简单曲线的极坐标方程

源自54(
0).
因此直线l
的方程可以用


4
和

5
4
表示。
和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来，极坐标系里的 直线表示起来很不方便，要用两条射
线组合而成。原因在哪？ 0
为了弥补这个不足，可以考虑允许
极径可以取全体实数。则上面的直
线的极坐标方程可以表示为
( R) 或 5 ( R)
极 坐 标 方 程.
2a cos
P( )
O

M
(a·,0)
x
问 题3： 求 半 径 为a， 圆 心 坐 标 为(a, )
(a 0)的 圆 的 极 坐 标 方 程.
2
M
(a,

2
)
·
P(
)
2a sin

O
x
一般的圆的极坐标方程
求圆心在M(0,０)，半径为r圆的极坐标方程。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以 用f(x,y)=0表示。曲线与方程满足：
（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；
2、设点M(, )是直线上任意一点；
3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
两种特殊的直线的极坐标方程
M
问 题4： 求 过 点A(a,0)(a 0)且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 的 极 坐 标 方 程.

cos a
设直线L与极轴交于点A。则在MOP
OMP
由正弦定理 得
sin( )

, OPM



( 1
1 )
sin[ ( 1 )] sin( )
1 sin(
1 )
显然点P的坐标 也是它的解。
x cos
方程互化

y
﹚
O
Ax
问 题5： 求 过 点A(a, )(a 0)且 与 极 轴 平 行 A
2
M
的 直 线 的 极 坐 标 方 程.

sin a
﹚
O
x
问 题6： 求 过 点A(a,0)(a 0)且 倾 斜 角 为
M
的 直 线 的 极 坐 标 方 程.
sin( ) a sin
M
Or x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几
何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式
何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
叫做曲线那么方程的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意如果平面曲线一般地在极坐标系中半径就是圆心在所以适当的极坐标系设点为要求方程的曲线上任意一点列等式构造利用三角形边角关系的定理列关于m的等式将等式坐标化化简此方程f0即为曲线的方程例1
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
解析：选 B.ρ＝cosθ 可以用直角坐标系表示为 x2＋y2 ＝x，即(x－12)2＋y2＝14； ρcosθ＝12可以用直角坐标 系表示为：x＝12.
2.设点P的极坐标为A(a, 0) ，直 l
线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直l
线 的极坐标方程。
解：如图，设点 M(, )
M
为直线 l上异于的点
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
特殊位置的圆的极坐标方程
问 题1： 圆O的 半 径 为r， 怎 样 建 立 极 坐 标 系 ，使 圆
的极坐标方程最简单？
r
P( )

O· r
x
问 题2： 求 半 径 为a， 圆 心 坐 标 为(a,0)(a 0)的 圆 的
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
例1.已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程简单？
连接OM，在MOA 中有
o
﹚ p
x
a sin( ) sin( )
即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
3.求过点A(2, )平行于极轴的直线。
4
解：在直线l上任意取点M (, )
A(2,

4
)
M
A(2, )
4

MH 2 sin 2

4
O
在RtOMH中，MH ＝ OM sin ,
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程
4
为 sin 2
1.在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于 极轴的直线的极坐标方程为__________. 解析：由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9， 圆心是(3,0)， 所求直线标准方程x＝3，则极坐标方程为ρcosθ＝3. 答案：ρcosθ＝3
（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
思考：在极坐标系中，平面曲线是否可以用
方程 f (, ) 0 表示？
探究： 如图，半径为a的圆的圆
心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a coMs(.,..)........(1)
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
O
A
C(a,0)
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
方程为( B )
A．ρ＝2 2cosθ
B．ρ＝－2 2cosθ
C．ρ＝2 2sinθ
D．ρ＝－2 2sinθ
极径的推广
负极径
(, )
“负”的意义是什么？
O
x
标准之下 3摄氏度与-3摄氏度.
方向相反 a与a. 与.
M (, )
若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称
P( )
2 02 20 cos( 0 ) r2
(1)0＝0，0 r a时， 2a cos
(2)
＝
02
，0

r

a时，

2a sin
(3)0＝0，0 0时， r
r
0
0
M(00 )
练.在极坐标系中，圆心为( 2，π)且过极点的圆的


sin

,
2 x2 y2
tan

y x
,(x

0)
例4.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ ＝－4sinθ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程.
【解】 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立 平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位. (1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ. 所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程． 同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．
2. 极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得 cos 2 2
3
3
所以得 tan 2 即 y 2
4x
4
两条直线l1 : 2x 4 y 0, l2 : 2x 4 y 0 所以是两条相交直线,故选A.
的角是

4
，求直线
l
的极坐标方程。

﹚4
x
o 解：如图，以极点O 为分界点，直线l 上点的极坐标分成射
线 OM 、射线OM 两部分。射线OM 上任意一点的极角都是

4
， 因 此射 线 OM
的极坐标方程是


4
(

0); 射线OM

上
任 意 一点 的极 角 都是 5
4
， 因 此 射线 OM 的 极 坐标 方 程是
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1)
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2 所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
所以， 2a cos就是圆心在 C(a,0)(a 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。
x2＋y2－4x＝0， (2)由x2＋y2＋4y＝0. 解得xy11＝＝00，， xy22＝＝－2，2. 即圆 O1，圆 O2 交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直 线的直角坐标方程为 y＝－x.
【名师点评】 掌握极坐标方程与直角坐标方程之 间的互化是解决本题的关键．
1. 极坐标方程 ρ＝cosθ 与 ρcosθ＝12的图形是 ()
4
4
例2.求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )
为直线L上除点A外的任
M

意一点，连接OM 在 RtMOA中有
﹚ o Ax
OM cos MOA OA
即 cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
若M的坐标为 (, ) 则M的坐标也可以是(, ).
•13
练答习：：（写－出6，点 （+π6），6 ）的负极径的极坐标
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
l 如图，直线l
经过极点，从极轴到直线l
﹚
OA
x
例3. 设点P的极坐标为(1,1)，直线 l
过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l
的极坐标方程。
M
1 P
﹚1 ﹚
o
x
解：如图，设点 M(, ) 为直线上除
点P外的任意一点，连接OM
则 OM ,xOM 由点P的极坐标知
OP 1 xOP 1