大学数学 定积分及其应用必做习题

2、定积分的性质
（1）线性性
b
b
b
∫ ∫ ∫ a [k1 f ( x) + k2 g( x)]dx = k1
a f ( x)dx + k2
g( x) dx
a
( k1 , k2 为常数）
b
c
b
∫ ∫ ∫ （2）区间可加性 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a
a
c
a
a
b
b
b
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （3）特别约定
利用奇偶函数在对称区间上的定积分的性质有：
π
π
∫ ∫ 解：原式= 1+ cos 2xdx + x sin xdx−π−π Nhomakorabeaπ
π
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ = 2 1 + cos 2xdx = 2 2 cos x dx = 2 2( 2 cos xdx − π cos xdx ）
0
0
0
2
π
=2
2(
sin x
2
−
x→a x − a a
x→ a
x−a
x →a
x−a
= a lim f (ξ ) = a f (a) 。
x→ a
π
∫ 例 5 ( 1+ cos 2x + x sin x )dx −π
[分析]： f (x) = 1+ cos 2x 是[−π ,π ]上的偶函数， g( x) = x sin x 是[−π ,π ]上的奇函数，
高等数学学习指导书 第五章 定积分
第五章 定积分
微分和积分分别由两个几何问题引出，求曲线的切线斜率引出了导数，求平 面图形的面积将引出积分。其实，积分思想先于微分思想的产生，“无限细分， 无限求和”的积分思想在古代就已经萌芽，最早可以追到由阿基米德等人提出的 计算面积和体积的方法。后来逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导 数）的重要结果。17 世纪，莱布尼兹和牛顿将微分和积分真正沟通起来，找到 了两者内在的直接联系，确立了微分和积分是两种互逆的运算。这是微积分建立 的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学， 并从对函数的微分和积分中，总结出共同的运算规律，使微积分方法普遍化，发 展成用符号表示的微积分运算法则。
∫ 数，则 b f ( x)dx = F(b) − F(a) = F (x) b
a
a
4、定积分的主要计算方法
（1）定积分的换元法
设函数 f (x) 在[a, b]上连续， x = ϕ(t)在[α, β]上有连续导数，当 t 在 [α, β]变化时，
b
β
∫ ∫ x 在[a, b] 上变化且ϕ(α ) = a ，ϕ(β ) = b 则 f ( x)dx = f (ϕ(t))φ ′(t)dt
sin
x
π π
= 1− (− 1) =
2。
0
2
1
∫ 例 6 求 2 x2 − x4 dx −1
[分析]：由于
x2
=
x
=
⎧x ⎨⎩− x
x≥ 0
利用定积分对区间的可加性
x<0
1
1
∫ ∫ ∫ 2 x
1 − x2 dx =
0
−x
1 − x2 dx +
2 x 1 − x2 dx
−1
−1
0
∫ ∫ 解：原式= = 1
3、微积分基本定理、牛顿莱布尼兹公式
x
∫ � （原函数存在定理）设 f (x)在 [a, b]上连续，则积分上限函数 ϕ( x) = f (t)dt 在[a, b] a
∫ 上可导，且 d
x
f (t)dt = f ( x)
dx a
� （牛顿莱布尼兹公式）设 f (x) 在[a, b] 上连续，若 F( x) 是 f (x) 在[a, b] 上的一个原函
0
1− x2 d (1− x2 ) − 1
1 2
1− x2 d (1− x2 )
2 −1
20
1
=
1
(1−
x2
)
3 2
0
−
1
(1−
x2
x→a x − a a
x→ a
x−a
= a f (a)
(ξ 在 a 与 x 之间）
∫ 解法 3：利用微分中值定理，令 F(x) = x f (t )dt ，则 F(a) = 0，于是 a
∫ x
lim
x f (t)dt = a lim F( x) − F(a) = a lim F′(ξ )( x − a) （ξ 在 a 与 x 之间）
a
α
公式（1）从左到右是代入法，反之是凑微分法；
定积分的换元法遵循：“换元必换限，不必代回”的原则。
（2）定积分的分部积分法
（1）
设 u = u( x), v = v(x) 在[a, b] 上有连续导数，则
∫ ∫ b u(x)v′(x)dx = (uv) b −
b
u′(x)v(x)dx
a
a
a
∫ ∫ 即
面积
c
A
∫ 弧长 l = b 1 + y′2 dx a
l
r = r (θ ) θ ∈[α , β ]
∫ A = 1 β r2 (θ )dθ
2α
∫ A = 1
2
β α
[r22
(θ
)
−
r12
]dθ
x = φ (t), y = ϕ(t) t ∈[t1, t2 ]
∫ A = t2 ϕ (t)φ ′(t)dt t1
∫ A = t2 φ (t)ϕ ′(t)dt t1
∫ ∫ l = β r2 (θ ) + r′2 (θ )dθ α
l = t2 φ ′2 (t) +ϕ ′2 (t)dt t1
∫ 旋转 A = π b f 2( x) − g2( x) dx a
∫ 体体 A = π d ϕ 2( y) −φ 2( y) dy
π
π
∫ ∫ N =
2 π
(sin3
x
+
cos4) xdx
=
0
+
2 π
cos4 xdx > 0
−
−
2
2
π
∫ P = 0 −
2 π
cos4 dx < 0
−
2
所以 P < M < N 。
∫ 例 4 已知 f (x) 是连续函数，求 lim x
x
f (t)dt
x→a x − a a
x
∫ 解法 1：注意到 lim f (t )dt =0，使用罗比达法则，有 x→ a a
∫ 压力 P = h p(x)dx, p (x ) 为压强 0
经济应用
x
b
∫ ∫ 成本 C(x) = C0 +
MCdt, ∆C =
0
C′(t )dt ,
a
其中 MC = C′(t) 为边际成本， C0 为固定成本
二、课程基本要求：
1、理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理。 2、理解变上限的积分作为其上限的函数激及其求导定理，掌握牛顿莱布尼兹公式。 3、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 4、掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物 理量的积分表达式。 5、了解广义积分及其收敛性的概念。 6、了解定积分的近似计算法。 重点：定积分的概念；换元法和分部积分法；积分上限函数的概念。 难点：换元积分法。
（2）暇积分（无界函数的广义积分）
89
高等数学学习指导书 第五章 定积分
b
b
∫ ∫ f ( x)dx = lim f (x)dx ( lim f (x) = ∞)
a
ε →0+ a+ ε
x→ a+
b
b−ε
∫ ∫ f ( x)dx = lim f ( x)dx ( lim f ( x) = ∞)
a
ε →0+ a
b u(x)dv(x) = (u(x)v(x)) b −
b
v( x)du(x)
a
a
a
（3）奇偶函数在对称区间上的定积分
a
∫ 设 f (x) 在[−a, a] 上连续 ，则 f ( x)dx = 0 ，当 f (x) 是奇函数 −a
a
a
∫ ∫ f ( x)dx = 2 f ( x) dx ， 当 f (x) 是偶函数。
=
sin x x
在该区间上的最
大、最小值为 M = f (π ) = 2 2 , m = f (π ) = 2 ，由积分的估值不等式，得：
4π
2π
∫ ∫ 2 (π − π ) ≤
π2 4
π
2 π
4
sin xdx ≤ x
2 2(π π2
−
π ) ，即 4
1 2
≤
π sin x
2 π
4
dx ≤ x
2。 2
f (x)dx = 0 ， f ( x)dx = − f ( x)dx ， 1dx = dx = b − a
a
b
a
a
a
b
∫ （4）不等式性 f (x) ≥ 0 ( x ∈[a, b]) ⇒ f ( x)dx ≥ 0 a
(a < b)
b
b
f (x) ≥ g (x) ( x ∈[a, b]) ⇒ ∫a f (x)dx ≥ ∫a g (x)dx (a < b)
三、典型例题分析
例
1
计算： lim
n→∞
1 n2
(
n2 −1+
n2 − 2 + ...+
n2 − (n −1)2 )
[分析]：这类和式的极限，常化为定积分算之：
1 Sn = n2 (
n2 −1 +
n2 − 2 + ...+
n2 − (n −1)2 )
= 1 ( 1− (0 )2 + 1− (1 )2 + ...+ 1− (n −1 )2 )− 1
x →b−
∫ ∫ ∫ b
f ( x)dx = lim
c−ε1 f ( x)dx + lim
b
f (x)dx
(lim f (x ) = ∞ )
a
ε1→ 0+ a
ε 2→ 0+ c +ε 2
x→ c
上述各式中若右边极限存在，则称无穷限或无界函数的广义积分收敛；否则称其发散。
6、定积分的应用 1、元素法
b
b
b
∫ a f ( x)dx ≤ ∫ a f ( x) dx
b
∫ （5）积分估计 设 M = max f ( x), m = min f ( x) 则 m(b − a) ≤ f ( x)dx ≤ M (b − a)
x∈[ a,b]
x∈[a ,b ]
a
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高等数学学习指导书 第五章 定积分
b
∫ （6）积分中值定理 设 f (x) 在[a, b] 上连续，则 f ( x)dx = f (ξ )(b − a) (a ≤ ξ ≤ b) a
积V
c
略
略
已知
b
∫ V= A( x)dx, A(x) 为垂直于 x 轴的截面积 a
截面
d
函数
∫ V= A( y) dy, A( y) 为垂直于 y 的截面积 c
的体
积V
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高等数学学习指导书 第五章 定积分
其它应用： 物理应用
l
∫ 质量 M = ρ(x)dx, ρ(x)为线密度 0 b
∫ 功 W = F (x)dx, F (x) 为变力 a
一、内容提要
1、定积分的概念
∫ ∑ 由实例可引入定积分的定义：
b
n
f (x)dx = lim
a
λ →0
f (ξi )∆xi
i=1
上述四段横线表达了定积分定义中的“分割、近似、求和、取极限”等四大重要步骤。
b
∫ 可积条件： f (x) 在[a, b]上连续或在[a, b]上有界且仅有有限个间断点则 f ( x)dx 存在。 a
0
4
∫ 例 2 证明： 1 ≤
2
π sin x
2 π
dx ≤ x
2 2
4
[分析]； f (x) = sin x 在[π , π ] 上连续且可积，但原函数求不出来，我们用积分性质估计 x 42
之。
解：因为
x
∈
[π 4
, π ] 时， 2
f
′(x)
=
(x
−
tan x) cos x x2
<
0 ，所以
f
(x)
∫ ∫ ∫ 例 3
设M =
π
2 π − 2
sin x 1+ x2
cos4
xdx,
N
=
π
2 π
(sin
3
x
+cos 4)
xdx,
P
=
−
2
π
2 π
(
x2 sin
3
x
−cos
4)
dx
−
2
试比较三者的大小。
[分析]：三个积分都是对称区间上的定积分，不必一一计算，可直接利用定积分的性质判断。 解：M 中的被积函数是奇函数，故 M=0
−a
0
5、广义积分
（1）无穷限的广义积分
+∞
b
∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx
a
b→ +∞ a
b
b
∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx
−∞
a → −∞ a
+∞
c
b
∫ ∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x )dx
−∞
a→ −∞ a
b → +∞ c
x
∫ x
lim
x f (t)dt = a lim a f (t)dt = a lim f (x) = af (a)
∫ x→a x − a a
x→a x − a
x→ a
解法 2；利用积分中值定理，有
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高等数学学习指导书 第五章 定积分
∫ lim x x f (t)dt = a lim f (ξ )(x − a)
n
n
n
n
n
∑n−1
=
1− ( i )2
11 −
i=0
n nn
∑ ∑ n−1
原式= lim
n→∞
Sn
=
lim
n→∞
[
i=0
1−( i )2
11 − ] = lim[
n
n
nn
n→∞ i=1
1−(
i )
2
1
nn
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高等数学学习指导书 第五章 定积分
∫ 由定积分的定义：原式= 1 1 − x2 dx = π （由定积分的几何意义）。
∫ 欲求量 Q，先求其微元 dQ= f (x)dx ，则 Q= f ( x)dx a
2、积分应用的计算公式 几何应用：
直角坐标
极坐标