第六章频率特性分析法主编修改版

输出：正弦信号，频率不变， 幅值和相位发生变化。
0
t

若采用极坐标将系统的正弦输入信号和正弦输出响应表示为 复数，则系统的频率特性定义为： 系统的输出与输入之复数比。
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
K g N ( s)
考虑系统传递函数的一般形式
G( s)
(s p )
0
4/T
8/T
1）当频率较低时，稳态输出电压和输入电压幅 值几乎相等，且相位滞后较小，电路主要表现出 0 电阻特性（=0时，输入与稳态输出均为大小相等 的直流电压）。 2）随着增大，稳态输出电压的幅值迅速减小， 相位滞后随之增大，电路电容特性增强。 90 3）当+，输出电压的幅值接近0，而相位滞 后接近90°，电路近似为一电容。
e
j G ( j ) j t

制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
系统的频率特性为
Yss G( j ) e jG ( j ) G ( s ) s j A( )e j ( ) U (6 - 11)
幅频特性 (也常称增益) : A( ) G ( j )
6.2.2 频率特性的物理意义
uR
R
ui (t )
i
C
uC uo (t )
电容上初始电压为0时，
当t 时 , 系统稳态输出为: uoss ( t ) Um 1 (T )
2
si n ( t arctanT ) U om si n ( t ) (6 - 13)
制作-罗家祥 审校-胥布工
输入 : u(t ) Um sinωt 1(t )
U m 1 输出 : uo ( t ) L1[U o ( s )] L1 2 2 Ts 1 s
t U mT T Um e sin ( t arctanT ) (6 - 12) 2 2 1 (T ) 1 (T )
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.3 频率特性图示法
6.3.1 幅相频率特性曲线 奈奎斯特曲线：(幅相频率特性曲线，极坐标曲线 ） G(j)随从0变至+在复平面上连续变化而形成一条曲线，
曲线特征: 极坐标：A(), , =0（或者 0）； + ， 箭头表明增大时轨迹的走向 特点： P()和A()为的偶函数, Q()和()关 于的奇函数，因此关于实轴对称； 负频率部分奈奎斯特曲线通常以虚线形 式表示，无物理意义，有几何意义。
0
G ( j )
4/T
8/T

制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
频率特性的实验测量方法 按频率特性的定义，系统（或元件）的频率特性也可方便地通 过实验方法求得，能通过实验方法来建立系统的数学模型是频 率特性法的突出特点。
双踪示波器
正弦信号发生器
线性定常系统或元件 （实验对象）
n bl a a Y ( s) s jω s jω l 1 s pl
对于稳定的系统， pl<0, n y( t ) ae jt a e jt bl e pl t , t 0 (6 - 4)当t趋向于无穷 l 1 时，此项为0
(6 - 3)
yss (t ) ae jt ae jt
(6 - 15)
分析：T(j)为反馈控制系统的闭环频率特性。从快速性和 准确性的角度出发，最理想的情况为y(t)r(t)，T(j)=1。 理想的闭环曲线为矩形，矩形频段内的相位为0： 1）通常系统的有效信号往往集中于中低频段，要求T(j)=1。
2）高频段：|R(j)|0，如虚线所示。系统高频段需滤除噪声， 也要求|T(j)|0。
胥布工深圳大学机电与控制工程学院制作罗家祥审校胥布工第六章频率特性分析61引言62频率特性的基本概念63频率特性图示法64系统的开环频率特性65奈奎斯特稳定判据66稳定裕度67基于开环对数频率特性的系统性能分析68闭环频率特性与系统性能指标69利用matlab进行控制系统的频率特性分析610小结制作罗家祥审校胥布工61引言本章知识体系基于开环对数频率特性的性能分析闭环频率特性与系统性能指标系统开环频率特性奈奎斯特稳定判据稳定裕度法频率特性概念闭环系统的典型频率特性频率特性图示法matlab应用制作罗家祥审校胥布工61引言引入频率法的原因



e j G ( j ) j t G ( j ) U m 2j j sin(G( j ) t ) j sin(G( j ) t ) G ( j ) U m 2j G ( j ) U m sin(t G ( j )) (6 - 10) A( )U m sin(t ( ))
6.2 频率特性的基本概念
uoss ( t ) Um 1 (T )
2
sin(t arctan T )
Um
1
G ( j )
幅频特性 : A( )
1 (T )2 1 Um 1 (T )2

相频特性： - arctan( T )
分析：该电路起到了低通滤波的作用。
Im
A(): 幅频特性 : 相频特性 P(): 实频特性 Q(): 虚频特性
Im
Q( ) A( )
G ( j )
G ( j1 )
A(1)
G ( j 2 )
( )
0
P( )
Re
0
(1 )
A(2 )
( 2 )
Re
G(j)复平面上的表示
G(j)在复平面上滑过的轨迹
相频特性 :
( ) G( j )
反映出系统在不同频率正弦信号作用下的输入输出特性。式 （6-11）表明了频率特性与传递函数之间的关系，即频率特性 只是传递函数的一种特殊形式，可用j替代G(s)中的s求得。
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
电路的输入电压和输出电压分 别为ui(t)和uo(t)，对应的拉普 拉斯变换分别为Ui(s)和Uo(s)
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
Y2 Y1
Step Response
阻尼系数 : 1 2 0.5
自然振荡角频率: n1 10rad/s,n2 30rad/s
0.2
0.4
0.6 0.8 Time (sec)
1
1.2
两个闭环系统响应曲线的峰值时间分别为：
(6 - 5)
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
yss (t ) ae jt ae jt
输出：Y ( s ) G ( s ) Umω s 2 ω2
利用待定系数法： a Y ( s )(s j ) |s j G( j )
其中， G ( j ) G ( s ) s j
Um U ，a Y ( s )(s j ) |s j G( j ) m 2j 2j
U m j t U e G ( j ) m e j t 2j 2j
y ss ( t ) G ( j )
Um G ( j ) e jG ( j ) e jt G ( j ) e jG ( j ) e jt 2j U m G ( j ) e j G ( j ) j t G ( j ) e j G ( j ) j t 2j
将图6-5所示控制系统视为信号处理单元， 分别对输入和输出作傅立叶反变换得 1 jt r (t ) R ( j ) e d (6 - 14) 2
1 y( t ) 2 1 jt Y ( j ) e d 2

R ( j )


0


T ( j ) R( j )e jt d
6.10 小结
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.1 引言
本章知识体系
频率特性概念 闭环系统的典型 频率特性 频率特性图示法
系统开环频率特性 奈奎斯特稳定判据 稳定裕度法
基于开环对数频率 特性的性能分析 闭环频率特性 与系统性能指标
MATLAB应用
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.1 引言
引入频率法的原因：对于某些高阶系统，由于可能包 含数十个以上的储能元件，难于建模和求解。频率法 将系统看作是具有信号处理能力的黑箱，以正弦波为 基本激励信号建立系统的输入输出特性。
l 1 l
n
(6 - 1)
输入：u(t ) U m sinωt 1(t )
K g N ( s) U m ω U mω 输出：Y ( s ) G( s )U ( s ) G( s ) L[U m sinωt ] G( s ) 2 n 2 s ω s 2 ω2 ( s pl ) 若G( s )极点互不相同，则 l 1
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
理想的矩形闭环频率特性很 T ( j ) 难实现，而闭环控制系统的 M r 典型频率特性如图6-7： M (0) 闭环频域性能指标： 0.707 M (0) M(0): 零频振幅比 Mr: 谐振峰值 r: 谐振频率 b: 带宽频率 0 （1）低频部分幅值M()=变化比较平缓；
频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入， 通过研究系统的频率响应特性来分析系统性能，称为 频率特性分析法。 优点：图形方式进行系统分析与设计，简单、直观。 将乘法计算转化为简单的加法计算，在频率域中通过 频率指标直接分析系统的性能。不需要求解时域响应， 也不需按照系统工作原理进行微分方程的建模。
在所关心的频率范围，按一定间隔改变输入信号的频率值， 分别测得对应的幅值比和相位差即可求得系统的频率特性曲 线。
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
R ( j ) T ( j )
T ( j )
T ( j ) , R ( j )
6.2.3 反馈控制系统的典型频率特性
Y ( j )
可见，系统带宽越大，时域响应 的速度越快。 采用频率响应来分析控制系统时域 响应的基本思路： • 系统的频率响应很难直接求解时域响 应，因而直接在频域内分析系统； • 频率分析法的主要任务就是研究系统 频率响应与时域响应之间的关系，建 立频域指标与时域指标之间的定量关 系。
0.8 0.6 0.4 0.2
6.2 频率特性的基本概念
闭环系统的带宽取决于对重现信号能力的要求（对应于时域 响应速度）和对高频噪声过滤的要求两者的折衷。 例如，考虑两个2阶闭环系统如下：
100 900 T1 ( s ) 2 , T2 ( s ) 2 s 10s 100 s 30s 900
Amplitude
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
6.2.1 频率响应与频率特性的定义
线性定常系统的频率响应：
在零初始条件下，系统对正 弦输入信号的稳态响应。
u (t )
y (t )
线性定常系统
u (t ) , y (t )
线性定常系统的频率特性：
输入：正弦信号；
Um
Ym
u (t )
y ss (t )
制作-频率特性的基本概念 6.3 频率特性图示法 6.4 系统的开环频率特性
6.5 奈奎斯特稳定判据
6.6 稳定裕度 6.7 基于开环对数频率特性的系统性能分析 6.8 闭环频率特性与系统性能指标 6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析
带宽
r
b

闭环控制系统的幅频特性M()=|T(j)|曲线有以下特点：
（2）由于典型的闭环系统往往设计成欠阻尼的，有一对共轭 主导极点，对某个频率的输入信号由最大值，M()出现峰值； （3）在峰值之后，曲线以较大的陡度衰减直至为零，即实际 控制系统通常具有低通作用，因而存在一定的带宽。
制作-罗家祥 审校-胥布工
t p1 0.36s, t p 2 0.12s
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.2 频率特性的基本概念
t p1 0.36s, t p 2 0.12s
1.4 1.2 1.0
Y2 Y1
Step Response
带宽频率 : b1 15rad/s,b 2 40rad/s
Amplitude
0 0
0.2
0.4
0.6 0.8 Time (sec)
1
1.2
20 lg T
10 0 3 10
T2 T1
20 30 40
1
10 B1
B2
100
制作-罗家祥 审校-胥布工
6.3 频率特性图示法
用极坐标和直角坐标表示频率特性：
G( j ) | G( j ) | G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ( ) (6 - 16)