,10a b αα==，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛⎫
-=+
⎪⎝
-⎭
=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A 【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
16．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u u
u r
=
因为2cos θθ
+的取值范围为
⎡⎡=⎢⎣
⎣
1
=
=
1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r
u u u r
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
17．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)2
π B ．(1,)2
π
-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1），
则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝
⎭，故选B.
考点：直角坐标与极坐标的互化.
18．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l
交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E
=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆
22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[2,5]
C ．[2,4]
D ．[3,4]
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】
由题意可知，(D c
，7,5E c ⎛- ⎝⎭
，
将,D E 代入椭圆方程得222
222
222
2
1124924
12525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=
⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则
12PF PF ⋅=
=
所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.
19．已知点 A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+=的距离的最
大值是（ ） A ．
9
2
B ．
72
C ．
52
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可 【详解】
2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为222x y x +=
配方为：()2
211x y -+= 可得圆心为()1,0，半径1r =
直线sin()46
π
ρθ+
=1
sin cos 42
θρθ+=
可得直角坐标方程为：80x +-= 则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+
=的距离的最大值为：
9
12
+=
故选：A 【点睛】
极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.
20．已知点()30A -,，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（参数[]0,2θπ∈）上运
动，则PAB △面积的最小值为（ ）
A ．
9
2
B ．
C ．62
+
D ．62
-
【答案】D 【解析】
【分析】 化简曲线1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小
值求解即可. 【详解】
由曲线1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.
故直角坐标方程为：()2
211x y -+=.
又点()30A -,
,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=. 故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为
d =
=
故P
到直线AB 的距离最小值为1h =.故PAB △面积的最小值为
()
1116222S AB d =
⋅=⨯=-
. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.。