黑龙江哈三中2012届高三10月月考试卷(数学理)

哈三中2011—2012学年度高三十月月考
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用
0。

5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整， 字迹清楚;
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
(4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使
用涂改液、刮纸刀．
第I 卷 (选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
)510cos(︒-的值为
A 。

2
3 B.
2
3-
C.
2
1
D.
2
1
-
2. 下列各数集及对应法则，不能构成映射的是 A 。

{}Z n n x ∈∈|2，{}Z n n y ∈+∈|12，1:-=→x y x f
B. Z x ∈，{}Z n n y ∈∈|2，x y x f 4:=→
C 。

N x ∈，Q y ∈，x
x y x f 1
:+=
→
D 。

⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡∈43,4ππx ，[]2,0∈y ，x y x f sin :=→ 3。

扇形的中心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为
A. π B 。

4
5π C 。

3
3π
D.
2
9
32π
4. 已知ABC ∆的三个内角满足：B C A cos sin sin ⋅= ，则ABC ∆的形状为 A. 正三角形 B 。

直角三角形
C. 等腰直角三角形 D 。

等腰三角形或直角三角形
5. 在ABC ∆中，已知点D 为边BC 的靠近点B 的三等分点，设=AB a ，=AC
b ，则=CD
A.3
2a 3
2-b B. 3
2b 3
2-a C. 3
1a 3
1-b D 。

31b 3
1
- a 6。

已知3
3
)6cos(-
=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x
A 。

3
32
- B 。

3
3
2± C.
1- D.1±
7. 已知集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z k k x x A ,6
sin
π，集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==Z k k x x B ,6
cos π
，则A 与B 的关系是 A 。

φ=⋂B A
B 。

B A ⊆
C 。

A B ⊆
D.
B A =
8. 已知34tan =α，且α为第三象限角，则2
cos α
的值为
A 。

5
5 B.
5
52-
C.
5
5
±
D 。

5
5
2±
9. 已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
π,直线6
π
=
x 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式
是
A 。

)6
2sin(4π+=x y B.2)6
2sin(2++-=πx y
C.2)3
sin(2++-=πx y D.
2)3
2sin(2++
=π
x y
10. 已知函数2sin y x =的定义域为[]b a ,，值域为[]1,2-，则a b -的值不可能是 A.6
5π
B.
6
7π C.3
4π
D.2
3π
11。

现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④x
x y 2⋅=的部分图象如下,但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A 。

①④②③ B. ①④③② C 。

④①②③ D. ③④②①
12。

下列四个命题中,真命题的个数为
①若函数1cos sin )(+-=x x x f ，则)(x f y =的周期为π2; ②若函数x x x f 44
sin cos
)(-=，则112-=⎪⎭
⎫
⎝⎛'πf ;
③若角α的终边上一点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝
⎛65cos ,6
5sin
ππ，则角α的最小正值为53
π；
④函数x y 2cos 2=的图象可由函数x x y 2sin 32cos +=的图象向左平移
6
π个
单位得到．
A 。

1
B 。

2
C. 3
D.
4
第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在题后的横线上.） 13。

函数2
11tan )(x x x f -+-=
的定义域为________。

14. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，如果a c 3=，︒=30B ，那么
角C 等于________。

15。

已知函数
()ϕω+=x y cos [))
2,0,0(πϕω∈>的部分图
象如右图所示，
则ϕ的值为________。

16. 若方程
44=-+ax x 的各个实根
k x x x ,,,21 )
4(≤k 所对应的点
)4
,
(i
i x x ),,2,1(k i =均在直线x
y =的同侧，则实数a 的取值范围是
__________.
30°
θB
P
O
A
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17。

（本小题满分12分）
现有四分之一圆形的纸板（如右下图），︒=∠90AOB ，圆半径为1,要裁剪成四边形OAPB ，且满足OB AP //，︒=∠30OAB ，θ=∠POA ，记此四边形的面积为()θf ，求()θf 的最大值．
18. (本小题满分12分） 已知函数22()3sin 2sin cos 3cos f x x x x x ωωωω=-+⋅+，其中0ω>，且()x f 的最小
正周期为π。

（Ⅰ） 求()x f 的单调递增区间；
(Ⅱ） 利用五点法作出()x f 在⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-65,6
ππ上的图象.
19. (本小题满分12分）
在
ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，已知5a b +=，c =
且12cos sin 2sin 2sin
2
=+⋅+C C C C .
（Ⅰ) 求角C 的大小; （Ⅱ) 求ABC ∆的面积.
20. (本小题满分12分）
设动圆：()()
=-++-2
2
sin cos 2cos θθθy x ()2
34
sin cos cos 2+--θθθ()R ∈θ 的圆心轨迹
为曲线C ，这些动圆所覆盖的区域记为区域D . (Ⅰ） 求曲线C 的最高点坐标； (Ⅱ） 求区域D 的最高点坐标。

(本小题满分12分） 已知函数()x
a x
x f sin cos +=
（a 为实数）
(Ⅰ） 当2=a 时，求函数()x f 的单调递增区间；
(Ⅱ） 若当⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈2,2ππx 时，都有()3
6x x f -<π成立,求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. (本小题满分10分)
选修4-1：几何证明选讲
如图,CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，
A 为切点．若10=PA ,5=P
B ，BA
C ∠
O 分别交于点D 、
E ,求AE AD ⋅的值．
23。

(本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
sin 3cos 4:y x C （ϕ为参数）． （Ⅰ）将C 的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 是曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围．
C
P
24。

（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲 已知不等式a x x 2|4||3|2<-+-． （Ⅰ)若1=a ，求不等式的解集；
（Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．
.
哈三中2012十月月考理科答案
一. 选择题 二.
填空题
13。

⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡1,4π 14。

︒120 15.4
7π 16.()()+∞⋃-∞-,66, 三。

解答题 17。

()1
2
OAPB S OB AP OA =
+⋅
=1sin cos 23θθθ⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
……………………………4分
=21sin cos 2θθθ⎫+⋅⎪⎪⎝⎭
=1cos 21
sin 22322θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
=
26612πθ⎛⎫++
⎪⎝⎭
…………………………………8分
又∵02
πθ<< ∴726
6
6
πππθ<+< ∴262
ππ
θ+=
∴6
πθ=时, …………………………12分
18. (1)
()sin 2f x x x ωω=
+
2sin(2)3
x π
ω=+
∵周期为π ∴1ω= ∴()2sin(2)3
f x x π=+ ……………2分
∴()f x 的单调递增区间为5,12
12k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
，k Z ∈………6分
(2）
……………………………
…8分
(图略) ………………………………12分
19。

（1)∵12cos sin 2sin 2sin
2
=+⋅+C C C C 。

∴2
24sin
cos C C ⋅222sin cos 2sin 0C C C +⋅-=
sin 0C ≠
2
2cos cos 10C C ∴+-=
cos 1C ∴=-（舍）或1
cos 2
C = ………………………4分
3
C π
∴=
…………………………………6分
(2)2221cos cos 322a b c C ab π
+-===22
()22a b ab c ab
+--=
又∵
5a b +=,c =
∴6ab = ……………10分
∴11sin 62
2
2S ab C ==⨯⨯=
……………………12分
20。

曲线:C cos sin 2cos x y θθθ=⎧
⎨=-⎩
sin 2cos y θθ=-θθ⎫-⎪⎪⎭
令
sin φ=cos φ=
则()y θφ=- ……………4分
∴
22
k πθφπ-=+时y
此时22
k πθπφ=++,cos sin θφ=-=，sin cos θφ==
∴最高点坐标为
(5
-；
…… ……………6分
(2）∵
3
2cos cos sin 4θθθ--+=3
2cos )404
π
θθ-++>
(7)
分
∴3
sin 2cos 2cos cos sin 4y θθθθθ=-+--+
=3
2cos 3cos 4θθ-+ …………………………9分
令[]cos 1,1t θ=∈-
则3
234y t t =-+ 则2
630y t
'=-=得2
t =±
则
∴最高点为( ……………12分
21.（Ⅰ）当2=a 时，令()0sin 2sin 21)(2>+--='x x x f 得
()x f 的增区间为()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-ππππ26,265 ………………4分
（Ⅱ）设36)(x x g -=π 若使()x f 有意义，则1-≤a 或1≥a
a f 1)0(=
<6)0(π=g 得1-≤a 或π6>a ……………… 6分 ① 当1-≤a 时，()()2
sin 1sin x a x a x f +--=', 若1-=a ,则()0≤'x f 恒成立，()02=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<πf x f ,而()0>x g ,故()()x g x f <成立 若1-<a ，令()a
x x f 1sin 0-=⇒=', a x 1
sin 1-<<-，()0<'x f ，()x f 递减；1sin 1<<-x a
，()0>'x f ,()x f 递增,又022=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ，()0<x f ，而()0>x g ,故()()x g x f <成立 ……………………… 8分 ② 当π
6>a 时,令()()()x g x f x F -= ()()
222sin 33432sin x a a a x x F +-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=' 若2≥a ,则()0>'x F ，而02=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πF ∴()()x g x f <<0，此时成立 …………………………10分
若26<<a π,设()1,1,sin -∈=t t x ,令()343222
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a t t G
()4
33202
a a t t G -±=⇒=,由26
<<a π知4143322a a a +->- 即214332a a ->-，∴143322>-+a a ，又()1,04
3322
∈--a a ∴)4
332,0(2a a t --∈，()0>t G )1,4
332(2
a a t --∈，()0<t G ∴()x F 先增后减,而02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πF ,必存在0x 使()00
>x F ,不成立 综上，(][)+∞⋃-∞-∈,21,a ………………………12分 22. 证明:连结CE ，PC PB PA
⋅=2 ，10=PA ，5=PB ， 20=
PC ，15=BC ． ……………………2分
PA 与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴， PAB ∆∴∽PCA ∆,21==∴
PA PB AC AB ． BC 为⊙O 的直径,︒=∠∴90CAB ,
225
222==+BC AB AC ． 可解得56=AC ,53=AB ． ……………………6分 又AE 平分BAC ∠,EAB CAE ∠=∠∴,
又E ABC ∠=∠ ，ACE ∆∴∽ADB ∆，
AC
AD AE AB =∴ 90
5653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD ． ……………10分
23. 解：（Ⅰ)191622=+y x ．………………………………………4分 （Ⅱ）)sin(73sin 3cos 82θϕϕϕ+=
+=+y x ，38tan =θ． ]73,73[2-∈+∴y x ．……………………………………10分
C P
24. 解：（Ⅰ）2|4||3|2<-+-x x ，
① 若4≥x ,则2103<-x ,4<x ，∴舍去． ② 若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ． ③ 若3≤x ，则2310<-x ，33
8≤<∴x ． 综上,不等式的解集为}438|{<<x x ． ……………5分
（Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=3,3104
3,24,103)(x x x x x x x f ，1)(≥∴x f
12>∴a ，2
1>a ． …………………………10分。