2.2.2完全平方公式

结论
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
即两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加（或减）它们的积的2倍．
说一说
把一个边长为a+b的正方形按图分割成4块， 你能用这个图来解释完全平方公式吗？
利用完全平方公式，可以对形如两数和 （或差）的平方的乘法进行简便运算.
= 4a2-12a+9
（2）


-3
x
+
1 2
2


=
9x
2
-
3x
+
1 4
（3）(-x2-4y)2
= x4+8x2y+16y2
（4）(1-2b)2
= 1-4b+4b2.
2. 计算： （1）(x+2y)2-(x-2y)2； （2）(a-b+1)2
解（1）(x+2y)2-(x-2y)2 = 8xy
（2）(a-b+1)2 = a2-2ab+2a+b2-2b+1
3.计算： （1）1032； （2）2972.
答案：10609 答案：88209
中考 试题
例1
利用如图所示几何图形的面积可以
表示的公式是
（C ）
A. a2-b2 = a(a-b)+b(a-b)
B. (a-b)2=a2-2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. a2-b2=a(a+b)-b(a+b)
解析 由图知，应选择C.
结束Βιβλιοθήκη （2 ）(a+b+1)2 解 (a+b+1)2 = [(a+ b)+1]2 = (a+b)2 +2(a+b) +1 = a2+2ab+b2+2a+2b+1 ．
例7 计算： （1）1042； （2）1982.
（1） 1042 解 1042
= (100+4)2 = 1002+2×100×4+42 = 10 000+800+16 = 10 816.
（2） 1982 解 1982
= (200-2)2 = 2002-2×200×2+22 = 40 000-800+4 = 39 204.
练习
1. 运用完全平方公式计算：
（1）(-2a+3)2； （3）(-x2-4y)2 ；
（2）
-3
x
+
1 2
2；

（4）(1-2b)2.
解（1）(-2a+3)2
（2）(2a-3)2；
（3）
5m
-
1 2
2


.
解（1）(x+4)2 = x2+8x+16
（2）(2a-3)2 = 4a2-12a+9
（3）


5m
-
1 2
2


=
25m
2
-
5m
+
1 4
3. 自编两个可以利用完全平方公式计算的题， 并与同学交流解题过程.
说一说
(a- b )2与(b-a)2，(a+b)2与(-a-b)2相等吗？ 为什么？
相等. 因为(b -a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2， 所以(a-b)2=(b -a)2 ； 又因为(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2， 所以(a+b)2= (-a-b)2 .
用完全平方公式将它们分 别展开，可得……
例5 运用完全平方公式计算： （1）(-x+1)2； （2）(-2x-3)2.
（1）(-x+1)2 解 (-x+1)2
= (-x)2+2(-x)·1 + 12 = x2-2x+1
我是这样做的： (-x+1)2 =(1-x)2
= 12-2 ·1 ·x +x2
= 1-2x+x2. 对吗？
（2） (-2x-3)2 解 (-2x-3)2
+
1 2

2

=
x2
-
x+
1 4
练习
1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应怎 样改正？
（1）(x+2)2 = x2+4； 答：不对，应是：x2+4x+4.
（2）(-a-b)2 = a2-2ab+b2. 答：不对. 应是：a2+2ab+b2.
2. 运用完全平方公式计算：
（1）(x+4)2；
我们用多项式乘法来推导一般情况 ( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
本课节内容 2.2
乘法公式
——2.2.2 完全平方公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律？
(a+1)2= (a+1)(a+1)=a2+a+a+12= a2+2·a·1+12， (a+2)2= (a+2)(a+2) = a2+2a+2a+22 = a2+ 2·a·2 + 22， (a+3)2= (a+3)(a+3) = a2+3a+3a+32 = a2+ 2·a·3 +3 2， (a+4)2= (a+4)(a+4) = a2+4a+4a+42 = a2+ 2·a·4 +4 2 .
例4 运用完全平方公式计算：
（1）(3m+n)2；
（2）



x
-
1 2
2
.

（1）(3m+n)2 解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2


x - 1



2

解
2


x- 1



2

=
x2 -2·
x·
1 2
= [-(2x+3)]2 = (2x+3)2 = 4x2+12x+9.
例6 计算： （1）(a+b)2 -(a-b)2； （2 ）(a+b+1)2.
（1）(a+b)2 -(a-b)2 解 (a+b)2 -(a-b)2 = a2+ 2ab+b2-( a2-2ab+b2) = a2+2ab +b2-a2+2ab-b2 = 4ab ．