2004普通高等学校招生全国统一考试数学压题模拟试卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学压题模拟试卷
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)
1．(理)设f (x)为奇函数，对任意x∈R 均有f (x+4)= f (x)，已知f (-1)=3则f (-3)等于 ( )
A ．3
B ．-3
C ．4
D ．-4 (文)函数f (x )=|x |(1-x )在区间A 上是增函数，那么A 区间是 ( ) A ．(- ∞，0) B ．[0，
21] C ．[0，+ ∞] D ．(2
1
，+ ∞) 2．已知直线l 1：(a+1)x+y -2=0与直线l
2
：ax+(2a +2)y+1=0互相垂直，则实数a 的值为
( )
A ．-1或2
B ．-1或-2
C ．1或2
D ．1或-2 3．在等比数列{a n }中，a 1>1．前n 项和S n 满足li ∞
→n m
S n =
1
a 1
那么a 1的取值范围是( )
A ．(1，+ ∞)
B ．(1，4)
C ．(1，2)
D ．(1，2) 4．已知m ，l 是异面直线，那么：①必存在平面a 过m 且与l 平行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；
③必存在平面γ与m ，l 都垂直；④必存在平面π与m ，l 距离都相等，其中正确的结论为 ( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①④
5．从装有4粒大小、形状相同颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球(至少一粒)，则倒出奇数粒玻璃球的概率比例比倒出偶数玻璃球的概率 ( )
A ．小
B ．大
C ．相等
D ．大小不能确定
6．(理)要得到函数y=sin2x 的图像，可以把函数y=sin(2x -4
π
)的图像 ( ) A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移号4
π
个单位 D ．向
右平移号
4
π
个单位 (文)要得到函数y=sin(2x-
4
π
)的图像，可以把函数y=sin2x 的图像 ( ) A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4
π
个单位 D ．向
右平移4
π
个单位
7．设F 1 ，F 2是双曲线4
x 2-y 2
=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且：1PF ．2PF =0，则|1PF |．|1PF |的值为 ( )
A.0 B ．2 C ．22 D ．4
8.设复数3-i ，1-3i 的辐角主值分别为α，β，则α-β的值为 ( ) A.
67π B ．2π C ．6π D ．-6
π
9．(理)已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是 ( ) A ．ρ = - cos θ B ．p = cos θ C ．ρ = -
θcos 1 D ．ρ =θ
cos 1
(文)若双曲线以y = ±3x 为渐近线，F(0，2)为焦点，则此双曲线的方程为 ( )
A ． 2
x -3y 2=l B ．2
x -3y 2=-1 C ．2x 2-3y 2=1 D ．2x 2-3
y 2=-1
10．已知函数f (x)是R 上的增函数，A(0，-1)，B(3，1)是其图形上的点，那么|f (x+1)|<1 的解集是： ( )
A ．(1，4)
B ．(-1，2)
C ．(- ∞，1］∪［4，+ ∞)
D ．(- ∞，-1］∪［2，+ ∞)
11．过正三棱锥S-ABC 的一条侧棱SA 及其外接球的球心，作棱锥截面SAD(如图)球心O 在AD 上，则此三棱锥的侧面三角形顶角的余弦值为 ( ) A ．2
1 B ．0 C ．-21
D ．4
1 12.从盛装20升纯酒精的容器里倒出一升纯酒精，然后用水加满，再倒出一升酒精混合液，
再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒出第K 次时，共倒出纯酒精x 升，则倒出第
K+1次时，共倒出纯酒精f (x)的表达式是 A. f (x)= 0291x+l ； B ．f (x)= 02x +1
C ．f (x)= 0
291 (x+1) D. f (x)= 0
21x
第Ⅱ卷(选择题共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上)
13．设f (x)= 244x x
+，则f (111)+ f (112)+…+f (11
01)的值为 ．
14．(理)如果曲线y=x 3
+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，则此切线的方程为 (文)函数y=
3
x 3
x 2++在点x=3处的导数值为
15．如右图，表示图中平面区域的公共区域的不等式组是
16．设函数f (x)=sin(ωχ+ф)(ω>0，- 2
π<ф<2
π)，给出以下四个论断：①它的图形关于
x=2
1π对称；②它的图形关于点(3
π，0)对称；③它的周期为π；④在区间[-6
π
，0)上是增函数，以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： ① ；② ．
三、解答题：(本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
设复数Z=3cos θ—2isin θ，π<θ<2
3π，且θ- argZ=
4
π (1)求tan(argZ)
(2)求使等式2msin(θ+4π)=2cos 2
2
θ-1成立的值 18．(本小题满分12分)
有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是2
1，乙能解决它的概率是3
1，如果两
人都试图独立地在半小时内解决它，计算：
(1)两人都未解决的概率；
(2)问题得到解决的概率．
19．(本小题满分12分)
A ：如图(B)，正三棱锥ABC —A 1
B 1
C 1中，E∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1 (1)求证：|BE |=| 1EB |
(2)若|1AA |=|11B A |，求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角(锐角)的大小 B ：如图(A)正三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为3，侧棱AA 1=2
33，D 为CB 延长线上
一点且BD = BC
(I)求证：BC 1∥平面AB 1D ；
(Ⅱ)求三面角B 1- AD - B 的大小； (Ⅲ)求三棱锥C 1- ABB 1的体积．
20．(本小题满分12分)
某家用电器厂根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20％的利润，已知该产品每件的成本是原销售价的60％
(1)求调整后这种产品的新单价是每件多少元?让利后的实际销售价是每件多少元?
(2)为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元今年至少应销售这种产品多少件?
(每件产品利润 = 每件产品的实际销售价 - 每件产品的成本价)
21．(本小题满分14分)
(理)设椭圆 b x 2
2
+ a y 2
2
=1(a>b>0)的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上任一点，若么∠F 1PF 2的最
大值为 3
2π
(I)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设直线L 与椭圆交于M 、N 两点且L 与以原点为圆心，直径为短轴的圆相切，已知线段MN 的长度最大值为4，求椭圆的方程与直线L 的方程
(文)设椭圆 9
y 2
+ 3
x 2
=1的内接三角形是△PAB ，OP 的倾斜角为 3
π直线AP ，BP 的倾斜角互补．
(I)求证直线AB 的斜率是定值；
(Ⅱ)求△PAB 面积的最大值． 22．(本小题满分12分)
设函数f (x)是定义在[-1，0) ∪(0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0)时f (x)=2ax+ x 12
(a∈R)
(I)当x ∈(0，1]时求f (x)的解析式；
(Ⅱ)若a>-1，试判断f (x )在(0，1]上的单调性，并证明你的结论； (Ⅲ)是否存在a ，使得当x ∈(0，1]时，f (x)有最大值-6
答案与提示
一、B 2、B 3、D 4、D 5、B 6、理A 文B 7、B 8、C 9、理C 文B 10、B 11、D 12、A 二、13.5
14、(理)y=4x-12或y=4x-8(文)- 6
1
16．①③→②④，②③→①④ 三、17．因题设tan(argZ)=
3cos 2sin -θθ=-θtan 3
2
∴ tan(argZ)=
tan 3
-
1tan 32tan 2θθθ+=
θ
θ22tan -35tan =1
即(2tan θ-1)(tan θ+3)=0，又π<θ<2
3
π，
∴ tan θ=2
1，即tan(argZ)=- 3
2×2
1=-3
1
(2)由题意知，要2msin(θ+4
π)=cos θ成立
即要m(cos θ十sin θ)=cos θ成立，由于cos θ≠0 ∴ m(tan θ+1)=1，m=
θtan 11+=32 ∴ m=3
2 18．(1)设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A ，乙能独立解决该问题是事件B ，那么两人都未解决该问题是事件A ，B ，由于两人是相互独立地求解，于是得证 P(A ·B )=P(A )·P(B )=(1-2
1)(1-31)=3
1
(2)“问题得到解决”这一事件的概率为1-(A ·B )=l-3
1=3
2． 19．(A)(I)证明：∵CD∥C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1 ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴ BC 1∥DB 1 又B 1D ⊂平AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ∴ 直线BC 1∥平面AB 1D
(Ⅱ)解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1 ∵ BB 1⊥平面ABD ，∴ B 1E ⊥AD
∵ ∠B 1EB 是二面角B 1-AD-B 的平面角 ∵ BD=BC=AB ，
∴ E 是AD 中点，∴ BE=2
1AC=2
3
在Rt △B 1EB 中，tanB 1EB=BE
B B 1 =2
323
3=3
即：二面角B 1-AD-B 的大小为60° (Ⅲ)解：过A 作AF ⊥BC 于F
∵ BB 1⊥平面ABC ，∴ 平面ABC ⊥BB 1C 1C
∴ AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=
2
3
×3=323,
∴ V B A B -c 11=V 11C BB -A =3
1S 11C BB • AF=3
1×(21·33
3·3)·2
33
即三棱锥C 1-ABB 1的体积为8
27．
(B)(1)如图，建立坐标系
过E 作ED ⊥A 1C ，令D(0，y ，z)，E(
2
3a ，21
a ，c)
则：ED =( -
2
3a ，y= - 21
a ，z –c)，C A 1=(0，a ，b)，A 1=(0，0，b)
ED ·C A 1=ay- 2
1
a 2
+ bz-bc ① ED ·A A 1=bz-bc=0 ② ②代入①得ay- 2
1a 2
=0 所以y=2
1a
∴D 为A 1C 的中点，又ED ⊥A 1C ∴△EA 1C 为等腰三角形 ∴|EA 1|=|EC|，又A 1B 1=BC ，∠EBC=∠A 1B 1E=90°
∴△EBC
≅△A
1
B 1E ∴|BE |=| 1EB |
(2)D(0，2
1a ，2
1b),E(
2
3a, 21a ，21b)
|DE |=
23a|C A 1|=22b a +,又|C A 1|=|11B A |∴b=a, ∴S EC A 1∆=2
a 46 S 111C B A ∆=
2
a 4
3,cos θ=EC
A C
B A 1111 S S ∆∆=22a 4
6a 43=22 ∴θ=45°
20．解(I)设每件产品的新单价为x 元, 由已知，该产品的成本是2000×60％=1200元 由题意，x ·80％-1200=20％(80％·x) 解得x=1875元 ∴ 80％x=1500元 所以该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元． (Ⅱ)设今年至少应销售这种电器m 件，则由题意 m(1500—1200)≥200000 解得 m≥666
3
2
∴ m∈N，∴ m 的最小值应为667件 即今年至少售出667件产品才能使利润总额不低于20万元
21．(理)设椭圆22b x +22
a
y =1(a>b>0)
(1)|PF 1|+|PF 2|=2a ，
cos ∠F 1PF 2=|
PF ||PF |2|F F |-|PF ||PF |212
212221∙+=|P F ||P F |24c -4a 2122∙-1≥1-2e 2=-21
∴解得e =2
3
(2)椭圆方程为．y 2
+4x
2
=4b
2
，l ︰y=kx+m
∵直线l 与圆x
2
+y 2
=b
2
相切，∴m 2
=b
2
(1+k
2
) ①
又将直线方程代入椭圆方程，得 (4+k
2
)x
2
+2kmx+m
2
-4b
2
=0 △=48b
2
|MN|=43b ·
2
2k 13k 11++
+ ≤2b
当且仅当k =±2时，取等号
∴ l ︰y=±2x ±23 椭圆方程为4x 2+16
y 2
=1
(文)(1)OP 的直线方程为y=3x ，联立解是
得P 点坐标为(
26·223 ) 设AP 方程为y -223=k(x -26)
BP 方程为y -223= -k(x -2
6)
联立方程得
x A =26-k 3k 23-k 622+ 同理：x B =2
6
-k 3k 23-k 62
2+ ∴ AB 的斜率K AB =
B A B A x -x y -y =B
A B A x -x k
6-)x k(x + =3 (定理) (2)设AB 的方程为y=3x+m ，设P 到AB 的距离为d
则d=
2
|m |，将直线方程代入椭圆方程③：得 6x 2+23mx+m 2
-9=0 ∴ |AB|=23
m -62
S )3
m -(63m 321|AB |d 212
2ABP ∙==∆≤
233
当且仅当m=±3时，取等号
22．(1)解：设x ∈(0，1]，则x ∈[-1，0) f (-x)=-2ax+2
x 1
∵ f (x)是奇函数 ∴ f (x)=2ax -2
x 1 x ∈(0，1]
(2)证明：f ′(x)=2a+ x 23=2(a+ x 13) ∵ a>-1，x ∈(0，1] x 13≥1 a+ x
1
3>0
即
f ′(x)>0 ∴f (x)在(0，1]上单调递增的
(3)解：当a>-1时，f (x)在(0，1)上单调递增 f
max (x)= f (1)= -6⇒a =- 2
5
(不合题意)…当a ≤-1时
f ′(x)=0，x=
a
1-
3
如下表f
max (x)=
f (
a 1
-
3
)=-6⇒a =-22⇒x= 2
2
∈(0,1］ x(- ∞,
a 1
-3
), a
1
-3
,( a 1
-
3
,+ ∞)
f ′(x)+ 0 -f (x) ↗ 最大值 ↘
∴存在a=-22使f (x)在(0，1)上有最大值-6．。