2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理北师大版

由yy＝ ＝2axx－ 2＋1（，a＋2）x＋1消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.
法二 同法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋ 2)x0＋1). ∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2). 由2aax20x＋0＋（（aa＋＋22））x0＝＋21，＝2x0－1，解得ax0＝＝8－. 12， 答案 8
C.xcos x
D.－xcos x
解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝
－xsin x.
答案 B
3.(教材改编)曲线 y＝sinx x在 x＝π2 处的切线方程为(
)
A.y＝0
B.y＝π2
C.y＝－π4 2 x＋π4
D.y＝π4 2 x
解析
∵y′＝xcos
【训练 2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2
＋145x－9(a≠0)都相切，则 a 的值为( )
A.－1 或－2654
B.－1 或241
C.－74或－2654
D.－74或 7
解析 由 y＝x3 得 y′＝3x2，设曲线 y＝x3 上任意一点(x0，x30)
处的切线方程为 y－x30＝3x20(x－x0)，将(1，0)代入得 x0＝0 或
知识梳理 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：当 x1 趋于 x0，即Δ x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于 一个固定的值，那么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0 点的瞬时变化 率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常 用符号 f′(x0)表示，记作 _f_′__(_x_0)_＝__xl1_imx_0 f_（__x_1）_x_1－－__xf_（0__x_0）__＝___lxim_ f_（__x_0_＋__Δ__Δx_）_x_－__f（__x_0_）__.___.
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)∵y＝x－12sin x，∴y′＝1－12cos x. (4)∵y＝ln 1＋2x＝12ln(1＋2x)， ∴y′＝12·1＋12x·(1＋2x)′＝1＋12x.
解析 (1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的 导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2； (4)(e2x)′＝2e2x. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A.xsin x
B.－xsin x
x－sin x2
x，∴y′|x＝π2＝－π4 2，当
π x＝ 2 时，y
＝π2 ，∴切线方程为 y－π2 ＝－π42x－π2 ，即 y＝－π42x＋π4 .
答案 C
4.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导 函数，则f′(0)的值为________. 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. 答案 3
x′＝（cos

x）′ex－cos （ex）2
x（ex）′＝－sin
x＋cos ex
x .
(3)∵y＝xsin2x＋π2
cos2x＋π2

＝12xsin(4x＋π )＝－12xsin 4x.
∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x
＝－12sin 4x－2xcos 4x.
5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数 间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 ____u_对__x __的导数的乘积.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)′＝x·2x－1.( ) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
x0＝32.
①当
x0＝0
时，切线方程为
y＝0， y＝0，由y＝ax2＋145x－9得
ax2＋145x
－9＝0，Δ＝1452＋4·a·9＝0 得 a＝－2654.
②当 x0＝32时，切线方程为 y＝247x－247，
由y＝247x－247， 得 y＝ax2＋145x－9
(4)令 u＝2x－5，y＝ln u.
则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5，即 y′＝2x－2 5.
考点二 导数的几何意义(多维探究)
命题角度一 求切线的方程
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，
f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是
பைடு நூலகம்
【训练 1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝coesx x；
(3)y＝xsin2x＋π2 cos2x＋π2 ； (4)y＝ln(2x－5).
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝coesx
(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0). 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝＋x10＝ln（x01，＋ln x0）x0， 解得 x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0. 答案 (1)2x－y＝0 (2)B
ax2－3x－94＝0，
Δ＝32＋4·a·94＝0 得 a＝－1.综上①②知，a＝－1 或 a＝－2654.
答案 A
[思想方法] 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求
规律方法 (1)求切线方程的方法： ①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函 数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； ②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切 点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写 出切线方程. (2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切 点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导 数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
第1讲 导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观 理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常 数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本 初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的 导数.
命题角度二 求参数的值
【例 2－2】 (1)已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则
a 的值为( )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
(2)(2017·大连调研)若函数 f(x)＝12x2－ax＋ln x 存在垂直于 y
轴的切线，则实数 a 的取值范围是________.
解析
y0＝x0＋1， (1)设切点为(x0，y0)，y′＝x＋1 a，所以有x0＋1 a＝1，
规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导.
y0＝ln（x0＋a），
x0＝－1， 解得y0＝0，
a＝2.
(2)∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.
∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋1x－a
＝0 有解，∴a＝x＋1x≥2(x>0). 答案 (1)B (2)[2，＋∞)
命题角度三 公切线问题 【例2－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)
如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 f（x＋Δ x）－f（x）
值记为 f′(x)：f′(x)＝_________Δ__x_________，则 f′(x)是关于 x 的
函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数.
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝_a_xl_n__a
1 f′(x)＝___x___
1 f′(x)＝__x_l_n_a___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝____f′_(x_)_±__g_′(_x_) __；
(2)[f(x)·g(x)]′＝_____f′_(_x)_g_(_x_)＋__f_(_x)_g_′_(x_)___； (3)gf（（xx））′＝__f′__（__x_）__g_（_[_gx_（）__x－_）_f_（]_2 _x_）__g_′（__x_）__ (g(x)≠0).
f(x)＝xα(α是实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝__α_x_α－__1 __ f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x_
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0, a≠1)
f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
________.
(2)(2017·南昌质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，
－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x， 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以 切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
(2)几何 意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在 曲线 y＝f(x)上点__(_x_0，__f_(_x_0)_)_处的_切__线__的__斜__率__.相应地，切线方 程为_____y_－__y0_＝__f_′(_x_0)_(_x_－__x_0)______. 2.函数y＝f(x)的导函数
5.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方 程为y＝2x，则a＝________.
解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所 以 a＝3.
答案 3
考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x；(4)y＝ln 1＋2x.
处 的 切 线 与 曲 线 y ＝ ax2 ＋ (a ＋ 2)x ＋ 1 相 切 ， 则 a ＝ ________.
解析 法一 ∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2. ∴曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)， 即 y＝2x－1. ∵y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切， ∴a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行).